17.2 用公式法分解因式 课前预习练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法分解因式，通过基础巩固、方法应用、综合拓展三层设计，实现从单一公式到实际应用的知识进阶，培养抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|提公因式法、平方差公式、完全平方公式直接应用|单选1-3考查公式辨析，填空9-10强化基础变形，夯实概念理解| |方法应用|配方法、十字相乘法、分组分解法结合|单选4-5结合密码情境与配方法，填空11-12融入因式分解简算，提升运算能力| |综合拓展|实际问题与新定义应用|解答16圆形面积计算、18新定义因式分解，体现数学与现实的联系，发展应用意识|

17.2 用公式法分解因式 课前预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 5．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 6．计算 等于（ ） A． B． C． D． 7．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 8．如图，边长为，的长方形，它的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．40 B．70 C．80 D．160 二、填空题 9．一个关于a的二项式，其中一项是，若这个二项式能因式分解，则另一项是______．（只写一种即可） 10．已知，则的值为__________． 11．若a=2021×589－588×2021，b=2019×2018－2017×2020，则a与b的大小关系为______． 12．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 13．运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 15．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 16．如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3） 17．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得，； 利用这个式子可以将某些二次项系数是的二次三项式分解因式． 例如：将式子分解因式． 分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解：． 请依照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)若可分解为两个一次因式的积，请写出整数的所有可能的值． 18．【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D D B A B C 1．【答案】A 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】运用完全平方公式对多项式进行因式分解即可． 【详解】解：∵完全平方公式为， ∴． 2．【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，通过因式分解的常用方法（如平方差公式、完全平方公式）或判别式判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项 C：，不能进行因式分解，符合题意； 选项 D：，不符合题意； 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查整式加减运算、有理数乘法运算、完全平方公式及因式分解，熟记合并同类项、有理数乘法、完全平方公式及平方差公式因式分解是解决问题的关键． 依据合并同类项运算、有理数乘法法则、完全平方公式、平方差公式因式分解逐一判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：A、由于与不是同类项，不能合并，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、由平方差公式因式分解可知，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答． 【详解】a2-6ab+5b2 =a2-6ab+9b2-4b2 =(a-3b)2-(2b)2 =(a-3b+2b)(a-3b-2b) =(a-b)(a-5b)； 故选：D． 【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 5．【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， ∴分解后的因子为8，，，， 对应汉字为：利、津、爱、我， 组合后为“我爱利津”， 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 7．【答案】B 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得． 【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数， ∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，， ∴，，，，，， ∴，，，，，， 综上，整数的值有2个， 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，因式分解的运用，理解题意，得到，再运用因式分解得到，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴原式， 故选：C ． 9．【答案】（答案不唯一） 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握提取公因式或平方差公式这两种方法 考虑因式分解的常见方法，如提取公因式或平方差公式，另一项可选择常数或一次项以使二项式可分解即可． 【详解】解：若另一项可以为， 则二项式为； 或另一项可以为， 则二项式为． 故答案为：（答案不唯一）． 10．【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查代数式化简与整体代入思想．熟悉代数式化简的方法，利用整体代入思想代入已知条件求得代数式的值，是解题的关键． 首先去括号将多项式化简，再根据完全平方公式进行因式分解，最后代入已知式子的值即可． 【详解】解：将原式展开并整理， 得：， 已知，代入得：， ∴原式的值为． 故答案为：． 11．【答案】a＞b 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】先把a提取公因式进行因式分解求出a，再把b利用乘法分配律化简得出b的值，最后比较大小． 【详解】解：∵a＝2021×589−588×2021 ＝2021×（589−588） ＝2021×1 ＝2021． b＝2019×2018−2017×2020 ＝2019×（2017＋1）−2017×（2019＋1） ＝2019×2017＋2019−2017×2019−2017 ＝2019−2017 ＝2． 故答案为：a＞b． 【点睛】本题考查了因式分解，准确拆项是本题的关键． 12．【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，完全平方公式以及平方差公式的应用，解决本题的关键是根据题目特点使用不同方法并正确计算． （1）提取公因式 即可因式分解； （2）提取公因式 即可因式分解； （3）根据平方差公式即可因式分解； （4）提取负号，再使用完全平方公式即可因式分解； （5）应用平方差公式与完全平方公式即可因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 15．【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用分组分解法分解即可； （2）用分组分解法分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 16．【答案】剩余钢板的面积为 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，分解因式后把半径的值代入后可得结果，熟练地运用平方差公式进行计算是解题的关键． 【详解】解： ． 则剩余钢板的面积为． 17．【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】十字相乘法 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得； （3）找出所求满足题意p的值即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键． 18．【答案】(1)， (2)16 (3) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【详解】（1）解：； （2）解：根据完全平方公式可知：是一个完全平方式； （3）解：原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $