2.3 相似三角形的性质（第2课时）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质定理3、4，系统讲解对应中线、角平分线的比及周长比等于相似比，面积比等于相似比平方。通过回顾已学性质，以“思考与交流”引导学生证明对应线段所在三角形相似，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于以推理能力培养为核心，通过严谨证明（如中线比证明中利用中线定义及相似三角形判定）和递进练习（例2综合证明、跟踪练习3平行四边形面积计算）发展逻辑思维，结合等高三角形等拓展内容提升应用意识。总结求面积方法帮助学生系统梳理知识，既利于学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.3相似三角形的性质 第2课时 相似三角形的性质定理3、4 学 习 目 标 1 2 3 掌握相似三角形对应中线、角平分线的性质定理，能利用它进行有关的计算和证明。(推理能力) 运用相似三角形的性质定理解决一些简单的问题。(应用意识) 通过对相似三角形的性质定理的探索，体会相似三角形判定定理的作用，感悟转化的数学思。(推理能力) 相似三角形有哪些性质？有什么作用？ 思考 相似三角形的 三个角对应相等 三边对应成比例 相似三角形性质的作用：求证角相等；线段的比；图形的面积。 知识回顾 对应高的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 相似三角形对应高的比等于相似比,面积之比等于 相似比的平方。相似三角形的对应中线、对应角平 分线的比是否也等于相似比? 我们继续研究的相似三角形的性质。 新知导入 A B C D A' B' C' D' ∵△ABC∽△A'B'C', AD⊥AC,A'D'⊥A'C', ∴ = =k， =k2 已知△ABC∽△A'B'C',相似比为k。 A B C A' B' C' (1)如图,AE,A'E'分别是对应边BC 与B'C'上的中线。 AE与A'E'的比是多少? E E' 如何计算两条线段的比呢？ 证明这两条线段所 在的三角形相似 A B C A' B' C' 证明：∵AE,A'E'分别是对应边BC与B'C'上的中线。 E E' ∴BE=BC，B′E′=B′C′， ∴ ∵△ABC ∽△A'B'C'. ∴∠B=∠B′， = ∴ ∴△ABE∽△A'B'E'。 ∴ = =k。 相似三角形对应中线的比等于相似比。 A B C E A' B' C' E' ∴ = =k。 相似三角形的性质 相似三角形的性质3 相似三角形对应中线的比等于相似比。 ∵△ABC∽△A'B'C',AE,A'E'分别是对应边 BC与B'C'上的中线 (2)如图,BF,B'F'分别是对应角∠ABC与∠A'B'C'的角平线. BF与B'F'的比是多少? 请说明理由。 已知△ABC∽△A'B'C',相似比为k。 A B C A' B' C' F F' 如何计算两条线段的比呢？ 证明这两条线段所 在的三角形相似 ∵BF,B'F'分别是对应角∠ABC与∠A'B'C'的角平分线. 证明：∵△ABC∽△A'B'C'， A B C A' B' C' F F' ∴∠A=∠A′，∠ABC=∠A′B′C′， 1 2 ∴∠1=∠ABC，∠2=∠A′B′C′， ∴∠1=∠2. ∴△ABF∽△A'B'F'。 ∴ 相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 ∴ = =k。 相似三角形的性质 相似三角形的性质4 相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 ∵△ABC∽△A'B'C',BF,B'F'分别是对应角 ∠ABC与∠A'B'C'的角平分线. A B C A' B' C' F F' 相似三角形的性质 相似三角形对应高线的比，对应边上的中线的比， 对应角平分线的比都等于相似比。 对应高线,对应边上的中线,对应角平分线统称为对应线段。 相似三角形的性质1、3、4简称为： 当我们用该性质解题时，要特别注意其中的“对应”，即并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 注意： 已知△ABC∽△A'B'C',相似比为k。 A B C A' B' C' (3)△ABC与△A'B'C'的周长比是多少? 证明：∵△ABC∽△A'B'C'. ∴ = ==k ∴ = ==k 相似三角形周长的比等于相似比。 ∴=k。 相似三角形的性质 相似三角形的性质 相似三角形周长的比等于相似比。 ∵△ABC∽△A'B'C'。 A B C A' B' C' 知识点总结 知识1：等于相似比k的几何量 相似比k＝对应边的比 ＝　 　 的比 ＝　 的比 ＝　 的比 = 　 的比 ． 知识 2：等于相似比k2的几何量 =k2. 求面积的一种新方法 ——应用相似三角形面积的性质. 　对应高　 　对应中线 　对应角平分线　 　周长　 　面积之比　 相似三角形的性质 知识点归纳 例1、若△ABC∽△DEF，面积比为9:1，则下列说法不正 确的是( ) A．相似比为3:1 B．对应中线的比为9:1 C．周长比为3:1 D．对应角的比为1:1 小结：相似三角形对应线段、周长和面积的性质的简单综合，注意其中只有面积比不同. B 典例讲解 1.填空： （1）已知ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为2:3，则周长之比为 ，对应边上中线之比 ，面积之比为 。 （2）已知ΔABC∽ΔA'B'C'，且面积之比为9:4，则周长之比为 ，相似比 ，对应边上的高线之比 。 （3）两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分是_________。 2:3 2:3 4:9 3:2 3:2 3:2 100cm、40cm 跟踪练习 例2、如图,△ABC∽△A'B'C',AD,AE 分别是△ABC的角平 分线和中线,A'D',A'E'分别是△A'B'C'的角平分线和中线。 △ADE 与△A'D'E'相似吗? 请说明理由。 1 2 3 4 解:△ADE∽△A'D'E'。理由如下: ∵AE，A'E'分别是△ABC 与△A'B'C'的中线 ∴BE=BC,B'E'=B'C', ∴ 典例讲解 ∵△ABC∽△A'B'C', 1 2 3 4 ∴ = == ∠BAC=∠B'A'C'。 ∴ △ABE∽△A'B'E'。 ∴∠1=∠2. ∵AD与A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C', = 典例讲解 1 2 3 4 ∴∠3=∠4 ∵∠DAE=∠BAD-∠1, ∠D'A'E'=∠B'A'D'-∠2, ∴ = ∴△ADE∽△A'D'E'。 典例讲解 2.两个相似三角形对应边的高分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条中线与两条角平分线的和为70cm，中线和与角平分线和的比为2:3，求这两条对应中线的长分别是多少. 解：设较长的中线长为xcm, ∵中线和+角平分线和=70cm，中线:角平分线和=2:3， ∴中线和为28cm,较短的中线长为(28-x)cm. ∵两个三角形相似，∴ = 解得x=16，28-x=12. 答:这两条对应中线的长分别为12cm，16cm. 跟踪练习 例3、如图，已知DE∥BC． (1)若＝2，S△ADE＝8 cm2． ①求证：△ADE∽△ABC； ②求S△ABC和； (2)若S△ADE＝S四边形DBCE，则AD∶DB等于多少？ (1)①证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B.∵∠A=∠A.∴△ADE∽△ABC． 典例讲解 ②解：∵△ADE∽△ABC，＝2， ∴，∴． ∵S△ADE＝8 cm2，∴S△ABC＝18 cm2， ∴S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝10 cm2． 典例讲解 (2)若S△ADE＝S四边形DBCE，则AD∶DB等于多少？ ∵S△ADE＝S四边形DBCE， ∴S△ADE∶S△ABC＝1∶2， 由（1）知△ADE∽△ABC， ∴， ∴＋1． 典例讲解 3.如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且AF＝2FD． (1)求证：△ABF∽△CEB； (2)若△CEB的面积为9，求▱ABCD的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠E， ∴△ABF∽△CEB． 跟踪练习 (2)若△CEB的面积为9，求▱ABCD的面积． (2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD，∴DF∶BC＝1∶3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF， ∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2，S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2， ∵△CEB的面积为9， ∴△FDE的面积为1，∴△ABF的面积为4， ∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12． 跟踪练习 例4、新定义[图形定义] 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形。 例如:如图①所示，在△ABC和△A'B'C'中，AD， A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'，则△ABC和△A'B'C'是等高三角形。 拓展与延申 [等高三角形的性质探究] 如图①所示，用S△ABC,S△A'B'C'分别表示△ABC和△A'B'C'则S△ABC=BC·AD,S△A'B'C'=B'C·A'D'。 因为AD=A'D',所以S△ABC:S△A'B'C'=BC:B'C'。 拓展与延申 等高的三角形的 面积之比等于底之比 [性质应用] (1)如图②所示，D是△ABC的边BC上的一点。 若BD=3,DC=4，则S△ABD:S△ADC= . 解析：因为△ABC与△ABC是等高的三角形，所以面积之比等于底边长的比。 3:4 拓展与延申 [性质应用] (2)如图③所示，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点。若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S△ABC=1, 则S△BEC= ,S△CDE= . (3)如图③所示，在△ABC中，D，E 分别是BC和 AB边上的点。若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n, S△ABC=a,则S△CDE= . 拓展与延申 4.如图①所示，直线l1//l2,△ABC与△DBC的面积相等吗? 为什么? 解:相等。理由如下: 设l1与l2之间的距离为h, 则 S△ABC = BC·h, S△DBC = BC·h ∴S△ABC =S△DBC 跟踪练习 同底等高的三角形的面积相等 [探究](1)如图②所示，当点D在l1与l2之间时，设点A,D到直线l2的距离分别为h，和 h', 则 S△ABC: S△DBC= . 证明：∵S△ABC = BC·h, S△DBC = BC·h'， ∴S△ABC: S△DBC= h:h'. h:h' 跟踪练习 同底的三角形的 面积之比等于高的比 求面积方法总结 方法 1：直接计算 方法 2：相似法 方法 3：等高（底） 用面积公 式计算; 相似三角形面 积的比等于相 似比的平方; 等高(底)的两个 三角形面积的比 等于底(高)的比。 方法归纳 两个相似四边形的周长比、面积比与相似比有什么关系? 两个相似五边形呢? 两个相似n边形呢? 解析：相似四边形周长比推导: 周长是各边长度之和，相似四边形对应边比为k，总和提取公因子k后化简，得周长比等于k。 相似四边形面积比推导: 将四边形分割为两个相似三角形(相似图形面积比等于相似比平方)，总面积比为两三角形面积比之和，仍为k2。 探究与挑战 相似n边形的推广逻辑: 周长比:n边形周长为各边之和，相似比为k，对应边的和的比为k，即周长比仍为k。 面积比:n边形可分解为n个以顶点与中心 为顶点的相似三角形，每个三角形面积比k2，故总面积比为k2。 结论统一性:无论边数多少，相似多边形周长比恒等于相似比，面积比恒等于相似比的平方。 探究与挑战 1.已知△ABC∽△DEF, 若△ABC与△DEF的相似比为 1:4，则△ABC与△ADEF对应中线的比为 ，对 应角平分线的比为 ，周长比为 ,面 积比为 . 1:4 1:4 1:4 1:16 当堂检测 2.在△ABC 中,D,E,F 分别为边BC,AC,AB 的中点,AB 的长为6,BC的长为8,AC的长为10。求△DEF的周长和面积。 A B C E D F E D F 解：∵AB=6,BC=8,AC=10, ∴AB+BC+AC=6+8+10=24, AB2+BC2=62+82=100=102=AC2, ∴∠B=90°,所以S△ABC=×6×8=24。 当堂检测 ∵D,E,F分别为边BC，AC,AB的中点， ∴DF=AC, DE =AB, EF =BC, ∴=== ∴△ABC∽△DEF。 ∴△ABC的周长:△DEF的周长=2:1, S△ABC:S△DEF=4:1 ∴△DEF的周长=△ABC的周长=12,S△DEF=S△ABC=6. A B C E D F E D F 当堂检测 三角形的三条中位线把原三角形分成的四个三角形全等。 课堂小结 相似三角形的性质 相似三角形对应线 段的比等于相似比 相似三角形面积的比 等于相似比的平方 相似三角形性质的运用 相似三角形周长 的比等于相似比 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $