考点01 圆的有关概念4考点5题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以圆的定义为起点，通过概念辨析-位置关系-作图规律的逻辑链条，结合5类核心题型的方法提炼，形成从概念到应用的系统化训练，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|4考点|动态/静态定义辨析、d与r关系判定、三点定圆规律|从圆的本质定义出发，构建概念-性质-应用的逻辑链| |概念辨析题|3典例+3变式|抓关键词（同圆/等圆、直径/弦）排除法|通过易混概念对比，强化数学语言表达的精准性| |位置关系题|3典例+4变式|距离计算→大小比较→位置判定三步法|体现数形结合思想，培养运算能力与空间观念| |弦长与定圆题|2典例+3变式|直径最长弦性质、圆心半径定圆原理|结合几何直观，建立圆的基本性质应用模型| |三点共圆题|2典例+4变式|不共线三点唯一外接圆判定|链接三角形外接圆知识，发展推理意识与模型观念|

考点01 圆的有关概念 考点一：圆的两种定义（概念辨析核心） 1. 动态定义 在同一平面内，一条线段绕着它的一个固定端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆，记作⊙O，读作“圆O”。其中固定端点O为圆心，线段长为半径。 2. 静态定义（中考标准定义） 圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 ✅ 核心辨析（易混必背） 圆特指圆周曲线，不包含内部平面区域（圆面）； 圆心定位置，半径定大小，二者缺一不可，单独一项无法确定唯一圆； 圆上所有点到圆心的距离恒等于半径。 考点二：圆的基本概念辨析（选择填空高频） 概念名称 精准定义 核心性质与易错点 半径 圆心到圆上任意一点的线段 同圆或等圆中，所有半径长度相等，常用字母 r 表示 弦 连接圆上任意两点的线段 线段两端点必须均在圆周上，圆内任意线段不一定是弦 直径 经过圆心的弦 直径 d=2r；是圆内最长的弦；直径一定是弦，弦不一定是直径 弧 圆上任意两点间的曲线部分 分为优弧、劣弧、半圆三类，是曲线而非线段 劣弧 小于半圆的弧 用两个大写字母表示（如弧AB），无特殊说明默认劣弧 优弧 大于半圆的弧 必须用三个大写字母表示（如弧ACB），避免歧义 半圆 直径所对的弧 既不是优弧，也不是劣弧，是特殊的弧 等圆 能够完全重合的两个圆 本质：半径相等，圆心不同 同心圆 圆心相同、半径不同的圆 无法重合，大小不等 等弧 同圆或等圆中能够完全重合的弧 重中之重：长度相等的弧≠等弧，必须满足重合条件 考点三：点与圆的位置关系（计算必考） 设 ⊙O 半径为 r，平面内任意一点 P 到圆心O 的距离为 d，位置关系由 d 与 r 的大小关系唯一确定： d < r → 点P在圆内 d = r → 点P在圆上 d > r → 点P在圆外 核心性质：双向可逆，可根据距离判位置，也可根据位置求距离取值范围。 考点四：过定点作圆的规律（填空常考） 过1个点：可作无数个圆，圆心位置任意； 过2个点：可作无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； 过不在同一直线上的三个点：有且只有一个圆（三角形唯一外接圆）； 三点共线：无法作出外接圆。 题型一：圆的概念正误辨析题（选择题必考） 抓核心关键词：同圆/等圆、直线/线段、直径/弦、优弧/劣弧，对照定义逐一排除，不凭直觉判断。 1.长度相等的弧是等弧（×）→ 缺少同圆/等圆前提，无法重合； 2.弦相等则所对弧相等（×）→ 无同圆/等圆条件，且一条弦对应两条弧； 3.三点确定一个圆（×）→ 仅限不共线三点； 4.直径是圆中最长的弦（√）； 5.半圆是弧，但弧不一定是半圆（√）。 【典例1-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【典例1-2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【典例1-3】（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，三点在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·天津红桥·期末）如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型二：唯一圆的条件判定 圆心定位置，半径定大小，圆心半径俱全，圆唯一确定。 【典例2-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【典例2-2】（25-26九年级上·北京·随堂练习）平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 【变式2-4】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 题型三：点与圆位置关系判定及取值范围 1.计算点到圆心的距离 d； 2.对比 d 与半径 r 的大小； 3.判定位置或写出取值范围。 【典例3-1】（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【典例3-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 【典例3-3】（2025九年级上·北京·专题练习）已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 【变式3-1】（25-26九年级下·湖北武汉·开学考试）在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【变式3-2】（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【变式3-3】（25-26九年级上·西藏日喀则·期末）如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 题型四：圆中弦长取值问题 圆内弦长取值范围：0 < 弦长 ≤ 直径，直径为圆内最长弦，无最短弦。 【典例4-1】已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 【变式4-1】（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【变式4-2】（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 题型五：三点共圆判定（外接圆基础） 不共线三点 → 有且只有一个外接圆； 共线三点 → 无外接圆； 特殊结论：直角三角形外心为斜边中点。 【典例5-1】（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【变式5-3】（25-26九年级上·重庆·自主招生）已知锐角的外心为O，交于D，E、F分别为、的外心，若，，则__________． 【变式5-4】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系为（   ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 3．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 7．（2026·湖北荆门·三模）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 二、填空题 9．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 10．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 11．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，直线与圆 没有公共点，从点 向直线引垂线 ，垂足为 ，线段 交圆于点 ，若 ，圆 的半径为 ．点 为圆上一动点，且 于点 ，则 最大值为 ____ ． 12．（25-26九年级下·福建泉州·阶段检测）如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 13．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径均为2的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有两个点，从左向右分别记为，，，…，且它们到x轴的距离均为1，则点的坐标为______． 三、解答题 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形． (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为9 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．求正方形与正方形的面积比． 15．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使． (1)求证：； (2)如图2，连结，若，． ①求的半径． ②求的面积． 16．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为_____． (2)如图③点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最值． (3)如图④，正方形中，点分别为上的动点，且，、交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，求的最小值． 17．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）公元前一世纪《周髀算经》中记载的“方圆圆方图”是我国古代匠人建筑设计的经典构图，体现了古人对几何比例的深刻理解．令人惊叹的是，它所揭示的比例关系正是现代国际标准（）A系列纸张的设计基础，这个比例的值被称为“白银比”． (1)如图1，“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是_____； (2)如图2，纸的长宽比是“白银比”，将纸对折后得到纸．求证：纸的长宽比等于“白银比”； (3)如图3，先将（2）中的纸对折后得到纸，再将纸折叠，使点落在边上，得到正方形纸片．若纸的面积为，则正方形纸片的面积是______．（用含的代数式表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 圆的有关概念 考点一：圆的两种定义（概念辨析核心） 1. 动态定义 在同一平面内，一条线段绕着它的一个固定端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆，记作⊙O，读作“圆O”。其中固定端点O为圆心，线段长为半径。 2. 静态定义（中考标准定义） 圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 ✅ 核心辨析（易混必背） 圆特指圆周曲线，不包含内部平面区域（圆面）； 圆心定位置，半径定大小，二者缺一不可，单独一项无法确定唯一圆； 圆上所有点到圆心的距离恒等于半径。 考点二：圆的基本概念辨析（选择填空高频） 概念名称 精准定义 核心性质与易错点 半径 圆心到圆上任意一点的线段 同圆或等圆中，所有半径长度相等，常用字母 r 表示 弦 连接圆上任意两点的线段 线段两端点必须均在圆周上，圆内任意线段不一定是弦 直径 经过圆心的弦 直径 d=2r；是圆内最长的弦；直径一定是弦，弦不一定是直径 弧 圆上任意两点间的曲线部分 分为优弧、劣弧、半圆三类，是曲线而非线段 劣弧 小于半圆的弧 用两个大写字母表示（如弧AB），无特殊说明默认劣弧 优弧 大于半圆的弧 必须用三个大写字母表示（如弧ACB），避免歧义 半圆 直径所对的弧 既不是优弧，也不是劣弧，是特殊的弧 等圆 能够完全重合的两个圆 本质：半径相等，圆心不同 同心圆 圆心相同、半径不同的圆 无法重合，大小不等 等弧 同圆或等圆中能够完全重合的弧 重中之重：长度相等的弧≠等弧，必须满足重合条件 考点三：点与圆的位置关系（计算必考） 设 ⊙O 半径为 r，平面内任意一点 P 到圆心O 的距离为 d，位置关系由 d 与 r 的大小关系唯一确定： d < r → 点P在圆内 d = r → 点P在圆上 d > r → 点P在圆外 核心性质：双向可逆，可根据距离判位置，也可根据位置求距离取值范围。 考点四：过定点作圆的规律（填空常考） 过1个点：可作无数个圆，圆心位置任意； 过2个点：可作无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； 过不在同一直线上的三个点：有且只有一个圆（三角形唯一外接圆）； 三点共线：无法作出外接圆。 题型一：圆的概念正误辨析题（选择题必考） 抓核心关键词：同圆/等圆、直线/线段、直径/弦、优弧/劣弧，对照定义逐一排除，不凭直觉判断。 1.长度相等的弧是等弧（×）→ 缺少同圆/等圆前提，无法重合； 2.弦相等则所对弧相等（×）→ 无同圆/等圆条件，且一条弦对应两条弧； 3.三点确定一个圆（×）→ 仅限不共线三点； 4.直径是圆中最长的弦（√）； 5.半圆是弧，但弧不一定是半圆（√）。 【典例1-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 【典例1-2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 【典例1-3】（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，三点在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·天津红桥·期末）如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【详解】解：连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，如图， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：． 题型二：唯一圆的条件判定 圆心定位置，半径定大小，圆心半径俱全，圆唯一确定。 【典例2-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【典例2-2】（25-26九年级上·北京·随堂练习）平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【详解】解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆， 对于①和④，一次函数的图象的形状是直线，故不符题意； 对于②，二次函数的图象的形状是抛物线，与直线最多两个交点，故符合题意； 对于③，反比例函数的图象的形状是双曲线，与直线最多两个交点，故符合题意． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 【答案】4或 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 【变式2-4】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 【答案】 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴若点在直线上， 则有， ∴当点，，三点可以确定一个圆时，则n需要满足的条件为， 所以n取值范围是． 题型三：点与圆位置关系判定及取值范围 1.计算点到圆心的距离 d； 2.对比 d 与半径 r 的大小； 3.判定位置或写出取值范围。 【典例3-1】（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 【典例3-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在上，的半径为3， ∴． 【典例3-3】（2025九年级上·北京·专题练习）已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【详解】解：∵， ∴， ∴或，即或， ∵的半径， ∴当时，，点P在圆内；当时，，点P也在圆内． ∴点P在内． 【变式3-1】（25-26九年级下·湖北武汉·开学考试）在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】C 【详解】∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴，即， ∴点P在外． 【变式3-2】（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 【变式3-3】（25-26九年级上·西藏日喀则·期末）如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 【答案】 【详解】如图，连接， ，， ， 以点为圆心作，使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外， 的半径的取值范围是：． 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 题型四：圆中弦长取值问题 圆内弦长取值范围：0 < 弦长 ≤ 直径，直径为圆内最长弦，无最短弦。 【典例4-1】已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 【典例4-2】（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 【答案】7 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 【变式4-1】（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 【变式4-2】（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【详解】（1）解：是中一条最长的弦，如图所示： （2）解：底边的中线如图所示： （3）解：直线即为所求．如图所示： 题型五：三点共圆判定（外接圆基础） 不共线三点 → 有且只有一个外接圆； 共线三点 → 无外接圆； 特殊结论：直角三角形外心为斜边中点。 【典例5-1】（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例5-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【详解】解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·重庆·自主招生）已知锐角的外心为O，交于D，E、F分别为、的外心，若，，则__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于点M，于点N，于点P． ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别为、的外心， ∴M、N分别为、的中点， ， ， 又， ∴， ， ∴． ∵锐角的外心为O， ， ， ， ， ∵E为的外心， 又，， ， ∴． 又， ∴． 故答案为：． 【变式5-4】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系为（   ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵，， ∴， ∴点在上 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵的半径为5， ∴点C在上． 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴设的直径为， 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 7．（2026·湖北荆门·三模）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴． ∵， ∴，， ∴． 8．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 二、填空题 9．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 10．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，直线与圆 没有公共点，从点 向直线引垂线 ，垂足为 ，线段 交圆于点 ，若 ，圆 的半径为 ．点 为圆上一动点，且 于点 ，则 最大值为 ____ ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 设， ∵在中，， ∴， 当在的左侧时， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，最大为：； 当在的右侧且不在直线上时， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， 令， 则， ∴当，即时，有最大值， ∴故当时，最大为，此时最大值为：； ∵ ∴当时，最大为，此时最大值为：． 故答案为： ． 12．（25-26九年级下·福建泉州·阶段检测）如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点，，交于点， ∵，，∴，∵，∴，∵，， ∴，∵，∴，∴， ∵，，，∴（），∴， ∵，，∴，∵，∴四边形是正方形， ∴，∴，， 如图所示，作的中点，连接，连接， ∵点是的中点，为中点，∴，∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接交于点，过点作，∴当点，，三点共线时，即点和点重合时，的值最小，∵点是的中点，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，，∴的最小值为 13．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径均为2的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有两个点，从左向右分别记为，，，…，且它们到x轴的距离均为1，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：过分别作轴，轴， 则， ，， ，，，，， ∴的横坐标，当为奇数时，横坐标为， 则的横坐标为， 对于，其纵坐标的变化规律是每4个一组循环， ∴的纵坐标为1， ∴． 三、解答题 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形． (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为9 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．求正方形与正方形的面积比． 【答案】(1)16 (2)①② 【详解】（1）解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设正方形的边长为a，则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为16． 故答案为：16； （2）解：①连接，如图， ∵四边形是正方形，且其面积为9， ∴． 由（1）知：， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴． ②延长，交于点K，连接，如图， ∵四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由①知：，， 设正方形的边长为y，则， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，     ∴正方形的边长为． ∴正方形与正方形的面积比． 15．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使． (1)求证：； (2)如图2，连结，若，． ①求的半径． ②求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设，则， ， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）． ∴． ∴圆O的半径为； ②如图，过点作于点， ，即． ∴， ∵， ∴． 16．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为_____． (2)如图③点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最值． (3)如图④，正方形中，点分别为上的动点，且，、交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，求的最小值． 【答案】(1)2或5 (2)线段的最大值为，最小值为； (3) 【详解】（1）解：如图①，若点在圆外，此时，， ∴， ∴圆的半径为2； 如图②，若点P在圆内，此时，， ∴， ∴圆的半径为5； 综上所述，圆的半径为2或5； 故答案为：2或5； （2）解：取点，连接， ∵点， ∴点A为线段的中点， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值；当线段取得最小值时，线段也取得最小值， 连接，并延长交圆P于点、， ∴当点B位于点时，线段有最大值；当点B位于点时，线段有最小值， ∵， ∴， ∵圆P的半径为，即， ∴， ∴线段的最大值为，最小值为 ∴线段的最大值为，最小值为； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 17．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）公元前一世纪《周髀算经》中记载的“方圆圆方图”是我国古代匠人建筑设计的经典构图，体现了古人对几何比例的深刻理解．令人惊叹的是，它所揭示的比例关系正是现代国际标准（）A系列纸张的设计基础，这个比例的值被称为“白银比”． (1)如图1，“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是_____； (2)如图2，纸的长宽比是“白银比”，将纸对折后得到纸．求证：纸的长宽比等于“白银比”； (3)如图3，先将（2）中的纸对折后得到纸，再将纸折叠，使点落在边上，得到正方形纸片．若纸的面积为，则正方形纸片的面积是______．（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：设正方形为，连接, 根据题意，得大圆的直径为正方形的对角线，小圆的直径为正方形的边， 又， 故， 故“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是． (2)解：如图，设， ∵纸的长宽比是“白银比”， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得四边形是矩形， 且，， 故， ∴纸的长宽比等于“白银比”． （3）解：设， ∵纸的长宽比是“白银比”， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得四边形是矩形， 且，， 第二次折叠，得， 故正方形纸片的面积是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $