3.4 一元二次方程根与系数的关系&微专题6 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©3.4一元二次方程根与系数的关系 基础在线沙知识要点分类练 6.如果关于x的一元二次方程x2十px十q=0的 两根分别为x1=2,x2=一1，那么p,g的值分 知识点1利用根与系数的关系求一元二次 别是 () 方程两根的和与积 A.1,-2 B.-1,-2 1.设方程x2一3x十2=0的两根分别是x1,x2,则 C.-1,2 D.1,2 x1十x2的值为 ( ) 7.若关于x的一元二次方程x2一4x十k一3=0 A.3 C. 的两个实数根为x1,x2,且满足x1=3x2,试求 D.-2 出方程的两个实数根及的值. 2.下列一元二次方程两实数根之积为一5的是 ( A.x2+2x+5=0 B.x2-5.x+4=0 C.x2+5x+10=0 D.x2+4x-5=0 3.(衡阳期末)已知x1,x2是一元二次方程x2一 8.已知：关于x的一元二次方程x2+√mx一2=0 2x一4=0的两个根，则2x1十2x2一x1x2的值 有两个实数根 为 (1)求m的取值范围； 4.（教材P118例1变式)根据一元二次方程根与 (2)设方程的两根为x1,x2,且满足(x1一x2) 系数的关系，求下列方程的两根，2的和与积： -17=0,求m的值. (1)5x2+x-3=0; (2)5x-5=6.x2-4. 易错点用根与系数的关系时忽视隐含条件 “△≥0” 9.（中考·泸州)已知关于x的方程x2一 知识点2一元二次方程根与系数的关系的运用 (2m一1)x十m2=0的两实数根为x1,x2,若 5.已知方程x2+mx+2=0的一个根是1，则它 (x1+1)(x2+1)=3,则m的值为() 的另一个根是 ( ) A.-3 B.-1 A.1 B.2 C.-2 D.3 C.-3或1 D.一1或3 79探究在线 九年级数学（上）·X灯 ②能力在线沙方法规律综合练 3 拓展在线》 :培优拔尖提升练 10.若一元二次方程x2十2x-3=0的解为a,b, 15.阅读理解： 则一次函数y=(a+b)x一ab的图象不经过 材料一：若三个非零实数x,y,之满足：只要其 的象限是 ( 中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的 A.第一象限 B.第二象限 和，则称这三个实数x,y,之构成“和谐三 C.第三象限 D.第四象限 数组” 11.在解一元二次方程x2+px十q=0时，小红看 材料二：若关于x的一元二次方程ax2十bx 错了常数项q,得到方程的两个根是一4,2， 十c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则有 小明看错了一次项系数卫，得到方程两个根 x1十x2=- = a 是4，一3，则原来的方程是 ) 问题解决： A.x2+2x-8=0 B.x2+2x-12=0 (1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实 C.x2-2x-12=0 D.x2-2x-8=0 12.若关于x的方程x2+(a一1)x+a2=0的两 数 根互为倒数，则a=· (2)若x1,x2是关于x的方程ax2十bx十c=0 13.已知关于x的一元二次方程x2+3x+c=0 (a,b,c均不为0)的两根，x3是关于x的方程 的两根分别为x1=a,x2=b.若满足a2十 bx十c=0(b,c均不为0)的解.求证：x1,x2,x3 4a十b=2c,则c的值为 可以构成“和谐三数组”. 14.已知m,n是两个不相等的实数，且满足m2 m=3,n2-n=3,求代数式2n2一mn十2m+ 2024的值. 第3章80 微专题6一元二次方程根的圳别式及根与系数的关系的应用>>， ■■专题解读■ 4.已知关于x的一元二次方程x2一2x一t=0. (1)根的判别式的应用 (1)当t=3时，求方程的两个实数根； ①直用：不解方程，判断方程根的情况. (2)如果方程有两个相等的实数根，求t的值. ②逆用：由方程根的情况，求字母系数的取 值范围. (2)一元二次方程根与系数的关系揭示了根 与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可 解决诸如已知一根求另一根、涉及根的代数式的 值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中 学数学中的一个重要工具， ■■专题训练■ 类型①利用根的判别式判断一元二次方程 根的情况 1.已知一次函数y=ax+b的大致图象如图所 类型③根的判别式及根与系数的关系的 示，则一元二次方程ax2-2x十b=0的根的情 综合应用 况为 5.已知关于x的一元二次方程x2一4x-2k+ A.有两个相等的实数根 y 8=0有两个实数根x1,x2, y=ax+b、 B.有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围； C.没有实数根 (2)若xx2十x1x=24,求k的值. D.无法判断 2.a,b,c为常数，且(a一c)2>a2十c2,则关于x的方 程ax2十bx十c=0(a≠0)的根的情况是（) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 堡型②利用根的判别式求字母的值或取 值范围 3.若关于x的一元二次方程(k一1)x2+4x十1=0 有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ( A.k<5 B.k<5且k≠1 C.k≤5且k≠1 D.k>5 81探究在线 九年级数学（上）·X灯11.20,2z.x·15=36012.=15 .该三角形的周长为2十6十6=14. 2 2 拓展在线 13.(1)m1=2+3y2 ,x2=23V2 14.[x2+1,x]※[5-2k,k]=0, 2 .k(x2+1)+(5-2)x=0. (2)=-1=号 整理，得kx2+(5-2k)x十k=0. 当k=0时，此时方程为5x=0,解得x=0. 当≠0时， (3)-子4-1. 方程有实数根，.△≥0且k≠0. 即(5一2k)2一4k2≥0且k≠0， 14.a2-8a+20=(a-4)2+4. 5 .(a-4)2≥0，∴.(a-4)2+4>0 解得k≤4且k≠0. .不论a为何值，方程(a2一8a十20)x2+2ax十1=0都是 一元二次方程. “友的取值范国是≤号 15.(1)把x=2代入方程， 3.4 得p2一2p一3=0，解得1=3，p2=一1. 一元二次方程根与系数的关系 (2).p2-2p-3=0,∴.p2-2p=3. 基础在线 代入原方程，得x2-6x+8=0. 1.A2.D3.8 .x1=2,x2=4..方程的另一根为4. 4.(1).a=5,b=1,c=-3, 16.(1)设所求方程的根为y,根据题意，y是原方程根的相反 且b-4ac=1+60=61>0, 数，因此y= ..1十x2=一m=-5x01x2=C =一 3 分 即x=一 5 x=-y代入原方程2x2-x-5=0, (2)方程化为6x2一5x+1=0, 得2(-y)2-(-y)-5=0, .a=6,b=-5,c=1, 则2y2+y一5=0. 且b-4ac=25-24=1>0, (2),'a(2x+3)2+2bx=3(1-b), x1十x2=-b=5 .移项，得a(2x十3)2+2bx十3b-3=0, a61x2==1 a a(2x+3)2+b(2x十3)-3=0， 5.B6.B7.x1=3,x2=1,k=6. 设之=2x十3，则方程变为az2十bz-3=0, 8.(1)由题意，得{公二m+8≥0，解得m≥0. lm≥0， 方程ax2+bx一3=0的两个根分别是1和一3 故m的取值范围是m≥0. ∴.az2十bz-3=0的根为之=1和x=3, 当z=1时，2x十3=1，解得x=一1； (2),方程的两根为x1,x2, 当z=-3时，2x十3=-3，解得x=-3; ∴.x1+x2=-√m,x1x2=-2. 则方程a(2x+3)2+2bx=3(1一b)的两个根是x1=-1, (x1-x2)2-17=0, x2=一3. .(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2=17. 3.3 一元二次方程根的判别式 即m+8=17,解得m=9. 基础在线 ∴.m的值为9. 1.D2.C3.C 9.A 4.(1)△=(-2)2-4×3×(-1)=16>0， 能力在线 .方程有两个不相等的实数根. 10.C11.B12.-113.-1 (2)原方程可整理为x2+2x十2=0， 14.由题意可知，m,n是方程x2一x一3=0的两个不相等的 △=22-4X1×2=-4<0, 实数根， ,.方程没有实数根. 根据根与系数的关系可知，m十n=1,mn=一3. (3)原方程可整理为x2-2x十1=0， 又，n2=n+3, .△=(2)2-4×1×1=0. 则22-mn+2m+2024=2(n+3)-mn+2m+2024= ∴.方程有两个相等的实数根 2(m+n)-mn+2030=2×1-(-3)+2030=2035. 拓展在线 5.B6.D7.9 111 8.(1)△=[2(k-1)]2-4(k2-1)=4k2-8k+4-4k+4= 15.(1)2,3’5 (答案不唯一) -8k+8. (2)证明：x1,x2是关于x的方程ax2十bx十c=0(a,b, :方程有两个不相等的实数根，∴一8k十8>0，解得k<1, c均不为0)的两根， 即实数k的取值范围是k<1. x1十2=- a1·x2= (2)0可能是方程的一个根. 假设0是方程的一个根， 1+1=十= b 则把x=0代入方程，得 1 c 02+2(k-1)·0+k2-1=0 ,x是关于x的方程bx十c=0(b,c均不为0)的解， 解得k=-1或k=1(舍去). C .x3=一 .1=-b 故当k=一1时，0就为原方程的一个根， 方心… 此时，原方程变为x2一4x=0, :1十1=，“，2西可以构成“和谐三数组” 解得x1=0,x2=4, 1 .它的另一个根是4. 微专题6一元二次方程根的判别式及根 9.D 与系数的关系的应用 能力在线 1.B2.B3.B 10.C11.D12.0 4.(1)把t=3代入方程中，得x2一2x-3=0, 13.(1)证明：x2一(m十1)x+2(m-1)=0, (x+1)(x-3)=0, △=[-(m+1)]2-4×2(m-1)=m2+2m+1-8m+8 x1= -1,x2=3. =m2-6m十9=(m-3)2≥0， .原方程的根为x1=一1，x2=3. 所以，无论m取何值，这个方程总有实数根. (2)方程有两个相等的实数根，∴△=0. (2)当6为等腰三角形ABC的腰时，将x=6代入方程，得 ,.(-2)2-4×1×(-t)=0..t=-1. 36-6(m+1)+2(m-1)=0,解得m=7. 5.(1)由题意可知，△=(-4)2一4×1×（一2k十8）≥0，整理， 即方程为x2一8x十12=0，解得x1=2,x2=6, 得16十8k-32≥0，解得k≥2， ,.三角形的三边为6,6,2； ,k的取值范围为k≥2 当6为等腰三角形ABC的底时，△=(m一3)2=0， (2)由题意，得xx2十xx2=1x2[(0十2)2一2o1x2]=24. .∴.m=3. x1+x2=4,x1x2=-2k+8, 即方程为x2一4x十4=0，解得x1=x2=2, .(-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24, ,2+2<6,.2,2,6不能构成三角形 整理，得k2一4k十3=0，解得k1=3,k2=1, 一探究在线·九年 又由(1)可知k≥2，.k的值为3. 3.5 一元二次方程的应用 I.当点P在线段AB上时，即0≤≤号时， 第1课时 一元二次方程在增长率问题和 经济问题中的应用 如图@，Sa0=2PB·BC=号(10-30)×8=15， 基础在线 t25 1.D2.B 2 3.设这两个月该汽车销售量的月平均增长率为x, Ⅱ.当点P在线段BC上时，即9<≤6时， 根据题意，得10(1+x)2=12.1, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去). 如图③，BP=3t-10,CQ=16-2t 答：这两个月该汽车销售量的月平均增长率为10%. 4.D5.20 Saw=2PB.CQ=7(3-10)(16-20)=15, 6.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b(0≤x<10), ∴t=5或=19（舍）. 将(1,60)，(4,90)代入y=kx十b,得k=10,b=50, 3 故y与x之间的函数关系式为y=10x十50(0≤x<10). (2)依题意，列方程，得(20一10一x)(10x十50)=440， 即清足条件的1的值为或5。 整理，得x2一5x一6=0， 解得x1=6,x2=一1（不合题意，舍去）. 当x=6时，y=10×6+50=110. 故该种水果应降价6元进行销售，其相应的日销售量为 110千克 0图② 图③ 能力在线 微专题7一元二次方程的实际应用 7.D8.B 9.(1)10+2×(5-1)=18(元). 1.x(x+3)=号[10(x+3)+]2.D 答：该档次蛋糕每件利润为18元. (2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品， 3.设有x家公司出席了这次交易会， 根据题意，得[10+2(x-1)门×[76-4(x一1)]=1024，整 则有2x(x-1)=78, 理，得x2-16x十48=0， 解得x1=4,x2=12(不合题意，舍去). 解得x1=13,x2=-12(舍去). 答：该烘焙店生产的是第四档次的产品。 答：有13家公司出席了这次交易会 拓展在线 4.3 10.(1) 5.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 x+1+(x+1)x=36, 步数（步） 10000 10000(1+3x) 解得x=5或x=-7(舍去). 平均步长（米/步） 0.6 0.6(1-x) 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人. (2)根据题意，得5×36=180（人）. 距离（米） 6000 7020 答：第三轮将又有180人被传染 (2)由题意，得0.6(1-x)×10000(1+3x)=7020, 6.(1)设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平 解得=0.1=品>0.5（合去）. 均增长率应达到x,由题意，得28%(1十x)2=35%. ,.x的值为0.1. 整理，得(1十x)=.解得x=士5-1. 2 (3)由题意，得 10000+10000×(1+0.1×3)=23000(步)， >0,-9-122-1=0.1=10%. 500÷(24000-23000)=0.5(米) .王老师这500米的平均步长为0.5米. 答：从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均 第2课时 一元二次方程在面积问题中的应用 增长率应达到10%. (2)35%×(1+10%)2=35%×1.21=42.35%>40%. 基础在线 1.A2.x(x+1)=33.C4.B 所以照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗 5.(1)2t(5-t) 位率可超过40% (2)存在. 7.(1)设每件服装降价x元.由题意，得 (90-x-50)(20+2x)=1200, 由题意可得△PBQ的面积为BP·BQ=2L5,一) 解得x1=20,x2=10, 2 :△PBQ的面积等于4cm2, 为使顾客得到较多的实惠，应取x=20. 答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利 :.24(5,一0=4，解得=1,2=4（不合题意，舍去）， 1200元，同时又使顾客得到较多的实惠. 2 ∴.当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2. (2)不可能.理由如下： 依题意，得(90一x-50)(20十2x)=2000, 能力在线 整理，得x2一30x十600=0. 6.A7.4+23或4-2√58.4 .△=(-30)2-4×600=900-2400=-1500<0， 9.设小正方形的边长为x 原方程无实数解. .a=4,b=2,.BD=2+4=6. .不可能每天盈利2000元. 在Rt△BCD中，DC2+BC2=DB, 8.设长方形养鸡场AB边的长度为x米，则BC边的长度为 即(4+x)2+(x+2)2=62, (42-3x)米， 整理，得x2十6x一8=0， 由题意，得x(42一3x)=120,解得x1=4,x2=10. 而矩形ABCD的面积为(x十4)(x十2)=x2+6x十8=8+ 8=16, 42-3x<16∴≥9∴x=10 .矩形ABCD的面积为16 答：围成长方形养鸡场AB边的长度为10米. 拓展在线 9.(1),矩形ABCD的周长为120米， 10.(1)如图①，过点A作AM⊥CD于点M ,.2(AB+BC)=120,即2(x+BC)=120, .直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠C .BC=60-x. =90°，.四边形ABCM是矩形， (2)四边形EFGH是边长为6米的正方形， ..CM=AB=10,AM=BC=8, ∴.与AB平行的两条小路长度之和为(x-6)米，与BC平 在Rt△ADM中，AD=10,AM=8 0 行的两条小路长度之和为(60一x一6)米， 根据勾股定理，得DM=6, 图① 每条小路的宽度都为2米， .∴.CD=DM+CM=16. '.铺设鹅卵石区域的面积为6×6十2(x-6)十2(60-x (2)存在. 6)=132(平方米). 答：铺设鹅卵石区域的面积为132平方米 级数学（上）·XJ一 19