2.4 解直角三角形的应用（第2课时）-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(湘教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦解直角三角形的坡度、坡角与方向角应用，课堂导入通过复习直角三角形边角关系（三角函数），为新知学习搭建知识支架，衔接前后内容。 以水库大坝横断面、航母航行等实际问题为载体，引导学生用数学眼光观察现实，通过转化梯形为直角三角形培养推理思维，用坡度、方向角等数学语言表达问题，提升应用意识，助力教师高效教学，学生巩固知识与能力。

2.4 解直角三角形的应用 第2课时 坡度、坡角与方形角问题 课题 第2课时 坡度、坡角与方向角问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P80-82 教学目标 1.使学生进一步掌握解直角三角形。 2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。 教学重难点 重点：会用计算器由已知锐角求它的锐角三角函数值。 难点：提高用现代工具解决实际问题的能力。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 师生活动：直角三角形的边角之间的关系: sin A==,cos A==,tan A==, sin B==,cos B==,tan B==。 回顾复习三角函数值，为学习新课打下基础。 2.实践探究，学习新知 【观察】 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？ 师生活动：学生独立思考后小组交流，选择学生代表回答问题，最后教师进行讲解并总结。 【归纳总结】 如图，从坡脚点A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，用字母i表示，即（坡度通常携程1：m的形式）。 在上图中，∠BAC叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作，显然，坡度等于坡角的正切，即。 注意：坡度不是一个度数，而是一个比值，是坡角的正切值.坡角越大，斜坡越陡；坡角越小，斜坡越缓.坡角α越大，tan α越大，坡度i越大。 教师活动：在学生解决问题的过程中，教师可通过以下问题进行引导： （1）进行和坡度有关的计算，常作辅助线构造直角三角形，根据解直角三角形的知识求坡角。 （2）根据坡度概念及梯形的高，可以求出AE，DF的长。 （3）由矩形的性质可得EF与BC的数量关系，求出EF的长，从而求出底AD的长。 （4）在Rt△ABE中，由坡角和坡度之间的关系可求出坡角。 【归纳总结】 利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。 得出坡度、坡角的定义，为下面解决相关问题打下基础。 总结出坡度、坡角的注意事项，有利于后续的解题。 总结概括如何解决与坡度、坡角有关的实际问题，培养并提高学生的总结概括能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 与坡度、坡角有关的实际问题 例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求： （1） 斜坡CD的坡角α （精确到 1°）； （2） 坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1 m）。 解：（1）斜坡CD的坡度i＝tan α＝1∶2.5＝0.4， 由计算器可算得α≈22°。故斜坡CD的坡角α为22°。 （2）分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，由题意可知BE＝CF＝23 m，EF＝BC＝6 m。 在Rt△ABE中，AE＝3BE＝69 m。 在Rt△DCF中，同理可得FD＝2.5CF＝57.5 m， 所以AD＝AE+EF+FD＝69+6+57.5＝132.5（m）。 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 AB＝≈72.7（m）， 故坝底AD的长度为132.5 m，斜坡AB的长度约为72.7 m。 变式训练1  如图，燕尾槽的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，其中∠B=∠C=55°，外口宽AD=180 mm，燕尾槽的深度AE=70 mm，求它的里口宽BC的值(精确到1 mm) 解：如下图，过点D作垂线，交BC于F点， 垂足为F点，则有AE=DF=70 m，EF=AD=180 mm。 在Rt△ABE中，BE= = ≈49.01（mm）， 所以BC=2BE+EF=49.01×2+180≈278（mm）。 答：燕尾槽的里口宽为278 mm。 考点2 与方位角有关的问题 例2 如图，我国航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长。 解：如图，过点B作BD⊥AC于点D。 由题意得，∠BAD=60°，∠BCD=45°，AB=80。 在Rt△ADB中，BD=AB·sin 60°=80×=40。 在Rt△BCD中，BC=。 所以BC的距离是40海里。 变式训练2 如图，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为_________。 答案：10 通过例题的讲解，加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力，差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1.某人上坡沿直线走了50 m，他升高了 m，则此坡的坡度为(　　) A.30° B.45° C.1∶1 D.1∶ 答案：C 2.小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了(　　) A. m　 　　 B.500 m　 C. m　 　　 D.m 答案：A 3.如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡比i＝1∶1.5，则AB＝ m。 答案： 4.如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 m，上底的宽是12.51 m，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1 m） 解：如图，作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F。 由题意可知DE＝CF＝4.2 m，CD＝EF＝12.51 m。 在Rt△ADE中，因为i＝＝tan 32°， 所以AE＝（m）。 同理可得，在Rt△BCF中，（m）， 所以AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1（m）。 答：路基下底的宽约为27.1 m。 5.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图所示的坡路进行改造.如图所示，改造前的斜坡AB＝200 m，坡度为1∶.将斜坡AB的高度AE降低20 m（即AC＝20 m）后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4.求斜坡CD的长（结果保留根号）。 改造前 改造后 解：因为∠AEB＝90°，AB＝200 m，坡度为1∶， 所以tan∠ABE＝，所以∠ABE＝30°， 所以AE＝AB＝100 m。 因为AC＝20 m，所以CE＝80 m。 因为∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1∶4， 所以，即，解得ED＝320 m， 所以CD＝＝（m）。 答：斜坡CD的长是 m。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P82练习T1~T2 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 7.板书设计 2.4　解直角三角形的应用 第2课时 坡度、坡角与方向角问题 1.坡度 2.坡角 3.坡度与坡角之间的关系：. 提纲掣领，重点突出。 8.教后反思 本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角、方向角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $