专题02 简谐运动的回复力与能量（重难点训练）物理沪科版选择性必修第一册

**基本信息** 以题型为纲构建简谐运动解题体系，通过判定方法-能量规律-对称应用的逻辑链条实现专项突破，培养运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |简谐运动的判定与回复力分析|5题（含3道多选）|动力学定义（F=-kx）、四步判定法、回复力效果分析|从定义出发，通过平衡位置分析→回复力来源→数学表达式验证的逻辑链构建判定体系| |弹簧振子的能量转化与守恒|6题（含4道多选）|机械能守恒条件、能量转化四要点、竖直振子势能分析|以动能势能转化为核心，结合振动位置特征建立能量变化规律，突出竖直方向重力势能与弹性势能的综合考量| |简谐运动的对称性与综合应用|5题（含3道多选）|时间/空间对称规律、周期性多解处理、碰撞动量结合策略|从运动对称性拓展到周期性，通过碰撞瞬间动量守恒→新系统振动参数计算的综合应用，深化模型建构能力|

专题02 简谐运动的回复力与能量（题型突破） 题型01 简谐运动的判定与回复力分析 题型02 弹簧振子的能量转化与守恒 题型03 简谐运动的对称性与综合应用 ▌题型01 简谐运动的判定与回复力分析 1．简谐运动的动力学定义：物体所受回复力与偏离平衡位置的位移成正比、方向总与位移方向相反，即F＝－kx，这是判定简谐运动的唯一依据。 2．回复力是按效果命名的力，可以由某一个力提供（如水平弹簧振子由弹力提供），也可以由几个力的合力或某个力的分力提供（如单摆由重力沿切线方向的分力提供）。 3．平衡位置是回复力为零的位置：竖直弹簧振子的平衡位置在弹簧伸长x0＝mg/k处，不是弹簧原长处。但回复力为零不等于合力为零——单摆经过最低点时，重力与拉力的合力还要提供向心力。 4．判定步骤：先找平衡位置，再把物体拉离平衡位置位移x，写出沿振动方向的合力表达式，最后看是否满足F＝－kx。 特别提醒：F＝－kx中的k只在弹簧振子里等于弹簧的劲度系数，其他情形下k是由系统决定的比例常数，不要一律当成劲度系数。 1．(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是（　　） A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 【答案】ACD 【解析】A．物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，故A正确； B．滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，故B错误； C．物体A与滑块B（看成一个振子）的回复力大小满足，则回复力大小跟位移大小之比为，故C正确； D．A、B间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为，以整体为研究对象有 以A为研究对象，由牛顿第二定律得 联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为，故D正确。 故选ACD。 【举一反三】 2．(多选)如图，一个弹簧振子在水平方向上做简谐运动，当某一时刻的位移为负方向时，下列说法正确的是（　　） A．速度一定为负方向 B．速度一定为正方向 C．加速度一定为正方向 D．回复力一定为正方向 【答案】CD 【解析】AB．位移为负方向时，速度方向可能为正方向也可能为负方向，故AB错误； CD．位移为负方向时，回复力的方向指向平衡位置，所以回复力一定为正方向，所以加速度一定为正方向，故CD正确。 故选CD。 3．(多选)某种弹簧振子做简谐振动，动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此弹簧振子在光滑的水平面上振动 B．时刻弹簧振子处在平衡位置 C．弹簧振子的周期为 D．弹簧振子的周期为 【答案】AD 【解析】A．由图像分析可得，弹簧振子只有动能和弹性势能互相转化，且机械能守恒，只有弹簧的弹力做功，重力不做功，则弹簧振子在光滑的水平面上振动，故A正确； B．时刻弹簧振子的动能最小，弹簧振子处在位移最大处，故B错误； CD．弹簧振子的周期为或，故C错误，D正确。 故选AD。 4．关于弹簧振子，以下说法正确的是（　　） A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型 B．小球的质量远小于弹簧的质量 C．弹簧的质量不需要很轻 D．弹簧和小球组成的系统机械能不守恒 【答案】A 【解析】A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型，故A正确； BC．弹簧的质量需要很轻，小球的质量远大于弹簧的质量，故BC错误； D．弹簧和小球组成的系统机械能守恒，故D错误。 故选A。 5．如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 【答案】D 【解析】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误； B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力满足以下分析的：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为，物块质量为，对物块根据牛顿第二定律 设木箱质量为，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律 可得 即弹簧的最大弹力减小到后，二者一起做简谐运动，故B错误； C．根据AB选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，物块速度不为零，故C错误； D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。 故选D。 ▌题型02 弹簧振子的能量转化与守恒 1．简谐运动过程中，动能与势能不断相互转化，系统的机械能守恒，振幅不变；振幅越大，系统的机械能越大。 2．平衡位置处：位移为零、速度最大，动能最大、势能最小；最大位移处：速度为零、位移最大，势能最大、动能为零。 3．动能与势能在一个周期内各变化两次，变化的周期是振动周期的一半，即T′＝T/2。 4．对称性：关于平衡位置对称的两点，动能相等、势能相等，速度大小相等而方向可能相反。 特别提醒：竖直弹簧振子讨论能量时，重力势能与弹性势能之和才是“系统势能”，只算弹性势能会得出机械能不守恒的错误结论。 6．(多选)如图所示，一劲度系数为k轻弹簧一端固定在地面，另一端与质量为m的物体P连接，跨过定滑轮的轻绳一端与物体Р连接，另一端与质量为3m的物体Q连接，重力加速度为g，用手托着物体Q使轻绳刚好伸直无张力，当手离开Q之后，下列说法正确的是（　　） A．P运动到最高点时速度为零，加速度为零 B．当Q的速度最大时，P的速度也达到最大 C．当Q的速度最大时，P和Q的机械能之和最大 D．弹簧的弹性势能和两物体的重力势能之和最小时，绳子的拉力大小为3mg 【答案】BD 【解析】A．由题意，可以把P、Q及轻绳看着一个整体，则当手离开Q之后，整体相当于竖直方向上的弹簧振子模型，将在竖直方向上做简谐振动，当手离开Q之后，根据简谐振动的特点可知，在P运动到最高点时速度为零，但其加速度不为零，故A错误； BCD．由于P、Q通过细绳连接，它们的速度、加速度大小总是相等，所以当Q的速度最大时，P的速度也达到最大；把弹簧、P、Q看着一个系统，系统的机械能守恒，则弹簧的弹性势能和两物体的重力势能之和最小时，此时P、Q的动能最大，此时P位于平衡位置，可知P、Q此时的加速度为零，对P有 对Q，有 求得此时弹簧弹力为 弹簧处于伸长状态，弹簧的弹性势能不是最小，即原长状态，所以由系统机械能守恒，可知当Q的速度最大时，P和Q的机械能之和不是最大，故BD正确，C错误。 故选 BD。 【举一反三】 7．(多选)如图，一轻质弹簧左端与墙固定，右端与铁块连接，铁块在光滑水平面上的B、C两点间做简谐运动，点为平衡位置。现有一橡皮泥从点正上方某处竖直下落，恰好以速率击中速率也为的铁块，并与之粘连。橡皮泥与铁块质量相同且均可视为质点。弹簧振子简谐振动的振动周期（其中为弹簧的劲度系数，为振子的质量）。则（　　） A．橡皮泥与铁块粘连时，橡皮泥和铁块组成的系统动量守恒 B．橡皮泥与铁块粘连的过程中，橡皮泥和铁块组成的系统机械能损失了 C．橡皮泥击中铁块后，系统的振幅变大 D．橡皮泥击中铁块后，系统的周期变大 【答案】BD 【解析】A．橡皮泥与铁块粘连过程中，竖直方向上系统所受合外力不为零，即小球和小车在竖直方向上动量不守恒，水平方向上动量守恒。故A错误； B．橡皮泥与铁块粘连的过程中，水平方向动量守恒，可得 橡皮泥和铁块组成的系统机械能损失了 联立，解得 故B正确； C．橡皮泥击中铁块前，在光滑水平面做简谐运动时，设其振幅为A，由系统机械能守恒定律得 橡皮泥击中铁块后，二者一起在光滑水平面做简谐运动时，设其振幅为，由系统机械能守恒定律得 联立，解得 即橡皮泥击中铁块后，系统的振幅变小。故C错误； D．橡皮泥击中铁块后，根据弹簧振子的周期公式 可知弹簧振子的质量增加，弹簧劲度系数未变，所以整个弹簧振子的周期变大。故D正确。 故选BD。 8．如图所示，光滑斜面上的轻弹簧一端固定，另一端与小球相连。弹簧处于原长时小球位于O点（O在A、B之间）。现用外力将小球沿斜面从O点缓慢推至A点，推力做功W。撤去推力，小球从A点出发经O点到达B点时速度为零，则此过程中，小球（　　） A．在O点时的动能最大 B．在O点时的动能一定大于W C．在A点时，弹簧的弹性势能可能大于W D．在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W 【答案】D 【解析】A．小球位于平衡位置时合外力为零，速度最大，动能最大，依题意如图所示，平衡位置应该在O点下方，故A错误； B．小球从O点出发再次回到O点时，弹力和重力均不做功，由动能定理可知，小球在O点时的动能等于W，故B错误； C．小球从O到A的过程中，推力做的功等于弹簧和小球系统机械能的增加量，故在A点时，弹簧弹性势能小于W，故C错误； D．由O到A再到B的过程中，由动能定理有 以O点所在水平面为参考平面，由功能关系有， 解得 故在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W，故D正确。 故选D。 9．钓鱼可以修身养性，颇受人们喜爱。如图为某鱼漂的示意图，鱼漂上部可视为圆柱体。鱼漂受到微小扰动会上下振动，某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面，向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响，则（　　） A．鱼漂的振动不是简谐运动 B．鱼漂振动过程中机械能守恒 C．M点到达水面时，鱼漂的动能最小 D．N点到达水面时，鱼漂的加速度最小 【答案】C 【解析】A．设鱼漂静止时圆柱体在水中部分的长度为，圆柱体的底面积为S，鱼漂除圆柱体外的体积为V，根据平衡条件得 取竖直向下为正方向，鱼漂从平衡位置再向下运动x时，鱼漂所受的合力为 联立解得 设 则 故鱼漂的振动为简谐运动，故A错误； B．鱼漂振动过程中水的浮力做功，所以鱼漂的机械能不守恒，故B错误； C．M点到达水面时，鱼漂位于最低点，鱼漂的动能最小，等于零，故C正确； D．N点到达水面时，鱼漂位于最高点，相对于平衡位置的位移最大，合力最大，鱼漂的加速度最大，故D错误。 故选C。 10．(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（  ）    A．M与N的密度相等 B．Q的质量是P的3倍 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 【答案】AC 【解析】A．由图像可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有 可得 则该图像的斜率为，纵轴截距为重力加速度；根据图像的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为 又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即 即该星球的质量为 又 联立可得 故两星球的密度之比为 故A正确； B．当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，则有 即 结合图像可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为 故物体P和物体Q的质量之比为 故B错误； C．物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（）时，它们的动能最大；根据 结合图像面积的物理意义可知，物体P的最大速度满足 物体Q的最大速度满足 则两物体的最大动能之比 故C正确； D．物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为和，即物体P所在弹簧最大压缩量为，物体Q所在弹簧最大压缩量为，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，故D错误。 故选AC。 11．如图，一辆小车（装有细沙）与一轻质弹簧组成一个弹簧振子在光滑水平面做简谐运动，当小车以最大速度通过某点时，一小球恰好以大小为v的速度竖直落入小车沙堆中并立即与小车保持相对静止，已知弹簧振子的周期为，其中k为弹簧的劲度系数，以下正确的是（　　） A．小球落入小车过程中，小球和小车（含沙）动量守恒 B．小球落入小车过程中，小球、小车（含沙）和弹簧组成的系统机械能守恒 C．小球与小车保持相对静止后，整个弹簧振子的振幅变小 D．小球与小车保持相对静止后，整个弹簧振子的周期变小 【答案】C 【解析】A．小球落入小车过程中，小球和小车所受合外力竖直方向不为零，动量不守恒，选项A错误； B．设小车和小球的质量分别为m1、m2，小球落入小车后瞬间，整体的速度大小为v，碰撞瞬间小车和小球组成的系统在水平方向上动量守恒，则 解得 由题意可知碰撞前后瞬间弹簧的弹性势能均为零，则碰前瞬间系统的机械能为 碰后瞬间系统的机械能为 所以小球落入小车过程中，小球、小车和弹簧组成的系统机械能不守恒，选项B错误； C．弹簧振子的振幅与振子所具有的机械能有关，振子的机械能越大，振子到达最大位移处时弹簧的弹性势能越大，伸长量越大，即振幅越大，根据B项分析可知小球与小车保持相对静止后，振子的机械能为E2减小，所以整个弹簧振子的振幅变小，选项C正确； D．小球与小车保持相对静止后，振子的质量增大，根据题给周期表达式可知整个弹簧振子的周期变大，选项D错误。 故选C。 ▌题型03 简谐运动的对称性与综合应用 1．时间对称：质点从平衡位置到某点所用时间，等于从该点返回平衡位置所用时间；相邻两次经过同一位置的时间间隔可由对称性直接写出。 2．空间对称：在关于平衡位置对称的两个位置上，弹性势能相同、动能相同，因而速率相同，而回复力与加速度等大反向。 3．周期性：t与t＋nT时刻振动状态完全相同，凡是“已知位移或速度求时刻”的问题都要考虑多解。 4．与碰撞、动量结合的综合题：碰撞瞬间用动量守恒求碰后速度，碰后系统仍做简谐运动，再用能量关系或对称性求振幅、周期与位移。 5．弹簧类综合题的关键：先确定新的平衡位置，振幅等于初始位置到新平衡位置的距离，周期只由振动系统本身决定，与振幅无关。 特别提醒：碰撞若使系统质量改变，周期随之改变；但若碰撞发生在平衡位置，系统的振幅由碰后速度重新决定，不能沿用碰前的振幅。 12．(多选)两木块A、B质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，如图所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A上下做简谐振动。在振动过程中，木块B刚好始终不离开地面即它对地面最小压力为零。以下说法正确的是（　　） A．在振动过程中木块A的机械能守恒 B．A做简谐振动的振幅为 C．A做简谐振动的振幅为 D．木块B对地面的最大压力是 【答案】CD 【解析】A．振动过程中，物块A与弹簧所组成的系统机械能守恒，物块A的机械能不守恒，故A错误； BCD．当弹簧被拉伸最长时，此时B对地面的压力刚好为零，即此时弹簧的弹力等于B的重力，即 此时弹簧的形变量最大，为 当弹簧的弹力等于物块A的重力时，弹簧被压缩，处于简谐振动的平衡位置，此时弹簧形变量为 则振幅为最大位移处与平衡位置的距离，为 木块A有最大加速度，为 F+mg=ma 由对称性可知，当物块A运动到最低点，即弹簧被压缩至最短时，弹簧的弹力大小依然为F1，此时有 即弹簧对B的最大弹力为，则木块B对地面的最大压力为 故B错误，CD正确。 故选CD。 【举一反三】 13．(多选)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为的简谐运动：与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图（b）所示。已知河水密度为，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．x从到的过程中，木棒的动能先增大后减小 B．x从到的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小 C．和时，木棒的速度大小相等，方向相反 D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为 E．木棒的运动为向x轴正方向传播的机械横波，波速为 【答案】ABD 【解析】A．由简谐运动的对称性可知，0.1m、0.3m、0.5m时木棒处于平衡位置；则x从到的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，A正确； B．x从到的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动（未到平衡位置），加速度竖直向下，大小减小，B正确； C．和时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在同一位置，竖直方向速度大小相等，速度方向相反，而两时刻木棒水平方向速度相同，所以合速度大小相等，方向不是相反，C错误； D．木棒在竖直方向的简谐运动可类比于竖直方向的弹簧振子，设木棒长度为L，回复力系数为k，平衡位置时木棒重心在水面下方，则有 木棒重心在平衡位置上方最大位移A处时 木棒重心在平衡位置下方最大位移A处时 可解得 ， D正确； E．木棒上各质点相对静止随木棒一起运动，不能看成向x轴正方向传播的机械横波，E错误。 故选ABD。 14．(多选)如图所示，竖直轻弹簧两端连接两个小物块A、B，置于水平地面上且处于静止状态，现将小物块C从A的正上方某位置静止释放，物块C与A碰后粘连在一起共同运动。已知在以后的运动过程中，当A向上运动到最高点时，B受地面支持力恰好变为开始的。重力加速度为g，弹簧劲度系数为k，A的质量为m，B的质量为3m，C的质量为2m，下列说法正确的是（　　） A．物块A与物块C粘连共同向下运动过程，速度逐渐减小 B．小物块做简谐运动的振幅为 C．地面受最大压力为9mg D．物块C释放位置距离物块A为 【答案】BD 【解析】A．初始时，由平衡条件可知弹簧处于压缩，弹力与A的重力等大反向，物块A与物块C碰后粘连共同向下运动过程中，刚碰瞬间弹簧弹力不能突变，AC整体合力向下，物块A与物块C粘连共同先向下做加速运动，故A错误； B．初始时，弹簧处于压缩，对A由平衡条件可知 对B由平衡条件可知 当A向上运动到最高点时，B受地面支持力恰好变为开始的，可得 对B由平衡条件可得 解得 弹簧处于伸长 在平衡位置，对AC整体分析得 解得 小物块做简谐运动的振幅为 故B正确； C．在最高点，对AC整体分析得 解得 根据简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点的加速度大小相等，有 解得 对B由平衡条件，可得 根据牛顿第三定律可知，地面受最大压力为10mg，故C错误； D．C与A碰前，有 A与C发生完全非弹性碰撞，有 从A与C相碰到最低点整个过程由能量守恒有 解得 故D正确。 故选BD。 15．如图所示，光滑水平面上放有质量为M=2kg的足够长的木板B，通过水平轻弹簧与竖直墙壁相连的物块A叠放在B上，A的质量为m=1kg，弹簧的劲度系数k=100N/m。初始时刻，系统静止，弹簧处于原长。现用一水平向右的拉力F=10N作用在B上，已知A、B间动摩擦因数μ=0.2，弹簧振子的周期为，取g=10m/s2，π2=10。则（    ） A．A受到的摩擦力逐渐变大 B．A向右运动的最大距离为4cm C．当A的总位移为2cm时，B的位移一定为5cm D．当A的总位移为4cm时，弹簧对A的冲量大小可能为 【答案】B 【解析】A．拉力作用瞬间，整体加速度为 A的最大加速度为 则开始运动时，二者就会发生相对滑动，A所受摩擦力大小不变，A错误； B．弹簧弹力与A所受摩擦力相等时，A的位移为 此时A的速度最大，即振幅为2cm，则A的最大位移为4cm，B正确； C．A的位移为2cm时，经过时间为 （n=0，1，2，3…） 或 （n=0，1，2，3…） 由题意，周期为。B的加速度为 则此时B的位移为 或 说明当A的总位移为2cm时，B的位移不一定为5cm，C错误； D．当A的总位移为4cm时，速度为零，即动量的变化量为零。说明弹簧与摩擦力对A的冲量等大，即 此时A的运动时间为 （n=0，1，2，3…） 得 （n=0，1，2，3…） 即当A的总位移为4cm时，弹簧对A的冲量大小不可能为，D错误。 故选B。 16．如图甲，弹簧振子的平衡位置点为坐标原点，小球在、两点间做振幅为的简谐运动，小球经过点时开始计时，其图像如图乙，小球的速度，加速度为，质量为，动能为，弹簧劲度系数为，弹簧振子的弹性势能为，弹簧对小球做功的功率为，下列描述该运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．小球做简谐运动，速度 可知在时速度最大，小球位于平衡位置，此时加速度为0，位移为0，动能最大，弹性势能为0，弹簧的弹力为0，对小球做功的功率为0，故A错误； B．由图像可知小球的位移 弹簧对小球做功的功率 可见功率的最大值为 从平衡位置开始计时，当经历周期时，弹簧振子的速度为0，功率为0，并不是最大功率，故B错误； CD．由 可知 则小球速度变化周期为 所以动能和势能的周期为 小球的最大速度为 则最大动能为 根据机械能守恒可知最大弹性势能为 故C错误，D正确。 故选D。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简谐运动的回复力与能量（题型突破） 题型01 简谐运动的判定与回复力分析 题型02 弹簧振子的能量转化与守恒 题型03 简谐运动的对称性与综合应用 ▌题型01 简谐运动的判定与回复力分析 1．简谐运动的动力学定义：物体所受回复力与偏离平衡位置的位移成正比、方向总与位移方向相反，即F＝－kx，这是判定简谐运动的唯一依据。 2．回复力是按效果命名的力，可以由某一个力提供（如水平弹簧振子由弹力提供），也可以由几个力的合力或某个力的分力提供（如单摆由重力沿切线方向的分力提供）。 3．平衡位置是回复力为零的位置：竖直弹簧振子的平衡位置在弹簧伸长x0＝mg/k处，不是弹簧原长处。但回复力为零不等于合力为零——单摆经过最低点时，重力与拉力的合力还要提供向心力。 4．判定步骤：先找平衡位置，再把物体拉离平衡位置位移x，写出沿振动方向的合力表达式，最后看是否满足F＝－kx。 特别提醒：F＝－kx中的k只在弹簧振子里等于弹簧的劲度系数，其他情形下k是由系统决定的比例常数，不要一律当成劲度系数。 1．(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是（　　） A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 【举一反三】 2．(多选)如图，一个弹簧振子在水平方向上做简谐运动，当某一时刻的位移为负方向时，下列说法正确的是（　　） A．速度一定为负方向 B．速度一定为正方向 C．加速度一定为正方向 D．回复力一定为正方向 3．(多选)某种弹簧振子做简谐振动，动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此弹簧振子在光滑的水平面上振动 B．时刻弹簧振子处在平衡位置 C．弹簧振子的周期为 D．弹簧振子的周期为 4．关于弹簧振子，以下说法正确的是（　　） A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型 B．小球的质量远小于弹簧的质量 C．弹簧的质量不需要很轻 D．弹簧和小球组成的系统机械能不守恒 5．如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 ▌题型02 弹簧振子的能量转化与守恒 1．简谐运动过程中，动能与势能不断相互转化，系统的机械能守恒，振幅不变；振幅越大，系统的机械能越大。 2．平衡位置处：位移为零、速度最大，动能最大、势能最小；最大位移处：速度为零、位移最大，势能最大、动能为零。 3．动能与势能在一个周期内各变化两次，变化的周期是振动周期的一半，即T′＝T/2。 4．对称性：关于平衡位置对称的两点，动能相等、势能相等，速度大小相等而方向可能相反。 特别提醒：竖直弹簧振子讨论能量时，重力势能与弹性势能之和才是“系统势能”，只算弹性势能会得出机械能不守恒的错误结论。 6．(多选)如图所示，一劲度系数为k轻弹簧一端固定在地面，另一端与质量为m的物体P连接，跨过定滑轮的轻绳一端与物体Р连接，另一端与质量为3m的物体Q连接，重力加速度为g，用手托着物体Q使轻绳刚好伸直无张力，当手离开Q之后，下列说法正确的是（　　） A．P运动到最高点时速度为零，加速度为零 B．当Q的速度最大时，P的速度也达到最大 C．当Q的速度最大时，P和Q的机械能之和最大 D．弹簧的弹性势能和两物体的重力势能之和最小时，绳子的拉力大小为3mg 【举一反三】 7．(多选)如图，一轻质弹簧左端与墙固定，右端与铁块连接，铁块在光滑水平面上的B、C两点间做简谐运动，点为平衡位置。现有一橡皮泥从点正上方某处竖直下落，恰好以速率击中速率也为的铁块，并与之粘连。橡皮泥与铁块质量相同且均可视为质点。弹簧振子简谐振动的振动周期（其中为弹簧的劲度系数，为振子的质量）。则（　　） A．橡皮泥与铁块粘连时，橡皮泥和铁块组成的系统动量守恒 B．橡皮泥与铁块粘连的过程中，橡皮泥和铁块组成的系统机械能损失了 C．橡皮泥击中铁块后，系统的振幅变大 D．橡皮泥击中铁块后，系统的周期变大 8．如图所示，光滑斜面上的轻弹簧一端固定，另一端与小球相连。弹簧处于原长时小球位于O点（O在A、B之间）。现用外力将小球沿斜面从O点缓慢推至A点，推力做功W。撤去推力，小球从A点出发经O点到达B点时速度为零，则此过程中，小球（　　） A．在O点时的动能最大 B．在O点时的动能一定大于W C．在A点时，弹簧的弹性势能可能大于W D．在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W 9．钓鱼可以修身养性，颇受人们喜爱。如图为某鱼漂的示意图，鱼漂上部可视为圆柱体。鱼漂受到微小扰动会上下振动，某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面，向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响，则（　　） A．鱼漂的振动不是简谐运动 B．鱼漂振动过程中机械能守恒 C．M点到达水面时，鱼漂的动能最小 D．N点到达水面时，鱼漂的加速度最小 10．(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（  ）    A．M与N的密度相等 B．Q的质量是P的3倍 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 11．如图，一辆小车（装有细沙）与一轻质弹簧组成一个弹簧振子在光滑水平面做简谐运动，当小车以最大速度通过某点时，一小球恰好以大小为v的速度竖直落入小车沙堆中并立即与小车保持相对静止，已知弹簧振子的周期为，其中k为弹簧的劲度系数，以下正确的是（　　） A．小球落入小车过程中，小球和小车（含沙）动量守恒 B．小球落入小车过程中，小球、小车（含沙）和弹簧组成的系统机械能守恒 C．小球与小车保持相对静止后，整个弹簧振子的振幅变小 D．小球与小车保持相对静止后，整个弹簧振子的周期变小 ▌题型03 简谐运动的对称性与综合应用 1．时间对称：质点从平衡位置到某点所用时间，等于从该点返回平衡位置所用时间；相邻两次经过同一位置的时间间隔可由对称性直接写出。 2．空间对称：在关于平衡位置对称的两个位置上，弹性势能相同、动能相同，因而速率相同，而回复力与加速度等大反向。 3．周期性：t与t＋nT时刻振动状态完全相同，凡是“已知位移或速度求时刻”的问题都要考虑多解。 4．与碰撞、动量结合的综合题：碰撞瞬间用动量守恒求碰后速度，碰后系统仍做简谐运动，再用能量关系或对称性求振幅、周期与位移。 5．弹簧类综合题的关键：先确定新的平衡位置，振幅等于初始位置到新平衡位置的距离，周期只由振动系统本身决定，与振幅无关。 特别提醒：碰撞若使系统质量改变，周期随之改变；但若碰撞发生在平衡位置，系统的振幅由碰后速度重新决定，不能沿用碰前的振幅。 12．(多选)两木块A、B质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，如图所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A上下做简谐振动。在振动过程中，木块B刚好始终不离开地面即它对地面最小压力为零。以下说法正确的是（　　） A．在振动过程中木块A的机械能守恒 B．A做简谐振动的振幅为 C．A做简谐振动的振幅为 D．木块B对地面的最大压力是 【举一反三】 13．(多选)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为的简谐运动：与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图（b）所示。已知河水密度为，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．x从到的过程中，木棒的动能先增大后减小 B．x从到的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小 C．和时，木棒的速度大小相等，方向相反 D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为 E．木棒的运动为向x轴正方向传播的机械横波，波速为 14．(多选)如图所示，竖直轻弹簧两端连接两个小物块A、B，置于水平地面上且处于静止状态，现将小物块C从A的正上方某位置静止释放，物块C与A碰后粘连在一起共同运动。已知在以后的运动过程中，当A向上运动到最高点时，B受地面支持力恰好变为开始的。重力加速度为g，弹簧劲度系数为k，A的质量为m，B的质量为3m，C的质量为2m，下列说法正确的是（　　） A．物块A与物块C粘连共同向下运动过程，速度逐渐减小 B．小物块做简谐运动的振幅为 C．地面受最大压力为9mg D．物块C释放位置距离物块A为 15．如图所示，光滑水平面上放有质量为M=2kg的足够长的木板B，通过水平轻弹簧与竖直墙壁相连的物块A叠放在B上，A的质量为m=1kg，弹簧的劲度系数k=100N/m。初始时刻，系统静止，弹簧处于原长。现用一水平向右的拉力F=10N作用在B上，已知A、B间动摩擦因数μ=0.2，弹簧振子的周期为，取g=10m/s2，π2=10。则（    ） A．A受到的摩擦力逐渐变大 B．A向右运动的最大距离为4cm C．当A的总位移为2cm时，B的位移一定为5cm D．当A的总位移为4cm时，弹簧对A的冲量大小可能为 16．如图甲，弹簧振子的平衡位置点为坐标原点，小球在、两点间做振幅为的简谐运动，小球经过点时开始计时，其图像如图乙，小球的速度，加速度为，质量为，动能为，弹簧劲度系数为，弹簧振子的弹性势能为，弹簧对小球做功的功率为，下列描述该运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $