4.4 二次函数与一元二次方程的关系&4.5 二次函数的应用（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

-√6，解得x1=2十√6，x2=2-√6.(3)这里a=-2,b=1,c=3.因而b2-4ac=12-4 ×(-2)×3=25>0,x=2x2 =1生因此，原方程的根为=一1， 号.（④）原方程可化为x(x-3)十2(x-3)=0,把方程左边因式分解，得(x-3)(x+2) =0.由此得x一3=0或x十2=0，解得x1=3,x2=2. 3.3一元二次方程根的判别式 1.B2.A3.A 4.解：(1)原方程可化为3x2-2x-1=0..△=(-2)2-4×3×（一1）=16>0，.方程 有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为x2十4x+4=0.△=42一4×1×4=0，.方 程有两个相等的实数根 5.解：(1)把x=2代人方程2x2-5x-m=0,得2×22-5×2-m=0,解得m=-2. (2)由题意，得△=(-5)2-4×2×(-m)>0,解得m>-8· 25 3.4一元二次方程根与系数的关系 1.A2.B3.A4.-31 5.解：()十=0，=-号(2)山十=-号=-3，=是.(3)整理，得 -x-5=0..x1十x2=1,x1x2=-5. 6.解：(1)由题意，得△=22一4×1×(a一1)≥0，解得a2.(2)由根与系数的关系，得 x1十x2=-2,x1x2=a-1.2x1+2x2-x1x2=2(x1+x2)-x1x2=5,.2X(-2)- (a-1)=5,解得a=一8. 3.5一元二次方程的应用 第1课时平均变化率问题与利润问题 1.B2.(a一25)(400-10a)=50030或35 3.解：设该商场投入资金的月平均增长率为x.根据题意，得20(1十x)2=24.2,解得x1 =0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）.答：该商场投人资金的月平均增长率为 10%. 4.解：(1)401800(2)设每件商品降价x元.根据题意，得(250-x-200)(30十2x) =2100,解得x=20,x2=15.为了让顾客得到更多的实惠，x=20.答：每件商品 降价20元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元. 第2课时图形面积问题与动，点问题 1.C2.A 3.解：设防滑垫的宽度为xm.根据题意，得(12十2x)(8十2x)=140,解得x1=1,x2= 一11（不符合题意，舍去）.答：防滑垫的宽度为1m. 4.解：设点P的运动时间为1s,则CP=1cm,CQ=(8-20cm根据题意，得宁4(8-2) =子×号×4×8.整理，得r-4红十4=0，解得=a=2.答：点P的运动时间为2 第4章二次函数 4.1二次函数 1.B2.B3.C4.15.y=100(1-x)2 6.解：(1)一般形式为y=一2x,.二次项系数为一2，一次项系数为0，常数项为0. (2)一般形式为y=2x2一2x十1，.二次项系数为2，一次项系数为一2，常数项为1. 7,解：(1)根据题意，得矩形的另一边长为20,2工=10一x(m).“y关于工的函数表达 2 式为y=x(10-x)=-x2+10x.(2)自变量x的取值范围是0<x<10. 49 4.2二次函数的图象与性质 4.2.1二次函数y=ax2的图象与性质 第1课时二次函数y=a.x2(a>0)的图象与性质 1.A2.D3.A4.> 第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 1.B2.A3.C4.2 4.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 第1课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 1.C2.D3.A4.D5.D6.< 7.解：列表： 0 23 y=(x-2)2 0 描点、连线，如图所示.(1)上直线x=2(2,0)(2)将二次函数y=x2的图象向右 平移2个单位长度可以得到二次函数y=(x一2)2的图象. -4-2O■ 146*x 第2课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质 1.B2.A3.B4.>5.1 6.解：(1)函数图象的开口向下，对称轴为直线x=一1，顶点坐标为(-1，一4).(2)当x =一1时，函数有最大值，最大值为-4.(3)当x>一1时，y随x的增大而减小.(4)将 函数y=一3x2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到函数y =-3(x+1)2-4的图象. 4.2.3二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 1.C2.D3B4.D5.y-(x-40-261 7.解：(1)y=x2-4x十3=(x一2)2-1，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，一1)，最小 值为-1.(2)该函数的图象如图所示.(3)> 4.3二次函数的表达式的求法 1.D2.C3.y=x2-4x+5 a-b+c=-22, 4.解：把(-1，-22)，(0，-8)，(2,8)代入y=ax2+bx+c,得c=-8, 解得 4a+2b+c=8, 50 a=-2, b=12,.抛物线的函数表达式为y=一2x2十12x一8. (c=-8. 5.解：(1)，函数的对称轴为直线x=1,最小值为一4，∴.函数图象的顶点坐标为(1， 一4).设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-4.把(0，-3)代入，得a-4=一3，解得a =1..二次函数的表达式为y=(x-1)2-4.(2)x>1 4.4二次函数与一元二次方程的关系 1.C2.A3.C4.m≥-1且m≠05.6 6.解：(1)x1=1,x2=3(2)由图象知，当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范 围是x>2.(3),关于x的方程ax2+bx十c=k有两个不相等的实数根，，.二次函数y =ax2十bx十c的图象与直线y=k有两个交点.由图象可知的取值范围是k<2. 4.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决抛物线形建筑问题、面积问题 1.A2.C3.6 4.解：(1)根据题意，得S=x[31一(x+x-1)]=一2x2+32x..0<32一2x≤18，x>1, .7≤x<16..S=-2x2+32x(7≤x<16).(2)由(1)得S=-2x2+32x=-2(x-8)2 十128..当x=8时，S有最大值，最大值为128.答：苗圃的最大面积为128m2. 第2课时利用二次函数解决利润问题及其他问题 1.B2.C3.536004y=-(x-11+0.42.2 5.解：(1)由题意，得w与x之间的函数表达式为w=(x一50)（一2x十240）=一2x2十 340x-12000.(2)由(1)，得=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450,..当x =85时，w有最大值，最大值为2450.答：当销售单价为85元/kg时，销售利润最大，最 大利润是2450元. 周测小卷 阶段微测试（一） 7 1.B2.D3.B4.D5.B6.B7.48.(15-5⑤9.10105 3 aa兴安安买D = = 4 b 12.解：：四边形ABCD与四边形EFGH相似，∴，∠G=∠C=83°，∠A=∠E=118°， 20-铝：∠B=78,∠D=360-∠-∠B-∠C=8.AB=AD=15cm,EF =206m∴号-品BH=20m 13.解AB=2BC,瓷=2瓷=.：∥合祭-能=2GF=合AG= 2emAF-AG+GF=6m4/,票-架晤-音BF=号 3 cm. 14.I证明：四边形ABCD是平行四边形，AB/CD,AD∥BC:8-88,8E- 8器88-80c-0E·0G.(2)解：AB/cD,器-E-2.cE-6, ∴.GE=3. 15.解：(1)W2：1(2)A4纸与A5纸为相似图形.理由如下：，A4纸较长边与较短边 的比为v2：l,∴.设A4纸较短边的长为a,则较长边的长为√2a.由图②可知，A5纸的 —514.4二次函数与一元二次方程的关系 1.已知二次函数y=ax2十bx十c的图象与x轴交于(-1,0)，(5,0)两点，则关于x的方程 ax2十bx十c=0的解为 ( ) A.x1=-1,x2=-5B.x1=5,x2=1 C.x1=-1,x2=5D.x1=1,x2=-5 2.若一元二次方程a.x2十bx十c=0有两个相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx十c的 图象与x轴 ( A.只有一个交点 B.至少有一个交点 C.有两个交点 D.无交点 3.二次函数y=x2十2x一9中x,y的一些对应值如下表，则方程x2十2x一9=0的一个近 似解可能为 C x 2 2.1 2.2 2.3 2.4 -1 -0.39 0.24 0.89 1.56 A.2 B.2.1 C.2.15 D.2.2 4.已知二次函数y=mx2一6x一9的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 5.如图，若被击打的小球距离地面的高度h(m)与被击打后经过的时间t(s)之间的函数关 系为h=24一42，则小球从被击打到落地所用的时间为 S. 6.二次函数y=ax2十bx十c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)关于x的方程ax2十bx十c=0的根是 (2)写出当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围； (3)若关于x的方程ax2+bx十c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. ·36· 4.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决抛物线形建筑问题、面积问题 1.一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱 形是抛物线，如果以顶点O为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，则抛物 线的函数表达式为 ) Ay=- B.y=- C.y=- D.y= y/m m 12m B B x/m (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，矩形花园长20m、宽16m,根据需要将它的长缩短xm,宽增加xm.要想使变化 后的花园面积达到最大，则x的值为 A.1 B.1.5 C.2 D.4 3.小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是 查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的.以矩形的顶点A为坐 标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函 数表达式为y=-2+bx十c.若AB=8m,AD=2m,则隧道顶端点N到地面AB的 距离为m. 4.某课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m), 另外三边用31m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门.设 苗圃垂直于墙的一边长为xm,面积为Sm. (1)写出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求苗圃的最大面积. -18m 苗圃 I m ·37· 第2课时利用二次函数解决利润问题及其他问题 1.某鞋帽专卖店销售一种绒帽，这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)之间满足函 数关系式y=一x2十70x一800.要想获得最大利润，则销售单价为 ( ) A.30元 B.35元 C.40元 D.45元 2.两个数的和为8，则这两个数的积最大为 A.8 B.12 C.16 D.20 3.一件工艺品的进价为100元，按标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一 件工艺品每降价1元，每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大，每件需降价 元，此 时最大利润是 元 4.“立定跳远”是田径运动项目之一.运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线 的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为x轴，起跳 点所在的竖直方向为y轴)，从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为 y(m),距离起跳点的水平距离为x(m).已知运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度 为0.4m,距离起跳点的水平距离为1.1m.则该运动员腾空路线的函数表达式为 ,该运动员落地时距离起跳点的水平距离为 m. 竖直高度y/m 最高点 水平距离x/m 5.某公司经销一种绿茶，成本为50元/kg.市场调查发现，在一段时间内，销售量y(kg)随 销售单价x(元/kg)的变化而变化，具体关系式为y=一2x十240.设这种绿茶在这段时 间内的销售利润为元，解答下列问题： (1)求w与x之间的函数表达式. (2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ ·38·