5.2.1 认识函数 同步分层练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从概念理解到综合应用，培养数学抽象、推理与模型意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|函数概念、自变量取值范围、简单表达式|以选择填空为主，如函数定义辨析、取值范围计算，强化基础认知| |能力提升|函数表示方法、实际问题建模、综合应用|含表格归纳（如变量关系表）、几何问题（等腰三角形周长），提升推理与建模能力| |拓展创新|动态几何情境下的函数关系|长方形动点面积问题，综合几何直观与函数表达，发展创新意识|

5.2.1 认识函数 同步分层练习 一、夯实基础： 1．下列四个等式中，是的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．某中学要在校园内划出一块面积是的长方形土地做花圃，设这个长方形的相邻两边的长分别为xm和ym，那么y关于x的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 5．下列函数中自变量的取值范围选取错误的是（　　） A．中取全体实数 B．中 C．中 D．中 6．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（　　） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 7．某种气体的体积y（L）与气体的温度x（）对应值如下表．若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于　 　． x（） … 0 1 2 3 … 10 … y（L） … 100 100.3 100.6 100.9 … 103 … 8．若函数有意义，则自变量取值范围为　 　． 9．一个三角形的三边长分别为，，则三角形周长与的函数表达式是　 　，自变量的取值范围是　 　. 10．如果1cm3的钢的质量是7.8g，求一个立方体钢块的质量y(g)关于棱长x(cm)的函数表达式。 二、能力提升： 11．已知变量x，y满足下面的关系： x 　 -3 -2 -1 1 2 3 　 y 　 1 1.5 3 -3 -1.5 -1 　 则x，y之间用函数表达式表示为(　　). A． B． C．y=x-3 D． 12．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，设第n(n是正整数)个图案是由y个基础图形组成，则y与n之间的关系式是(　　). A．y=3n B．y=4n C．y=2n+2 D．y=3n+1 13．已知等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式　 　． 14．老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x，y之间的关系(其中b为常量)： 其中y一定是x的函数的是　 　．(填写所有正确的序号) 15．已知自行车的速度是10km/h，设骑车的路程是s(km)，骑车的时间是t(h). （1）写出t关于s的函数表达式. （2）当s=5时，函数值是多少，这一函数值的实际意义是什么? 16．已知实数x，y满足． （1）用含x的代数式表示y，则 ． （2）若等腰三角形的腰长为x，底边长为y，该等腰三角形的周长为l． ①求l关于x的函数表达式； ②求l的取值范围． 三、拓展创新： 17．如图，在长方形ABCD中，，动点沿着的方向运动至点停止，设点运动的路程为，当点不与点C，B重合时，记的面积为. （1）当点在CD上运动时，求关于的函数表达式. （2）当点在AD上运动时，的值是否发生变化?请说明理由. （3）当点运动到AB上时，的值是否发生变化?如果发生变化，求出变化范围，并写出关于的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时的面积. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】函数的概念 2．【答案】D 【知识点】函数自变量的取值范围 【解析】【解答】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 【分析】根据函数有意义的条件得到：，解此方程即可. 3．【答案】D 【知识点】函数的概念 4．【答案】D 【知识点】函数解析式；用关系式表示变量间的关系 【解析】【解答】解：∵某中学要在校园内划出一块面积是100m2的矩形土地做花园，设这个矩形相邻两边长分别为xm和ym， ∴y关于x的函数表达式为：xy=100， 即； 故答案为：D. 【分析】直接利用矩形面积求法公式得出y关于x的函数表达式． 5．【答案】B 【知识点】函数自变量的取值范围 【解析】【解答】解：A、x可取正数，0，负数，所以范围是全体实数，A正确； B、x-1≠0解得x≠1，B错误； C、x+1≠0，解得x≠-1，C正确； D、x-1≥0，解得x≥1，D正确． 故答案为：B. 【分析】由于y=x2的两边都是单形式，而整式中字母的取值是全体实数，据此可判断A选项；由分式的分母不等于零判断B、C选项；根据二次根式中的被开方数是非负数可判断D选项. 6．【答案】C 【知识点】函数的概念 【解析】【解答】解：属于函数的有： ∴y是x的函数的个数有3个，故C正确. 故答案为：C. 【分析】在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，据此判断. 7．【答案】20 【知识点】一元一次不等式的应用；函数解析式 8．【答案】 【知识点】函数自变量的取值范围 【解析】【解答】解：根据题意得，x+5≥0，且x+2≠0， ∴ x≥-5且x≠-2. 故答案为：x≥-5且x≠-2. 【分析】根据二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数，进而根据分母不为0，可列出关于字母x的不等式组，即可求得. 9．【答案】； 【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系 【解析】【解答】解：一个三角形，三边长分别为4cm，7cm，xcm，则三角形周长y（cm）与x（cm）的函数关系式是y=x+11， 由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 得7-4＜x＜7+4，即3＜x＜11， 自变量x的取值范围是 3＜x＜11. 故答案为：y=x+11，3＜x＜11. 【分析】根据三角形的周长等于三边长度的和，可列得函数关系式，根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得自变量的取值范围． 10．【答案】解：棱长x(cm)的立方体的体积为 钢的质量是7.8g， ∴立方体钢块的质量y(g)与棱长x(cm)之间的函数表达式为： 【知识点】函数解析式 【解析】【分析】先求出立方体的体积，然后根据 钢的质量是7.8g，求出函数解析式即可. 11．【答案】B 【知识点】函数解析式；函数的表示方法 【解析】【解答】解： 设这个函数关系式为， 当x=-3时，y=1， 所以k=-3×1=-3. 所以这个函数关系式为. 故答案为：B. 【分析】通过观察，发现相应的x，y的值的积为一定，所以可设这个函数关系式为，再代入一对 x，y的值，求出k，再代回即可. 12．【答案】D 【知识点】函数解析式 【解析】【解答】解：第1个图有1+1×3个基础图形组成； 第2个图有1+2×3个基础图形组成； 第3个图有1+3×3个基础图形组成； 第4个图有1+4×3个基础图形组成； … 第n个图有1+n×3个基础图形组成； ∴第n(n是正整数)个图案是由y个基础图形组成，则y与n之间的关系式是 y=3n+1 . 故答案为：D. 【分析】先写出第1，2，3，4个图形中基础图形个数，用式子表示出来，从中找出规律，再利用规律写出第n个图形中基础图形个数. 13．【答案】 【知识点】函数解析式；三角形三边关系；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为． 故答案为：． 【分析】 根据三角形的周长得到函数关系式，然后利用三角形三边关系得到的取值范围解题． 14．【答案】③④ 【知识点】函数的概念 【解析】【解答】解：①中当x=1时，y=1或4，故①不符合题意； ②在y轴右边取一个x值，有2个y值与之对应，故②不符合题意； ③任取一个x值，只有1个y值与之对应，故③符合题意； ④任取一个x值，只有1个y值与之对应，故④符合题意； 故答案为③④． 【分析】根据函数的定义：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数。即可判断出结论． 15．【答案】（1）解：因为 自行车的速度是10km/h，设骑车的路程是s(km)，骑车的时间是t(h) ， 所以s=10t，所以t关于s的函数表达式. （2）解：当s=5时，=0.5． 其实际意义是骑车半小时，行程5km． 【知识点】函数解析式；函数值 【解析】【分析】（1）根据路程=速度乘以时间求解； （2）将路程用5代入，求出时间t，再写出实际意义. 16．【答案】（1） （2）解：①等腰三角形的周长， 由（1）得， ②由三角形三边关系定理得，， ∴， 解得， 又∵， ∴， 解得， 自变量x的取值范围 当x=16时 当x=6时 因变量I的取值范围是 ． 【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【解析】解：（1）， 移项得：， 化系数为1得：， 故答案为：。 【分析】此题考查求函数解析式，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键： （1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可得出y与x的关系式； （2）①根据三角形周长的计算公式解答即可； ②根据两边之和大于第3边，即2x＞y，且y＞0，解不等式组先求出自变量x的取值范围，继而确定因变量l的取值范围． （1）解：， ， ∴， 故答案为：； （2）①由题意得，等腰三角形的周长， 由（1）得， ∴； ②由三角形三边关系定理得，， ∴， 解得， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 17．【答案】（1）解：由题意知，， ； （2）解：y的值不发生变化；理由如下： 如图， 过点Q作于点，则， 是一个定值， 的值不发生变化； （3）解：y的值发生变化， 四边形ABCD是长方形， ， 由题意知， . 点Q在AB上，且点Q不与点C，B重合， ， . 【知识点】函数解析式；三角形的面积 【解析】【分析】（1）由题意可求出CQ的长，利用三角形的面积公式即可得到求y与x的关系式； （2）当点Q在AD上运动时，△QCB的面积没发生改变，过点Q作QM⊥BC交BC于M，通过计算可知△QBC的面积为18，是个定值； （3）先确定出BQ，再利用面积公式即可得出函数关系式，利用点Q在AB上，即可确定出x的范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $