专题01 简谐运动的图像及其应用（重难点训练）物理沪科版选择性必修第一册

**基本信息** 以简谐运动图像为核心，通过三题型分层突破，系统提炼图像读取、物理量判断及多解问题的解题方法，构建从基础概念到综合应用的递进逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |由图像读取振幅、周期和位移|4题/弹簧公仔振动实例|明确振幅（波峰/谷距t轴距离）、周期（相邻同状态时间间隔）、位移（直接读取）的读取规则，强调路程计算条件|从图像基本要素（A、T、x）切入，建立描述简谐运动的物理量概念体系| |判断速度、加速度与回复力|4题/水平弹簧振子模型|用F=-kx、a=-kx/m关联位移与回复力、加速度，通过图像斜率判断速度方向与大小，明确特殊位置（平衡位置/最大位移）的物理量特征|深化运动和相互作用观念，构建位移-力-加速度-速度的动态关系链| |对称性与多解问题|4题/振动方程应用|总结振动方程书写步骤（A→T→初相位），强调重复性（nT）和对称性（平衡位置对称点），指导多解分类讨论方法|提升科学推理能力，实现从单一情境到复杂多解问题的应用拓展|

专题01 简谐运动的图像及其应用（题型突破） 题型01 由振动图像读取振幅、周期和位移 题型02 由振动图像判断速度、加速度与回复力 题型03 振动图像的对称性与多解问题 ▌题型01 由振动图像读取振幅、周期和位移 1．简谐运动的图像（x-t图像）是一条正弦（余弦）曲线，横轴为时间t，纵轴为质点相对平衡位置的位移x。 2．振幅A：图像上波峰或波谷到t轴的距离，等于质点偏离平衡位置的最大距离，是标量，恒为正值。 3．周期T：相邻两次出现相同振动状态所经历的时间，即图像上相邻两个波峰（或波谷）之间的时间间隔；频率f＝1/T，单位为Hz。 4．位移x：由图像直接读出，正负号表示方向；t1到t2时间内的位移Δx＝x2－x1。 5．路程：一个周期内路程为4A，半个周期内为2A，四分之一周期内的路程只有从平衡位置或最大位移处开始计时时才等于A。 特别提醒：x-t图像描述的是位移随时间的变化规律，不是质点的运动轨迹，简谐运动的轨迹是一条直线。 1．如图甲所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动。以向上为正方向，在头部通过平衡位置时开始计时，头部相对平衡位置的位移随时间的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的振幅为6cm B．t=0.3s时头部向正方向运动 C．t=0.4s时头部受到的回复力最大 D．t=0.3s和t=0.5s时，头部的加速度相同 【答案】B 【解析】A．通过题图乙可知，简谐运动的振幅为3cm,故A错误； B．通过图像，可知t=0.3s时，头部正由最下部返回到平衡位置，头部向正方向运动，故B正确； C．由图像知t=0.4s时头部运动到平衡位置，头部受到的回复力最小，故C错误； D．由图像知可知，t=0.3s和t=0.5s时，头部的位移大小相等，方向相反，所以头部的加速度大小相等，方向也相反，故D错误。 故选B。 【举一反三】 2．如图所示为甲、乙两弹簧振子的振动图像，由图像可知，下列说法正确的是（　　） A．甲的速度为零时，乙的速度也为零 B．甲的加速度为零时，乙的加速度也为零 C．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比为2：1 D．甲、乙两弹簧振子的速度方向总是相同 【答案】B 【解析】A．振子在最大位移处时速度最小为零，在平衡位置时速度最大，由图示图像可知，甲在最大位移处速度为零时，乙在平衡位置，速度最大，故A错误； B．振子在平衡位置时加速度为0，由图示图像可知，甲在平衡位置时乙也在平衡位置，甲的加速度为零时，乙的加速度也为零，故B正确； C．由图示图像可知，甲的周期，乙的周期，振子的频率 则，故C错误； D．图像的斜率代表速度，可知甲、乙两弹簧振子的速度方向并非总是相同，故D错误。 故选B。 3．(多选)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则（　　） A．时刻小球向上运动 B．时刻光源的加速度向上 C．小球与光源的振动步调总是相反 D．时刻影子的位移为5A 【答案】CD 【解析】A．以竖直向上为正方向，根据题图2可知，时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移大小增大，可知时刻小球向下运动，A错误； B．以竖直向上为正方向，时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式图像，表明其做简谐运动，根据 可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，B错误； C．根据题图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，C正确； D．根据题图2可知，时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光沿直线传播知投影在屏上的影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，如图所示 根据几何关系有 解得 即时刻影子的位移为5A。D正确。 故选CD。 4．弹簧振子从时刻开始振动的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子的周期为0.4s B．时刻，振子的动能最大 C．振子振动方程为 D．0~2.2s时间间隔内，振子的路程为55cm 【答案】C 【解析】AC．由图像可知弹簧振子的周期为 振幅为 由数学知识可得振动方程为 代入数据可得 故A错误，C正确； B．时刻，振子的动能最小，故B错误； D．0~2.2s时间间隔内，振子的路程为 故D错误。 故选C。 ▌题型02 由振动图像判断速度、加速度与回复力 1．回复力F＝－kx，加速度a＝－kx/m，二者大小都与位移x成正比，方向都与位移方向相反，始终指向平衡位置。 2．最大位移处（波峰、波谷）：位移最大，回复力、加速度最大，速度为零；平衡位置处（图像与t轴的交点）：位移为零，回复力、加速度为零，速度最大。 3．速度的方向与大小看图像的斜率：斜率为正，质点沿正方向运动；斜率为负，沿负方向运动；斜率绝对值越大，速度越大。 4．由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小、加速度增大，做加速度增大的减速运动；由最大位移处向平衡位置运动时，做加速度减小的加速运动。 特别提醒：判断加速还是减速看a与v是否同向，同向加速、反向减速；而a的方向永远与位移方向相反，与质点在图像上的位置一一对应。 5．(多选)如图，轻弹簧一端连接质量为m的物体A，另一端固定在竖直墙面上，A通过轻绳跨过轻质定滑轮与质量为m的物体B连接，绳、弹簧与光滑水平桌面平行，A离滑轮足够远、B离地面足够高。初始时A位于O点，弹簧处于原长。现将A由静止释放，设A相对O点的位移为x、速度为v、加速度为a、运动时间为t，弹簧弹力大小为F，轻绳张力大小为T，重力加速度为g。从开始运动到A第一次回到O点，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A．将A、B视为一个整体，在B的重力和弹簧弹力作用下，加速度随位移线性变化，做简谐运动。A错误； BC．根据简谐运动规律可知，从开始运动到A第一次回到O点过程中，物体先做加速度减小的加速运动，当弹簧弹力为时，加速度为0，速度最大，之后做加速度增大的减速运动，当速度为0时，弹簧的弹力为，此时相对点位移最大，B正确；C正确； D．当初始释放时，A、B的加速度为 解得 对B隔离分析可知 解得 由于物块并不是做匀变速直线运动，则弹力随时间非线性变化，则整体加速度非线性变化，则绳张力非线性变化，D错误。 故选BC。 【举一反三】 6．如图甲所示，一质量为m＝0.4kg的物块放置在倾角为的光滑斜面底端，时刻对物块施加一沿斜面方向的外力F，外力F随位移x变化的图像如图乙所示，规定沿斜面向上为F的正方向，若物块从开始运动到第一次速度变为0所用时间为4s，重力加速度g取，则从物块开始运动至运动到处所用的时间可能为（    ） A．4s B．8s C．10s D．12s 【答案】C 【解析】根据图乙可知，与的函数关系为 物块所受合力为 当时， 令 则有 故物块以处为平衡位置做简谐运动，根据简谐运动的对称性可知，物块到达处的时间可能为 故选C。 7．如图所示，一水平弹簧振子在P、Q间做简谐运动，振幅为A，取平衡位置O处为原点，向右为正，则图中表示振子速度v与振动位移x关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据能量守恒 结合数学知识可知，速度与位移的关系是一个椭圆，故选D。 8．(多选)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向左为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示，下列说法正确的是（    ） A．0~0.5s时间内，振子的加速度方向向右，大小从零变为最大 B．0.5~1.0s时间内，振子所受回复力方向向左，大小从零变为最大 C．1.0~1.5s时间内，振子的速度方向向左，大小从零变为最大 D．1.5~2.0s时间内，振子的速度方向向左，大小从零变为最大 【答案】AD 【解析】A．根据图像可知，0 ~ 0.5s时间内，振子由O向B运动，振子从平衡位置到正的最大位移处，根据可知加速度方向向右，大小从零变为最大，故A正确； B．根据图像可知，0.5 ~ 1.0s时间内，振子由B向O运动，振子从正的最大位移处运动到平衡位置，根据F = ﹣kx可知回复力减小，所受回复力方向向右，大小从最大变为零，故B错误； C．根据图像可知，1.0 ~ 1.5s时间内，振子由O向A运动，振子的速度方向向右，大小从最大变为零，故C错误； D．根据图像可知，1.5 ~ 2.0s时间内，振子由A向O运动，振子的速度方向向左，大小从零变为最大，则振子的速度方向向左，大小从零变为最大，故D正确。 故选AD。 ▌题型03 振动图像的对称性与多解问题 1．振动方程：以平衡位置为坐标原点，若t＝0时质点在平衡位置且沿正方向运动，则x＝Asin(2πt/T)；若t＝0时质点在正向最大位移处，则x＝Acos(2πt/T)。 2．由图像写方程的步骤：先由波峰高度读出振幅A，再由相邻波峰的时间间隔读出周期T，最后由t＝0时刻的位移和运动方向确定用正弦还是余弦。 3．重复性：相隔一个周期的两个时刻，质点的位移、速度、加速度完全相同，即t时刻与t＋nT时刻（n为整数）振动状态相同。 4．对称性：关于平衡位置对称的两点，位移大小相等、方向相反，速度大小相等，加速度大小相等、方向相反；质点从平衡位置到某点与从该点回到平衡位置所用时间相等。 5．多解问题：由于重复性与对称性，已知位移大小求时刻或时间时往往有多个解，必须结合运动方向、所在区间或题设条件逐一取舍。 特别提醒：题目只给位移大小而不指明方向时，务必分“正方向”“负方向”两种情况讨论，漏解是本题型最常见的失分点。 9．(多选)如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。t=0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像（x−t）如图乙所示，其中t=0.2 s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（   ） A．t=0.2 s后物块做简谐运动 B．t=0.4 s时物块的加速度大于重力加速度 C．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘连后振动的周期增大 D．t=0.2 s后物块坐标位置随时间变化关系为 E．t=0.2 s后物块坐标位置随时间变化关系为 【答案】ABD 【解析】A．时物块刚接触薄板，落至薄板上后和薄板始终粘连，构成竖直方向的弹簧振子，并且从图像看，0.2s以后的图像为正弦函数曲线，A正确； B．薄板为轻质薄板，质量可忽略不计。由图乙可知，B点是图像的最高点，C点是图像最低点，根据简谐运动的对称性可知，最高点的加速度和最低点的加速度大小相等，即，由简谐运动的加速度满足可知，a与x成正比，设A点处的偏离平衡位置位移大小为xA，C点处偏离平衡位置的位移大小为xC，有，所以，故，到A点时，物块只受重力，，所以，B正确； C．弹簧振子的周期只与振动系统本身有关，与物块起始下落的高度无关，故物块与薄板粘连后振动周期不变，C错误； DE．由图乙可知 因为 振幅为0.2m，0.2s后物块位置随时间变化关系式为 当时 代入上式得 所以 D正确，E错误。 故选ABD。 【举一反三】 10．某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系式为x=Asinωt，图像如图所示，则下列说法中不正确的是（　　） A．弹簧在第1s末与第5s末的长度相同 B．简谐运动的圆频率 C．第3s末弹簧振子的位移大小为 D．第3s末至第5s末弹簧振子的速度方向都相同 【答案】A 【解析】A．由振动图像看出，振子在第1s末与第5s末的位移大小相等，方向相反，说明弹簧分别处于伸长状态和压缩两个不同状态，弹簧的长度不同，A错误，符合题意； B．由图读出周期为 T=8s 则圆频率为 B正确，不符合题意； C．将t=3s代入振动方程得 C正确，不符合题意； D．由图看出第3s末至第5s末，弹簧振子一直向负方向运动，D正确，不符合题意。 故选A。 11．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。规定竖直向上为正方向，某时刻开始计时后的振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（　　） A．回复力等于浮力 B．振动周期与按压的深度有关 C．振动表达式为 D．在时间内，路程为2cm 【答案】C 【解析】A．装有一定量液体的玻璃管受到重力和液体的浮力，所以玻璃管做简谐运动的回复力等于重力和浮力的合力，故A项错误； B．结合简谐运动的特点可知，振动的周期与振幅无关，即该振动的周期与按压的深度无关，故B项错误； C．振动的周期为0.5s，则圆频率 由题意可知振动的振幅，时刻 结合时刻玻璃管振动的方向向下，可知 （舍去） 则玻璃管的振动表达式为 故C项正确； D．由题图乙可知，在时间内，路程 故D项错误。 故选C。 12．(多选)如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子的简谐运动的图像，两个振子的质量相等，已知简谐运动周期公式，弹簧弹性势能，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，则（    ） A．甲振子的振动位移 B．甲、乙两振子的振幅之比为 C．甲、乙两振子的最大加速度之比为 D．甲、乙两振子的机械能之比为 【答案】BD 【解析】A．由题图可知，甲振子的周期 振幅 振动位移 A错误； B．由题图可知，乙振子的振幅 则甲、乙两振子的振幅之比为，B正确； C．根据 可得 甲、乙两振子的数大加速度之比为 C错误； D．甲、乙两弹簧振子的机械能之比等于在位移最大位置的弹性势能之比，即根据 可得 则两弹簧振子的机械能之比为，D正确。 故选BD。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 简谐运动的图像及其应用（题型突破） 题型01 由振动图像读取振幅、周期和位移 题型02 由振动图像判断速度、加速度与回复力 题型03 振动图像的对称性与多解问题 ▌题型01 由振动图像读取振幅、周期和位移 1．简谐运动的图像（x-t图像）是一条正弦（余弦）曲线，横轴为时间t，纵轴为质点相对平衡位置的位移x。 2．振幅A：图像上波峰或波谷到t轴的距离，等于质点偏离平衡位置的最大距离，是标量，恒为正值。 3．周期T：相邻两次出现相同振动状态所经历的时间，即图像上相邻两个波峰（或波谷）之间的时间间隔；频率f＝1/T，单位为Hz。 4．位移x：由图像直接读出，正负号表示方向；t1到t2时间内的位移Δx＝x2－x1。 5．路程：一个周期内路程为4A，半个周期内为2A，四分之一周期内的路程只有从平衡位置或最大位移处开始计时时才等于A。 特别提醒：x-t图像描述的是位移随时间的变化规律，不是质点的运动轨迹，简谐运动的轨迹是一条直线。 1．如图甲所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动。以向上为正方向，在头部通过平衡位置时开始计时，头部相对平衡位置的位移随时间的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的振幅为6cm B．t=0.3s时头部向正方向运动 C．t=0.4s时头部受到的回复力最大 D．t=0.3s和t=0.5s时，头部的加速度相同 【举一反三】 2．如图所示为甲、乙两弹簧振子的振动图像，由图像可知，下列说法正确的是（　　） A．甲的速度为零时，乙的速度也为零 B．甲的加速度为零时，乙的加速度也为零 C．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比为2：1 D．甲、乙两弹簧振子的速度方向总是相同 3．(多选)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则（　　） A．时刻小球向上运动 B．时刻光源的加速度向上 C．小球与光源的振动步调总是相反 D．时刻影子的位移为5A 4．弹簧振子从时刻开始振动的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子的周期为0.4s B．时刻，振子的动能最大 C．振子振动方程为 D．0~2.2s时间间隔内，振子的路程为55cm ▌题型02 由振动图像判断速度、加速度与回复力 1．回复力F＝－kx，加速度a＝－kx/m，二者大小都与位移x成正比，方向都与位移方向相反，始终指向平衡位置。 2．最大位移处（波峰、波谷）：位移最大，回复力、加速度最大，速度为零；平衡位置处（图像与t轴的交点）：位移为零，回复力、加速度为零，速度最大。 3．速度的方向与大小看图像的斜率：斜率为正，质点沿正方向运动；斜率为负，沿负方向运动；斜率绝对值越大，速度越大。 4．由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小、加速度增大，做加速度增大的减速运动；由最大位移处向平衡位置运动时，做加速度减小的加速运动。 特别提醒：判断加速还是减速看a与v是否同向，同向加速、反向减速；而a的方向永远与位移方向相反，与质点在图像上的位置一一对应。 5．(多选)如图，轻弹簧一端连接质量为m的物体A，另一端固定在竖直墙面上，A通过轻绳跨过轻质定滑轮与质量为m的物体B连接，绳、弹簧与光滑水平桌面平行，A离滑轮足够远、B离地面足够高。初始时A位于O点，弹簧处于原长。现将A由静止释放，设A相对O点的位移为x、速度为v、加速度为a、运动时间为t，弹簧弹力大小为F，轻绳张力大小为T，重力加速度为g。从开始运动到A第一次回到O点，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 6．如图甲所示，一质量为m＝0.4kg的物块放置在倾角为的光滑斜面底端，时刻对物块施加一沿斜面方向的外力F，外力F随位移x变化的图像如图乙所示，规定沿斜面向上为F的正方向，若物块从开始运动到第一次速度变为0所用时间为4s，重力加速度g取，则从物块开始运动至运动到处所用的时间可能为（    ） A．4s B．8s C．10s D．12s 7．如图所示，一水平弹簧振子在P、Q间做简谐运动，振幅为A，取平衡位置O处为原点，向右为正，则图中表示振子速度v与振动位移x关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 8．(多选)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向左为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示，下列说法正确的是（    ） A．0~0.5s时间内，振子的加速度方向向右，大小从零变为最大 B．0.5~1.0s时间内，振子所受回复力方向向左，大小从零变为最大 C．1.0~1.5s时间内，振子的速度方向向左，大小从零变为最大 D．1.5~2.0s时间内，振子的速度方向向左，大小从零变为最大 ▌题型03 振动图像的对称性与多解问题 1．振动方程：以平衡位置为坐标原点，若t＝0时质点在平衡位置且沿正方向运动，则x＝Asin(2πt/T)；若t＝0时质点在正向最大位移处，则x＝Acos(2πt/T)。 2．由图像写方程的步骤：先由波峰高度读出振幅A，再由相邻波峰的时间间隔读出周期T，最后由t＝0时刻的位移和运动方向确定用正弦还是余弦。 3．重复性：相隔一个周期的两个时刻，质点的位移、速度、加速度完全相同，即t时刻与t＋nT时刻（n为整数）振动状态相同。 4．对称性：关于平衡位置对称的两点，位移大小相等、方向相反，速度大小相等，加速度大小相等、方向相反；质点从平衡位置到某点与从该点回到平衡位置所用时间相等。 5．多解问题：由于重复性与对称性，已知位移大小求时刻或时间时往往有多个解，必须结合运动方向、所在区间或题设条件逐一取舍。 特别提醒：题目只给位移大小而不指明方向时，务必分“正方向”“负方向”两种情况讨论，漏解是本题型最常见的失分点。 9．(多选)如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。t=0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像（x−t）如图乙所示，其中t=0.2 s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（   ） A．t=0.2 s后物块做简谐运动 B．t=0.4 s时物块的加速度大于重力加速度 C．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘连后振动的周期增大 D．t=0.2 s后物块坐标位置随时间变化关系为 E．t=0.2 s后物块坐标位置随时间变化关系为 【举一反三】 10．某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系式为x=Asinωt，图像如图所示，则下列说法中不正确的是（　　） A．弹簧在第1s末与第5s末的长度相同 B．简谐运动的圆频率 C．第3s末弹簧振子的位移大小为 D．第3s末至第5s末弹簧振子的速度方向都相同 11．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。规定竖直向上为正方向，某时刻开始计时后的振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（　　） A．回复力等于浮力 B．振动周期与按压的深度有关 C．振动表达式为 D．在时间内，路程为2cm 12．(多选)如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子的简谐运动的图像，两个振子的质量相等，已知简谐运动周期公式，弹簧弹性势能，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，则（    ） A．甲振子的振动位移 B．甲、乙两振子的振幅之比为 C．甲、乙两振子的最大加速度之比为 D．甲、乙两振子的机械能之比为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $