专题13 与圆有关的弧长、面积计算（4大题型）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建系统性训练，聚焦公式应用、图形转化与动态轨迹，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|弧长/扇形面积公式；割补/等积变换；路径长三要素；正多边形中心角关系；方程思想与分类讨论|从公式到图形转化，构建“公式→基本图形→组合图形”递进逻辑| |题型归纳|4题型（各含典例+3变式）|正多边形：中心角与直角三角形；平面镶嵌：内角整除360°；路径长：轨迹三要素；面积计算：分解基本图形|题型与方法一一对应，典例覆盖核心考法与易错点| |压轴挑战|15题|综合应用上述方法，结合相似、三角函数等跨知识|从基础到压轴，实现能力迁移与思维突破|

专题13 与圆有关的弧长、面积计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、正多边形和圆的计算问题 题型2、平面镶嵌问题 题型3、弧长、路径长的计算 题型4、与圆有关的图形面积计算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 与圆有关的弧长、面积计算，要熟练掌握弧长公式 l=(nπR)/180、扇形面积公式 S=(nπR²)/360=(1/2)lR；求不规则图形面积常用“割补法”“等积变换”“整体减空白”；路径长问题需分清是点绕定点旋转还是滚动，确定圆心角与半径；正多边形与圆、平面镶嵌问题要抓住中心角、边心距与半径的关系；综合题注意结合三角形、相似、三角函数建立方程，注意分类讨论． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、正多边形和圆的计算问题 典例1 （2025·浙江杭州·三模）已知，正方形和它的外接圆． (1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径； (2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明； (3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 题型模版 1.特征：正多边形与圆结合，求边长、边心距、半径、中心角或相关面积． 2.方法：利用正n边形中心角 360°/n 及边心距、半径、边长的一半构成直角三角形；结合勾股定理与三角函数求解． 变式1-1 （25-26九年级上·浙江台州·期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为，，可得，即．若利用两个正六边形的面积，则可得的范围为______． 变式1-2 如图①，是的直径，，点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，连接，． (1)以为边的内接正多边形的边数为 ； (2)当直径平分时，求的长； (3)如图②，连接并延长，交的延长线于点E，当是等腰三角形时，直接写出扇形的面积． 变式1-3 如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 题型2、平面镶嵌问题 典例2 阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 题型模版 1.特征：用正多边形能否密铺平面，或计算镶嵌中相关角度、面积． 2.方法：判断正多边形每个内角能否整除360°；分析拼接点处各角之和为360°的条件，必要时列方程求解． 变式2-1 （25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 【项目背景】 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． (1)用两种平行四边形镶嵌成如图1所示的图案，其中，，则 ， °； 【项目探究】 (2)如图2，在平行四边形环保材料中，，点E为边的中点，连接，，试探究与的位置关系并证明； 【方案设计】 (3)某课外活动实践小组拟用上述环保材料镶嵌室内活动场地，计划先将分割、拼接成长方形，再用这种拼成的长方形进行镶嵌．（要求：最多被分割两次，拼接成长方形后不再进行分割） ①请设计两种新的方案，将进行分割、拼接成一个长方形，在下图中画出你的方案设计示意图，并参照示例图3，用画阴影的方式对平移或旋转的图形进行标记； ②已知长方形场地的长为、宽为，环保材料的边为，为，边上的高为．小组发现，存在一种方案恰好能用分割拼接成的长方形镶嵌整个长方形场地，请给出这种方案，并通过计算说明理由． 变式2-2 项目主题：探究多边形的密铺 中国的密铺工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉唐发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的密铺，传承着东方美学与匠心精神． 密铺定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地组成一片，又叫平面镶嵌．为了更多地了解平面密铺，“鹿鸣•博约”数学项目小组对多边形的平面密铺进行了如下探究： 探究一：正多边形的密铺 (1)项目组思考，仅用同一种类型的正多边形进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号）： (2)项目组尝试用两种正多边形进行平面密铺，是否能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密铺？若能，请求出每一个顶点周围的正三角形和正四边形的个数；若不能，请说明理由． (3)项目组继续用三种正多边形进行平面密铺，如图1，用边长相等的正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律密铺． ①按此规律，则第n个图案有____个正方形；（用含n的代数式表示） ②按此规律，是否存在这样一个图案，它的正方形个数是第x个图案与第y个图案正方形个数之和的6倍．若存在，求出是第几个图案（用含x，y的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 项目组发现，正三角形，正四边形，正五边形，正六边形分别各取一个内角相加，有，故用四种以及四种以上的正多边形不能密铺整个平面．所以，项目组思考一般多边形是否可以平面密铺． 探究二：一般多边形的密铺 (4)项目组发现：任意两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，可以进行平面密铺，因此有以下猜想：①任意四边形都能密铺；②任意五边形都能密铺：③任意六边形都能密铺，正确的结论有______；（填写所有可选择的序号） (5)项目组从杂志上看到了一幅图2所示密铺作品，该作品是由若干个全等的如图3所示的五边形进行的密铺形成，已知，求边的长度： 变式2-3 综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． 密铺方式构建：运用密铺知识得到图1所示的拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． (1)密铺规律探究：为方便研究，称图2为图1的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，图1每增加一个图2所示的拼接单元，则增加 ① 个正六边形和 ② 个正三角形，长度增加 ③ ，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ ． 【项目分析】 ①项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． ②基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． ③方式确定： （ⅰ）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与六个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． (2)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图3）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼10块拼接第一行单元，即共用去10个正六边形和60个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图3所示的阴影正六边形）．最终需用11个正六边形和60个正三角形组件，本方案每行的成本为 ⑤ 元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺21行．本方案所需的总成本为 ⑥ 元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令，解得，所以每行可以先拼12块拼接单元，即共用去12个正六边形和72个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余，无法再摆放组件．方案二每行的成本为 ⑦ 元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得 ，故需铺18行．方案二所需的总成本为 ⑧ 元． 【项目实施】 (3)根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动，应选择方案 ⑨ ． 题型3、弧长、路径长的计算 典例3 （25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形，，． (1)求证：． (2)①尺规作图：过点作，交的延长线于点． ②求证：． (3)求的长． 题型模版 1.特征：求点在运动过程中经过的路径长，涉及弧长或折线轨迹． 2.方法：确定运动轨迹的圆心、半径和圆心角；用弧长公式计算；多段路径分段求和． 变式3-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式3-2 （2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边，如图（1）所示．则的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长． 思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴① ； ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴②______∥______； 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴③点F所经过的路径长为 ． (3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长． (4)正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F，G都在直线上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 变式3-3 （24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 题型4、与圆有关的图形面积计算 典例4 （25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． (1)求的长． (2)若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 题型模版 1.特征：求与圆相关的阴影部分或不规则图形面积，常用割补、等积、整体减空白． 2.方法：把图形分解为扇形、三角形、弓形等基本图形；利用对称、等积变换转化为可求面积；注意圆心角与半径的准确选取． 变式4-1 （25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 变式4-2 （24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 变式4-3 图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求四边形的面积． (3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积． 变式4-4 材料：梯形面积公式 梯形面积公式为 ，其中，为上底长，为下底长，为高．其推导方法有很多，其中一种方法是通过把梯形转化为两个三角形面积的差，并借助相似三角形的性质得到证明的． 如图，，对于梯形，上底，下底，高为，为了得到梯形的面积，延长和交于点，过点作于点并交于点，不难证明，则，所以， 材料：扇形面积公式 如图，半径为，圆心角为的扇形面积公式为 ，其中为弧长，而 弧长半径，形式上与 底高类似 材料：扇环 如图，扇环是指两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分，即图中阴影部分． (1)结合材料和材料的相关内容，类比猜想材料中扇环的面积 请用含有、和的代数式表示，其中的长度为，的长度为，线段的长为，即两个同心圆的半径之差，并证明你的猜想； (2)用一段长为米的篱笆围成一个如图所示的扇环形花园，线段的长为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连结，相交于点P，连结，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则扇形的面积为．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 7．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时，___________(结果保留) 8．图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为______．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为______． 9．用若干张全等的小正六边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），形成的图案（部分）如图所示，每个小正六边形纸片的中心称为“繁星点”，用6个“繁星点”为顶点构成的一个正六边形称为“衍生六边形”，比如图中的六边形．已知某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有60个“繁星点”，则该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有___________个． 10．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 11．（25-26九年级上·福建福州·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得，求的大小； (2)如图2，线段交线段于点F，在绕点A旋转一周的过程中： ①求证：点F是的中点； ②点F移动的路程为___________． 12．（25-26八年级下·福建莆田·阶段检测）阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ． 13．（25-26八年级下·北京·期中）【活动一】 在生活中，我们经常可以看到用正方形瓷砖铺设的墙面和地面，如图1，在铺设时，都要求砖与砖之间严丝合缝，边与边相接，并且可以覆盖整个墙面或地面．从数学的角度看，这个过程就是用一些不重叠摆放的多边形通过边与边相接，把平面完全覆盖，通常这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题． 下面让我们对一些多边形是否能够镶嵌平面进行探究： 【思考】 (1)小明认为，像贴瓷砖这个过程就是用一些边长相同的正方形进行平面镶嵌．他进一步思考：用一些边长相同的正三角形是否可以进行平面镶嵌呢，于是他剪裁了一些边长相同的正三角形纸板进行尝试，如图2所示，他发现，每个拼接点处各个角的和为________，这说明，只用正三角形可以进行平面镶嵌： (2)如果只能用一种正多边形进行平面镶嵌，除了正方形和正三角形之外，小明还可以用________（填写一个即可）来实现平面镶嵌； 【综合】 (3)小明想要进一步探究用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，如图3所示，他发现用边长相等的正三角形和正六边形可以完成平面镶嵌．你认为，除了这两种正多边形的组合，下列组合中，也能用来平面镶嵌的组合有________（填写所有正确结论的序号） ①正方形和正六边形  ②正方形和正八边形  ③正五边形和正三角形  ④正五边形和正十边形 【活动二】 (4)新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰，数学老师发现家中的地板瓷砖是由多个边长为1的正方形瓷砖镶嵌而成，他在一个的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4所示的小马图案．现在，他想用3块等腰直角三角形、1块直角梯形和1块平行四边形的彩色琉璃砖，重新镶嵌到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4的小马图案范围内画出合适的镶嵌方案并标注对应图案的序号． 14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点． (1)作关于点A中心对称的图形，B点的对称点为点，C点的对称点为点，请画出的图形． (2)将绕点C顺时针旋转，得到的图形，请画出． (3)在（2）的运动过程中，线段经过旋转扫过区域的图形的面积 ． (4)在直线上有一条线段（E点在上，F点在下），，则四边形周长最小值为 ． 15．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形．（结果保留） (1)若，求这个扇形的面积； (2)思考：如何剪使得扇形的面积最大？ ①若，求这个扇形的最大面积； ②若，求这个扇形的最大面积． (3)扇形的最大面积随变化而变化，画出这个扇形的最大面积的示意图，并给出对应的范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 与圆有关的弧长、面积计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、正多边形和圆的计算问题 题型2、平面镶嵌问题 题型3、弧长、路径长的计算 题型4、与圆有关的图形面积计算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 与圆有关的弧长、面积计算，要熟练掌握弧长公式 l=(nπR)/180、扇形面积公式 S=(nπR²)/360=(1/2)lR；求不规则图形面积常用“割补法”“等积变换”“整体减空白”；路径长问题需分清是点绕定点旋转还是滚动，确定圆心角与半径；正多边形与圆、平面镶嵌问题要抓住中心角、边心距与半径的关系；综合题注意结合三角形、相似、三角函数建立方程，注意分类讨论． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、正多边形和圆的计算问题 典例1 （2025·浙江杭州·三模）已知，正方形和它的外接圆． (1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径； (2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明； (3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 在上取点G，使，连接， 同理（1）可得：， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形三角形， ∵， ∴， ∵， ∴； (3)或 【分析】（1）连接、，由题意易得，则可证，然后可得，进而可得是等腰直角三角形，进而在中，勾股定理，即可求解． （2）在上取点G，使，连接，同理（1）可得：，则有是等腰直角三角形三角形，然后问题可求解； （3）由题意易得点P在以为直径的圆上，则可分当点P在如图3①所示位置时，当点P在如图3②所示位置时，进而问题可求解 【详解】（1）解：连接、，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴是的直径， ∴ 在中， ∴ ∴的半径为 （2）略 （3）解：点A到的距离是或，理由如下： ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴点是这两圆的交点， ①当点P在如图3①所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴A、P、D、B在以为直径的圆上， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，， ∴由（2）中的结论可得：， ∴， ∴； ②当点P在如图3②所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：点A到的距离为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． 题型模版 1.特征：正多边形与圆结合，求边长、边心距、半径、中心角或相关面积． 2.方法：利用正n边形中心角 360°/n 及边心距、半径、边长的一半构成直角三角形；结合勾股定理与三角函数求解． 变式1-1 （25-26九年级上·浙江台州·期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为，，可得，即．若利用两个正六边形的面积，则可得的范围为______． 【答案】/ 【分析】本题考查正多边形和圆，锐角三角函数，掌握相关知识是是正确解答的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系求出、的底和高，进而求出正六边形，正六边形的面积，有两个正六边形的面积与圆面积的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，连接，则是正三角形， ，， 作， ， ， 连接， ∵切圆于点， ∴， 在中，， ， ， ， ， 圆的面积为， ， 即， 故答案为： 变式1-2 如图①，是的直径，，点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，连接，． (1)以为边的内接正多边形的边数为 ； (2)当直径平分时，求的长； (3)如图②，连接并延长，交的延长线于点E，当是等腰三角形时，直接写出扇形的面积． 【答案】(1)9 (2) (3)扇形的面积为或或 【分析】（1）根据旋转得出，再根据圆内接正多边形的性质即可得出答案； （2）先求出，然后根据弧长公式进行计算即可； （3）分三种情况：当时，时，时，分别画出图形，求出扇形所对的圆心角度数，然后再求出扇形的面积． 【详解】（1）解：根据旋转可知，， ∴以为边的内接正多边形的边数为：； 故答案为：9． （2）解：∵点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，直径平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． （3）解：当是等腰三角形，且时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当是等腰三角形，且时，如图所示： 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，且时，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，扇形的面积为或或． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，扇形面积计算，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，弧长计算，解题的关键数形结合，注意进行分类讨论． 变式1-3 如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①连接，由题意可得，根据圆周角定理可得，以此即可求解； ②连接，根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理得，将代入化简即可； （2）如图，连接、，连接交于点，根据勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，设，则，利用双勾股定理建立方程求得，进而求出，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）连接、、、，过点作于点，由圆周角定理可得，易得，由平行线的性质得，由等边对等角得，进而可得，根据等角减等角相等可得，于是可通过证明，得到，根据等腰三角形三线合一性质得，以此即可求解． 【详解】（1）①解：如图，连接， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②， 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图，连接、，连接交于点， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，，， ，， 垂直平分， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 解得：， ， ， 为的直径， ， 在中，； （3）解：如图，连接、、、，过点作于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 题型2、平面镶嵌问题 典例2 阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)（答案不唯一，合理即可） (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． （2）略 （3）略 题型模版 1.特征：用正多边形能否密铺平面，或计算镶嵌中相关角度、面积． 2.方法：判断正多边形每个内角能否整除360°；分析拼接点处各角之和为360°的条件，必要时列方程求解． 变式2-1 （25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 【项目背景】 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． (1)用两种平行四边形镶嵌成如图1所示的图案，其中，，则 ， °； 【项目探究】 (2)如图2，在平行四边形环保材料中，，点E为边的中点，连接，，试探究与的位置关系并证明； 【方案设计】 (3)某课外活动实践小组拟用上述环保材料镶嵌室内活动场地，计划先将分割、拼接成长方形，再用这种拼成的长方形进行镶嵌．（要求：最多被分割两次，拼接成长方形后不再进行分割） ①请设计两种新的方案，将进行分割、拼接成一个长方形，在下图中画出你的方案设计示意图，并参照示例图3，用画阴影的方式对平移或旋转的图形进行标记； ②已知长方形场地的长为、宽为，环保材料的边为，为，边上的高为．小组发现，存在一种方案恰好能用分割拼接成的长方形镶嵌整个长方形场地，请给出这种方案，并通过计算说明理由． 【答案】(1)5；100 (2)，理由如下： ∵平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵，点E为边的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即； (3)①如图 ②如图分割， 一张环保材料可分割成长，宽的两张矩形， ，， ∴分割后的环保材料需用8行25排可以镶嵌整个长方形场地． 【分析】（1）利用平面图形的镶嵌的知识解答即可； （2）利用平行四边形的知识，结合等边对等角求解即可； （3）利用平面图形的镶嵌的知识画出图形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：略 （3）解：①略； ②略 变式2-2 项目主题：探究多边形的密铺 中国的密铺工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉唐发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的密铺，传承着东方美学与匠心精神． 密铺定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地组成一片，又叫平面镶嵌．为了更多地了解平面密铺，“鹿鸣•博约”数学项目小组对多边形的平面密铺进行了如下探究： 探究一：正多边形的密铺 (1)项目组思考，仅用同一种类型的正多边形进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号）： (2)项目组尝试用两种正多边形进行平面密铺，是否能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密铺？若能，请求出每一个顶点周围的正三角形和正四边形的个数；若不能，请说明理由． (3)项目组继续用三种正多边形进行平面密铺，如图1，用边长相等的正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律密铺． ①按此规律，则第n个图案有____个正方形；（用含n的代数式表示） ②按此规律，是否存在这样一个图案，它的正方形个数是第x个图案与第y个图案正方形个数之和的6倍．若存在，求出是第几个图案（用含x，y的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 项目组发现，正三角形，正四边形，正五边形，正六边形分别各取一个内角相加，有，故用四种以及四种以上的正多边形不能密铺整个平面．所以，项目组思考一般多边形是否可以平面密铺． 探究二：一般多边形的密铺 (4)项目组发现：任意两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，可以进行平面密铺，因此有以下猜想：①任意四边形都能密铺；②任意五边形都能密铺：③任意六边形都能密铺，正确的结论有______；（填写所有可选择的序号） (5)项目组从杂志上看到了一幅图2所示密铺作品，该作品是由若干个全等的如图3所示的五边形进行的密铺形成，已知，求边的长度： 【答案】(1)①②④ (2)能，每一个顶点周围有个正三角形和个正四边形 (3)①； ②不存在，理由如下： 设存在第个图案满足条件， 第个图案正方形有个，第个图案正方形有个， 由题意得，， 整理得，， 因为为正整数， 所以不是整数，而是整数，故等式不成立，故不存在； (4)① (5) 【分析】（1）分别求出每个正多边形的内角，密铺的条件是内角的度数能够整除； （2）设每个顶点周围有个正三角形和个正四边形，由题意得，，求出其正整数解即可； （3）①找出规律即可求解；②设存在第个图案满足条件，第个图案正方形有个，第个图案正方形有个，由题意得，，再整理分析即可； （4）根据各个多边形的内角和以及多边形的结构特征分析即可； （5）设的度数分别为，先根据图形列出方程组求解的度数，再延长交于点，延长交于点，过点作于点，然后解直角三角形即可． 【详解】（1）解：①正三角形每个内角，，能够密铺； ②正四边形每个内角，，能够密铺； ③正五边形每个内角为，不是整数，不能密铺； ④正六边形每个内角为，，能够密铺； （2）解：能， 设每个顶点周围有个正三角形和个正四边形， 由题意得，， 整理得，， 符合条件的正整数解只有， ∴能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密铺，每一个顶点周围有个正三角形和个正四边形； （3）解：①第1个图案有个正方形； 第2个图案有个正方形； 第3个图案有个正方形； 依次类推，可得则第n个图案有个正方形； ②略 （4）解：①任意四边形内角和为，可以将四个角拼成，故①正确 ②任意五边形内角和为，不是的整数倍，仅特定的五边形可密铺，故②错误 ③存在能够密铺的六边形，如正六边形，但任意不规则的凸六边形不能保证能够密铺，故③错误； （5）解：如图， 设的度数分别为 由图可得，，而，解得 由图可得，， 而由五边形内角和等于可得， ∴ 解得 由密铺可得，，即， 延长交于点，延长交于点，过点作于点， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 在中，， ∴ ∴在中， ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴． 变式2-3 综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． 密铺方式构建：运用密铺知识得到图1所示的拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． (1)密铺规律探究：为方便研究，称图2为图1的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，图1每增加一个图2所示的拼接单元，则增加 ① 个正六边形和 ② 个正三角形，长度增加 ③ ，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ ． 【项目分析】 ①项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． ②基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． ③方式确定： （ⅰ）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与六个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． (2)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图3）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼10块拼接第一行单元，即共用去10个正六边形和60个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图3所示的阴影正六边形）．最终需用11个正六边形和60个正三角形组件，本方案每行的成本为 ⑤ 元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺21行．本方案所需的总成本为 ⑥ 元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令，解得，所以每行可以先拼12块拼接单元，即共用去12个正六边形和72个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余，无法再摆放组件．方案二每行的成本为 ⑦ 元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得 ，故需铺18行．方案二所需的总成本为 ⑧ 元． 【项目实施】 (3)根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动，应选择方案 ⑨ ． 【答案】(1)1；6；60； (2)115；2415；132；2376 (3)二 【分析】（1）通过观察图2所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出个拼接单元拼成一行的长度； （2）根据两种方案每行所需两种组件的数量、每种组件的价格以及拼接行数计算每行成本和总成本． （3）比较两种方案的总成本即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，每增加一个拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形；增加的总长度为3个边长，即； 有一个拼接单元时的长度为70 cm， 有2个拼接单元式时的长度为， 有3个拼接单元时的长度为， … 所以x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． （2）解：方案一： 因为每行需要11个正六边形和60个正三角形组件，正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元，则 每行的成本为（元）； 需要铺21行， 所以所需的总成本为（元）； 方案二： 因为每行需要12个正六边形和72个正三角形组件，则 每行的成本为（元）； 需要铺18行， 所以所需的总成本为（元）． （3）解：， 选择方案二． 题型3、弧长、路径长的计算 典例3 （25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形，，． (1)求证：． (2)①尺规作图：过点作，交的延长线于点． ②求证：． (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析②证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系． （1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等； （2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明，从而得边相等； （3）根据（2）得出的全等，证明为等边三角形，求出长度，过点作于，利用和，以及勾股定理，求出的长度，过点作于，利用垂径定理求出半径长度，再用弧长公式计算即可． 【详解】（1）∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ （2）①解：尺规作图如下： 步骤一：以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点，交线段（或射线）于点； 步骤二：以点为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点（使得，即点在射线上且等于步骤二中的半径）； 步骤三：以点为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点（取与点位于直线相反侧的交点）； 步骤四：过点和点作直线，则直线即为所求的过点且平行于的直线，交的延长线于点． 原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以 ． ②证明：∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵四边形为的内接四边形 ∴ ∵在和中 ∴ ∴ （3）解： 由（2）得 ∴， ∵ ∴为等边三角形 ∴ 如图，过点作于，过点作于 ∵，则 ∴ ∵在中， ∴ 又∵ ∴在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中，设，则 ∴ 整理得 或（舍） ∴ ∴ 题型模版 1.特征：求点在运动过程中经过的路径长，涉及弧长或折线轨迹． 2.方法：确定运动轨迹的圆心、半径和圆心角；用弧长公式计算；多段路径分段求和． 变式3-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及轴对称的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题关键； 连接，根据轴对称基本性质得到，进而可得到为等边三角形，再通过勾股定理算出的长度，进而可求出的长． 【详解】解：连接，故， ∵O关于的对称点为D， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在直角中，，， ∴，， ∴， ∴的长为：， 故选：C． 变式3-2 （2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边，如图（1）所示．则的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长． 思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴① ； ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴②______∥______； 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴③点F所经过的路径长为 ． (3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长． (4)正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F，G都在直线上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 【答案】(1)1 (2)①；；②；；③3 (3)点N所经过的路径长为 (4) 【分析】（1）证明，则，问题即解决； （2）读懂每步推理的依据，即可完成； （3）取的中点H，连接，证明，则当点M在点C处时，，且，此时在中即可求得的长，从而求得结果； （4）当E、B不重合时，取的中点M，连接，可证，可得H、G、C三点共线，可得；当点E在C处时，，所以可确定点H所经过的路径，从而求得路径长． 【详解】（1）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴点F所经过的路径长为3． 故答案为：①；；②；；③3； （3）解：如图（3），取的中点H，连接，则， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， 由（2）知， ∴， 即， 当点M在点D处时，点N与点H重合， 当点M在点C处时，，且， 在中，， ∴， 所以点N所经过的路径长为； （4）解：如图①，当点E不与点B重合时，取的中点M，连接， 由四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴H、G、C三点共线， ∵是斜边上的中线， ∴， 当点E在C处时，如图②，， 所以点H所经过的路径长为：以点M为圆心，半径为，圆心角为的弧， 此时弧长为：， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，弧长的计算等知识；关键是正确寻找到点的运动路径，这是属于几何压轴题． 变式3-3 （24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①；②，，理由见解析 (2) 【分析】（1）①连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解；②过点O作，垂足为点G，则，根据可得，由此即可求解； （2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，则四边形是矩形，中，可求出，在中，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，由翻折得    ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴弧长为：； ②过O作，垂足为点，则（垂径定理），    ∴， ∵翻折， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，，即， ∴， ∴； （2）如图所示，将沿着翻折得 过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D    ∵ ∴四边形是矩形 由折叠和 (1) 可知， ∵， ∴ ∴， 中， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型4、与圆有关的图形面积计算 典例4 （25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． (1)求的长． (2)若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂径定理得点E是的中点、进而由三角形中位线定理得，再由含30度角直角三角形的性质得，即可求得的长； （2）连接，易得是等边三角形，则可得，从而阴影部分的面积等于扇形的面积，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点E是的中点， ∵O是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理、含30度角直角三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练并灵活运用这些知识是关键． 题型模版 1.特征：求与圆相关的阴影部分或不规则图形面积，常用割补、等积、整体减空白． 2.方法：把图形分解为扇形、三角形、弓形等基本图形；利用对称、等积变换转化为可求面积；注意圆心角与半径的准确选取． 变式4-1 （25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而由勾股定理得出长，同理得到的长，再根据旋转性质可得旋转的圆心角为，半径，最后由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点与点重合时，连接，如图所示： ∵点是的中点， ，且， ， 半圆的直径， ， ∴在中，， ， 当在半圆弧上旋转到点与点重合时，如图所示： 此时，同理可得， ， ∵是圆心O到弦CD的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，则点M在以O为圆心，为半径的圆上运动， 即就绕着点逆时针旋转，如图所示： ，， ， 则， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形与扇形面积相等， ∴在整个滑动过程中线段扫过的面积， 故选：B． 变式4-2 （24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，由直角三角形斜边中线可得，得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，再求出两种特殊位置时，，的值，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形的边长为3， ∴，， ∵线段的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点Q与A重合时，在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， 当与C重合时，同法可得， ∵， ∴， ∴线段的中点M所经过的路线长， 故选：D． 变式4-3 图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求四边形的面积． (3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积． 【答案】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 由旋转可得， 四边形是菱形； (2) (3)线段扫过的面积为或或或 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，由旋转得，即可得证； （2）根据勾股定理求出，当时，四边形是正方形，即可求解； （3）分当时，当时，当时，当时，四种情况求解． 【详解】（1）略 （2）解：矩形纸片的边，， ， 当时，四边形是正方形， 四边形的面积为； （3）当时，，线段扫过的面积为； 当时，，线段扫过的面积为， 当时，，则，线段扫过的面积为； 当时，，线段扫过的面积为； 线段扫过的面积为或或或． 变式4-4 材料：梯形面积公式 梯形面积公式为 ，其中，为上底长，为下底长，为高．其推导方法有很多，其中一种方法是通过把梯形转化为两个三角形面积的差，并借助相似三角形的性质得到证明的． 如图，，对于梯形，上底，下底，高为，为了得到梯形的面积，延长和交于点，过点作于点并交于点，不难证明，则，所以， 材料：扇形面积公式 如图，半径为，圆心角为的扇形面积公式为 ，其中为弧长，而 弧长半径，形式上与 底高类似 材料：扇环 如图，扇环是指两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分，即图中阴影部分． (1)结合材料和材料的相关内容，类比猜想材料中扇环的面积 请用含有、和的代数式表示，其中的长度为，的长度为，线段的长为，即两个同心圆的半径之差，并证明你的猜想； (2)用一段长为米的篱笆围成一个如图所示的扇环形花园，线段的长为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， 证明：设半径，圆心角，则， 由弧长计算公式得， ， ， 由扇形面积计算公式得 (2)当线段的长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式表示出对应弧长和扇形面积，注意到，以及，化简；（2）根据及得出，利用二次函数性质即可求出当时，花园的面积最大且面积是． 【详解】（1）略 （2）解：由对称性得， ， ， 当时，， 由二次函数的性质知当线段的长为时，花园的面积最大，最大面积是． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 2．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设与相交于点，由圆周角定理得，即得，得到，即得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理得，得，，得，最后根据图形求出面积即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 3．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将空白部分分成一个扇形与一个三角形，先计算空白部分面积，再利用进行计算即可． 【详解】解：记的中点为点O， 连接和， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为直径的半圆的面积为， 过O点作于E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴扇形的面积， ∴ 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连结，相交于点P，连结，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则扇形的面积为．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，可以解决问题． 【详解】解：①， ， ， 是的直径， ， ， 故①正确，符合题意； ②点为的中点， ， 为直径， ， ， ， ， ，， ， ，故②正确，符合题意； ③连接， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，故③正确，符合题意； ④，， 又， ，由③知为等边三角形， ，则扇形的面积为．故④错误，不符合题意； 故选：B． 5．如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、、，交于M．得到，，从而，，，，设，则，分别求得，，，，，计算即可． 【详解】解：连接、、、，交于M． 由题可知，，， ，， ， 在圆内接正六边形中， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，，，， 故的值带有x，不能确定． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， . ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为 故答案为： 7．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时，___________(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长，垂径定理，勾股定理，弧长公式，掌握相关定理公式是问题求解的关键． 根据已知条件求得和的长，代入得到弧长的近似值，利用弧长公式求得弧长的值，即可完成求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是弦的中点，在上，， ∴延长可得在上，， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 8．图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为______．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为______． 【答案】 20 【分析】设 的圆心是 ，作 于 ，连接 ，由正六边形的性质求出 ， 的长， 由直角三角形的性质， 等腰三角形的性质求出 的长，得到 的长，由勾股定理列出关于 半径的方程， 即可解决问题； 【详解】解：设 的圆心 是 ，作 于 ，连 接 ， ∵ 是圆弧最高点， ∴ 在 上， ∵两个多边形是正六边形， ∴ ， ∴， ∴ 是等边三角形， 三点共线， ∵四边形 是矩形， ∴ ∵圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之 比为 ， ∴ 到 的距离是 ， 设 的半径是 ， ∴ 的半径是 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是由以上知识点求出正六边形的边长， 的长， 的长得到 的长，由勾股定理列出关于 半径的方程 9．用若干张全等的小正六边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），形成的图案（部分）如图所示，每个小正六边形纸片的中心称为“繁星点”，用6个“繁星点”为顶点构成的一个正六边形称为“衍生六边形”，比如图中的六边形．已知某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有60个“繁星点”，则该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有___________个． 【答案】271 【分析】设一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有个“繁星点”，根据题意列出时对应的该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数，找出规律即可解答． 【详解】解：设一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有个“繁星点”， 当时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为， 当时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为， 当时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为， 当时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为， …… 依此类推，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为， ∵某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有60个“繁星点”， ∴，即， ∴该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有个． 10．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质和线段和最小值问题，正多边形性质等，解题关键是取的中点构造两条中位线． 连接，取的中点，连接、，，根据中位线可得、，而根据三角形两边之和大于第三边可得，当、M、Q三点共线时成立，等号成立，由此即可得出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，，如图1， ∵若P，Q分别是，的中点， ∴，，，， ∵，当、、三点共线时成立，等号成立， ∴当旋转过程中的最大值时，，， 过点作，垂足为H，如图1， ∵在正六边形中，，， ∴，， ∴，，， ∴的最大值为， 当旋转过程中的最大值时，，如图2， 由正六边形性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：将正六边形 绕点A逆时针旋转时，，的最大值为， 故选B． 11．（25-26九年级上·福建福州·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得，求的大小； (2)如图2，线段交线段于点F，在绕点A旋转一周的过程中： ①求证：点F是的中点； ②点F移动的路程为___________． 【答案】(1) (2) ①证明：过点作交的延长线于点， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是中点； ② 【分析】（）由旋转的性质可得，，，，进而根据等边对等角即可求解； （）①过点作交的延长线于点，证明得到即可求证； ②取的中点，连接，，三角形的中位线定理得到，故点在以为圆心，的长为半径的圆上，斜边上的中线得到，得到三点共圆，根据线段交线段于点F，得到点的运动路程为线段交线段与点开始，一直到线段交线段与点结束的一段圆弧，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴； （2）①略 ②取的中点，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴， 由①可知：点是中点， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上运动，且三点共圆， ∵线段交线段于点F， ∴当线段交线段与点开始出现点，当线段交线段与点时，点开始消失， ∴点的运动路程为线段交线段与点开始，一直到线段交线段与点结束的一段圆弧，如图： 由图可知，当交于点时， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点的运动路径为，对应的圆心角的度数为， ∴点的移动路程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，求弧长等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，确定点的轨迹，是解题的关键． 12．（25-26八年级下·福建莆田·阶段检测）阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ． 【答案】(1)正六边形 (2)①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦ (3) 【分析】（1）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （2）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （3）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）解：正六边形的一个内角为，， 故正六边形可以进行平面密铺； （2）解：∵①正三角形的内角为，②正方形的内角为，③正五边形的内角为，④正六边形的内角为，⑤正八边形的内角为，⑥正十边形的内角为，⑦正十二边形的内角为， ∵，，，，，， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦； （3）解：由题意得：， 即， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·北京·期中）【活动一】 在生活中，我们经常可以看到用正方形瓷砖铺设的墙面和地面，如图1，在铺设时，都要求砖与砖之间严丝合缝，边与边相接，并且可以覆盖整个墙面或地面．从数学的角度看，这个过程就是用一些不重叠摆放的多边形通过边与边相接，把平面完全覆盖，通常这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题． 下面让我们对一些多边形是否能够镶嵌平面进行探究： 【思考】 (1)小明认为，像贴瓷砖这个过程就是用一些边长相同的正方形进行平面镶嵌．他进一步思考：用一些边长相同的正三角形是否可以进行平面镶嵌呢，于是他剪裁了一些边长相同的正三角形纸板进行尝试，如图2所示，他发现，每个拼接点处各个角的和为________，这说明，只用正三角形可以进行平面镶嵌： (2)如果只能用一种正多边形进行平面镶嵌，除了正方形和正三角形之外，小明还可以用________（填写一个即可）来实现平面镶嵌； 【综合】 (3)小明想要进一步探究用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，如图3所示，他发现用边长相等的正三角形和正六边形可以完成平面镶嵌．你认为，除了这两种正多边形的组合，下列组合中，也能用来平面镶嵌的组合有________（填写所有正确结论的序号） ①正方形和正六边形  ②正方形和正八边形  ③正五边形和正三角形  ④正五边形和正十边形 【活动二】 (4)新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰，数学老师发现家中的地板瓷砖是由多个边长为1的正方形瓷砖镶嵌而成，他在一个的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4所示的小马图案．现在，他想用3块等腰直角三角形、1块直角梯形和1块平行四边形的彩色琉璃砖，重新镶嵌到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4的小马图案范围内画出合适的镶嵌方案并标注对应图案的序号． 【答案】(1) (2)正六边形（答案不唯一） (3)②④ (4) 如图，即为所求． 【分析】（1）每个拼接点处各个角的和正好等于一个周角，即可求解； （2）只需要满足正多边形的内角能整除即可； （3）先求出每个正多边形的内角，然后根据拼接点处内角和为求解即可； （4）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：拼接点处各个角的和为； （2）解：除了正方形和正三角形之外，小明还可以用正六边形来实现平面镶嵌（答案不唯一）， ∵正六边形的每个内角为，， ∴3个正六边形即可实现平面镶嵌； （3）解：①正六边形每个内角为，正方形每个内角为， 设需要个正六边形，个正方形， 则， 整理得，，此方程无正整数解，故①不符合题意； ②正八边形每个内角为，正方形每个内角为， 设需要个正八边形，个正方形， 则， 整理得，， 符合题意的正整数解只有，故需要个正八边形，1个正方形，故②符合题意； ③正五边形每个内角为，正三角形每个内角为， 设需要个正五边形，个正三角形， 则， 整理得，，此方程无正整数解，故③不符合题意； ④正五边形每个内角为，正十边形每个内角为 设需要个正五边形，个正十边形， 则， 符合题意的正整数解只有，故需要个正五边形，1个正十边形，故④符合题意； （4）解：略． 14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点． (1)作关于点A中心对称的图形，B点的对称点为点，C点的对称点为点，请画出的图形． (2)将绕点C顺时针旋转，得到的图形，请画出． (3)在（2）的运动过程中，线段经过旋转扫过区域的图形的面积 ． (4)在直线上有一条线段（E点在上，F点在下），，则四边形周长最小值为 ． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) (4) 【分析】（1）根据中心对称的性质，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）求出扇形的面积即可； （4）作，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点F，连接，易得四边形的周长的最小值为，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图可知：， ∴线段经过旋转扫过区域的图形的面积． （4）解：如图，作，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点F，连接，则四边形为平行四边形，， ∴， 此时，值最小，即四边形的周长最小． ∵， ， ∴四边形的周长的最小值． 15．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形．（结果保留） (1)若，求这个扇形的面积； (2)思考：如何剪使得扇形的面积最大？ ①若，求这个扇形的最大面积； ②若，求这个扇形的最大面积． (3)扇形的最大面积随变化而变化，画出这个扇形的最大面积的示意图，并给出对应的范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)见解析； 【分析】本题考查了求扇形面积；勾股定理，垂径定理； （1）由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值； （2）先求得扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可求解； （3）根据（1）、（2）的结论画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵扇形是圆心角为的扇形， ∴，，则为圆的直径， ∴， 由得， ∴扇形的面积为； （2）解：①如图，连接，，过点作于点， 依题意，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴扇形的面积为； ②如图，连接，， 依题意，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积为； （3）如图， 当和时，扇形的面积相等，扇形的最大面积随变化而变化， 如图所示，扇形的面积最大，根据（1）、（2）的结论可得 学科网 学科网（北京）股份有限公司 $