1,4 正方形的性质和判定 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 1.4正方形的性质和判定同步练习，含选择10题、填空5题、解答6题，分层覆盖基础巩固到综合应用，通过几何直观与推理能力培养，构建从性质理解到判定应用的进阶路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形边、角、对角线性质|选择1-3直接考查周长、角度计算，填空11-12基础性质应用，解答16-17简单证明，强化概念理解| |中档|性质与判定综合|选择4-8结合矩形、菱形判定条件辨析，填空13-14涉及距离、中点四边形计算，解答18-20菱形证正方形，培养推理意识| |提高|复杂情境综合应用|选择9-10中点四边形、动态图形分析，填空15折叠坐标问题，解答21旋转与正方形判定，发展空间观念与创新意识|

1.4正方形的性质和判定同步练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.正方形一条对角线长为2V2,则周长为() A.4 B.42 C.8 D.8V2 2.如图，在正方形ABCD中，在BA延长线上取一点E,使BE=BD,连接DE,则∠EDA的度数为() A.10° B.15 C.30 D.22.5 3.如图1所示的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形如图2)，正方形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O,则下列说法不正确的是() B 图1 图2 A.AC⊥BD B.AD=AO C.DO=CO D.∠DAO=∠BAC 第1页，共1页 4.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是 () B.2 C.5 D.3 5.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE.若沿 EF剪开，将折叠部分展开得到的四边形ABFE是一个正方形，其数学原理是 () A.有一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 6.下列说法中，不正确的是() A.如果一个四边形既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形 B.有一个角是直角的菱形是正方形 C.有一组邻边相等的矩形是正方形 D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 7.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那 么这个条件可以是（) A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD 第2页，共1页 8.如图，已知口ABCD的对角线AC,BD交于点O,添加下列条件后，口ABCD不一定是正方形的是() A.AB=AD'AC=BD BAB=BC'AC⊥BD C∠BAD=90'AC⊥BD D.∠AOD=90'A0=D0 9.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点，则下列说法正确的是 A.若AC=BD,则四边形EFGH为矩形 B.若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形 C.若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分 D.若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等 10.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=3V2,E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.下列结论：①矩形 DEFG是正方形；②CE=CF;③AE=CG;④CE+CG=6.其中正确的有() A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④ 第3页，共1页 二、填空题： 11.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC,BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE= 12.如图，过正方形ABCD的顶点A作直线l,过点B,D作l的垂线，垂足分别为E,F.若BE=8,DF=6, 则AB的长为一. 13.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点，则PB+PE的最 小值是一· D 14如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,且AC⊥BD,AC=BD,Sg边元Em2 第4页，共1页 ,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长等于一 H D B F 15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1,0)，点E在边CD上.将 △ADE沿AE折叠，点D落在点F处若点F的坐标为(0,3)，则点E的坐标为一 D E OB 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC的延长线上，点F在边CD的延长线上，且CE=DF,连接AE, BF,交于点M.求证：AE=BF. M B 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC=CD(_) 第5页，共1页 CE=DF,∴ 在△AEB和△BFC中， ,AB=BC,∠ABE=∠BCF,BE=CF, .(, ∴AE=BF 17.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠OCF=∠OBE.求证：OE=OF, 18.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD上的点，连接DE,CF,若∠1=∠2，求证： AE=DF」 A F D E 19.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，CE,DF相交于点G,连接AG. 第6页，共1页 D E G B (1)求证：CE⊥DF; (2∠AGE=∠CDF. 20.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE/1AC,CE//BD. (1)求证：四边形OCED是矩形： (2)若∠ABC=90°，求证：四边形OCED是正方形. 21.如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得 到△CBE'(点A的对应点为点C),延长AE交CE'于点F. 第7页，共1页 E E 图① 图② (1)试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； (2)如图②，若AD=DE,请猜想线段CF与E'F的数量关系并加以证明. 参考答案 1.C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.D 7.D 8.B 9.D 10.B 11.V2-1 12.10 13.10 14.8cm 15.（-1.5,5) 第8页，共1页 16.正方形的四个角都是直角，四条边相等 BC+CE=CD+DF,即BE=CF △AEB≌△BFC SAS 17.证明：.四边形ABCD是正方形， .AC⊥BD'OB=OC' ∴.∠AOB=∠BOC=90 又.'∠OCF=∠OBE, .∴.△OCF≌△OBE' ∴.OE=OF 18..四边形ABCD是正方形， ∴.∠EAD=∠FDC=90'AD=DC' 在△EAD和△FDC中， ∠1=∠2 AD=DC ∠EAD=∠FDC .△EAD≌△FDC(ASA' ∴AE=DF 19.【小题1】 证明：，四边形ABCD是正方形， .∴.AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°. E,F分别是AB,BC的中点， 第9页，共1页 BE=AB.CF=Bc,∴BE=C. 在△CBE与△DCF中， .BC=CD,∠B=∠DCF,BE=CF, ∴.△CBE≌△DCF,.∠ECB=∠CDF .∠BCE+∠ECD=90, ∴.∠ECD+∠CDF=90°， ∴.∠CGD=90°， ∴CE⊥DF 【小题2】 如图，延长CE交DA的延长线于点H. :E是AB的中点，∴AE=BE. .AD/BC,∴.∠AHE=∠BCE 又.'∠AEH=∠BEC, ∴.△AEH≌△BEC,∴.BC=AH, .BC=AD,.AH=AD. .CE⊥DF, ∴.AG是Rt△HGD斜边DH上的中线， .AG=DH=AD,∠ADG=∠AGD. .:∠AGE+∠AGD=90°，∠CDF+∠ADG=90°， ∴.∠AGE=∠CDF 20.【小题1】 第10页，共1页 证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,∴.∠COD=90°..DE/1AC,CE/1BD,∴.四边形 OCED是平行四边形..'∠COD=90°，∴.四边形OCED是矩形. 【小题2】 .四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是正方形..OD=OC.又.四边形OCED 是矩形，∴.四边形OCED是正方形. 21.四边形BE'FE是正方形，理由如下： .将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， .∠AEB=∠CE'B=∠EBE'=90°，BE=BE'. .∠BEF=90°， ∴.四边形BE'FE是矩形. .BE=BE', ∴四边形BE'FE是正方形CF=E'F;理由如下： 如图，过点D作DH⊥AE于H, D E H .DA=DE.DH⊥AE. AH=2AE,∠ADH+∠DAH=90, 第11页，共1页 ∴.四边形ABCD是正方形， .∴.AD=AB,∠DAB=90°， ∴.∠DAH+∠EAB=90°， .∴.∠ADH=∠EAB. .AD=AB,∠AHD=∠AEB=90°， ∴.△ADH≌△BAE(AAS, .'AH=BE=IAE. ,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴.AE=CE', 四边形BE'FE是正方形， .'BE=E'F, ..E'F=-CE'=CF, ∴.CF=E'F 第12页，共1页