2.3 解直角三角形-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(湘教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦“解直角三角形”核心知识，通过塔顶倾斜的生活情境导入，将实际问题抽象为已知斜边和直角边求锐角的数学问题，衔接勾股定理、锐角互余及三角函数等旧知，搭建知识学习支架。 此资料亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过问题链引导学生自主归纳解直角三角形的条件与方法，体现推理意识，例题分层覆盖已知一锐角一边、已知两边等类型，训练运算能力与应用意识，助力学生构建知识体系，教师教学重点突出，高效落实教学目标。

2.3 解直角三角形 课题 2.3 解直角三角形 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P75-76 教学目标 1.理解解直角三角形的含义. 2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。 教学重难点 重点：掌握解直角三角形的方法。 难点：综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角。你能求出来吗？ 师生活动：教师展示上面的问题，学生独立思考后进行解答。 【总结】 将上述问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数。 借助生活中熟悉的场景，解决实际问题，以此激发学生探究的欲望，自然引出本节课内容的学习。 2.实践探究，学习新知 【说一说】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c. （1）直角三角形的三边之间有什么关系？ （2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ （3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 师生活动：学生独立思考后小组交流，选择学生代表回答问题，最后教师进行讲解并总结。 【归纳总结】 由直角三角形中已知的元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形。 教师追问：解直角三角形需要哪些条件？ 学生回答：独立思考，小组讨论交流。 解直角三角形除直角外，至少要知道其中的两个元素（这两个元素中至少有一条边）。 【归纳总结】 1.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 2.解直角三角形的条件可分为两大类： （1）已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一锐角、一斜边）； （2）已知两边（一直角边、一斜边或两条直角边）. 3.解直角三角形，先找三角形中的已知元素，再运用直角三角形中两锐角关系、三边关系、边角关系找到解直角三角形的准确方法.如果题目中没有直角三角形，可通过作辅助线构造出直角三角形. 总结解直角三角形的概念，培养学生的总结概括能力、语言表达能力等。 总结三角形相关知识。 3.学以致用，应用新知 考点1 已知一锐角和一边解直角三角形 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形（sin 35°≈0.57，tan 35°≈0.7，结果保留小数点后一位）。 解：∠A＝90°-∠B＝90°-35°＝55°。 因为 tan B＝tan 35°＝，所以 a＝。 因为 sin B＝，所以。 变式训练1  在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是( ) 答案：D 考点2 已知两边解直角三角形 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形。 解：因为 tan A＝， 所以∠A＝60°，∠B＝90°-∠A＝90°-60°＝30°。 所以 AB＝2AC＝。 通过例题的讲解，加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力，差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，欲求∠A的值，最适宜的做法是 (　　) A.计算tan A的值求出 B.计算sin A的值求出 C.计算cos A的值求出 D.先根据sin B求出∠B，再利用90°-∠B 答案：A 2.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是(　　) A.csin A=a B.bcos B=c C.atan A=b D.ctan B=b 答案：A 3.在Rt△ABC中，∠C = 90°， a = 20，c = 20，则∠A= ，∠B= ，b= 。 答案：45° 45° 20 4.根据下列条件解直角三角形. （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=。 （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，c=。 解：（1）因为 tan A=，所以∠A＝30°， 所以∠B＝90°-30°=60°，AB=2BC=。 （2）因为∠A＝60°，所以∠B＝90°-60°=30°。 因为，所以a＝c·sin A＝。 因为∠B＝30°，所以。 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，b=30，解这个直角三角形 （精确到1）。 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°， 所以∠A＝65°。 因为，所以。 因为，所以。 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，a= ，c=，解这个直角三角形。 解：因为 sin A=， 所以∠A=30°，∠B=60°，AC2=AB2-BC2==6， 所以AC=。 7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，求△ABC的周长和tan A的值. 解：因为sin A＝，所以BC＝AB＝12， 所以＝＝9， 所以△ABC的周长＝15+12+9＝36，tan A＝。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.由直角三角形中已知的元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形。 2.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P76练习T1~T3 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 7.板书设计 2.3　解直角三角形 由直角三角形中已知的元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形。 提纲掣领，重点突出。 8.教后反思 本节课在教学过程中,要能灵活处理教材,敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的,并能运用知识解决问题。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $