2.4 解直角三角形的应用 第2课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦解直角三角形的坡度、坡角与方向角应用，通过“练基础”巩固坡度比、坡角三角函数关系及方向角基本计算，衔接锐角三角函数和解直角三角形的前期知识，为后续综合应用搭建学习支架。 其亮点在于融入“龙舟故里”赛龙舟、信号塔警示牌等新情境实例，以数学眼光观察现实问题，通过推理运算和模型建立发展数学思维与语言表达。分层练习设计帮助学生逐步提升应用能力，教师可借助丰富实例增强教学实效。

2 第2章　锐角的正弦、余弦、正切 2.4　解直角三角形的应用 第2课时　坡度、坡角与方向角问题 3 练基础 练提升 练素养 4 练基础 知识点1 与坡度、坡角有关的实际问题 1. （永州蓝山期末）如图，一个小球由地面沿着坡度为i=1 ∶ 2的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地面的高度为 （　　） A. 5 m B. 5 m C. m D. 2 m D 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 5 2. （张家界校级阶段练习）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i=1 ∶ 1.5，则坝底AD的长度为（　　） A. 26 m B. 28 m C. 30 m D. 46 m D 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 6 3. （湘潭期末）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图. 已知斜坡的坡角为31°. 当该传送带把某物体从地面传送到离地面20 m高的地方时，该物体所经过的路程是_________m（sin 31°≈0.515，cos 31°≈0.857，tan 31°≈0.601，结果精确到0.01 m） 38.83 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 4. ［教材P83T3改编］某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1 ∶ 1.8改为1 ∶ 2.4（如图）. 如果改动后电梯的坡面长为13 m，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长. 解：在Rt△ADC中，AD ∶ DC=1 ∶ 2.4，AC=13 m， 由AD2+DC2=AC2，得AD2+（2.4AD）2=132. 所以AD=5 m（负值舍去）. 所以DC=12 m. 在Rt△ABD中， 因为AD ∶ BD=1 ∶ 1.8，所以BD=5×1.8=9（m）. 所以BC=DC-BD=12-9=3（m）. 答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3 m. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 5. （株洲期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处. 这时，B处到A处的距离是__________海里（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）. 知识点2 与方向角有关的实际问题 140 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 6.（常德校级阶段练习）如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且B在A的正北方向上，D村庄位于C村庄的北偏东30°方向上，CD=6 km，求湖的宽AB. 解：过点C作CE⊥BD于点E，如图， 则CE=AB. 在Rt△CED中，∠ECD=30°，CD=6 km， 则CE=CD·cos 30°=3 km. 所以AB=3 km. 答：湖的宽AB为3 km. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 7. ［新情境·生产生活］如图，一艘观光游船从港口A沿北偏东60°方向出港观光，航行80海里至C处时发生事故，并立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的时间（参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53° ≈0.6）. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. 由题意得CD=AC·sin∠CAB=80×sin 30°=40（海里）. 因为sin∠CBD=，所以BC=≈50（海里）. 50÷40=1.25（h）. 答：海警船到达事故船C处所需的时间大约为1.25 h. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 练提升 8. （新情境·传统文化）“龙舟故里”赛龙舟. 丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200 m直道竞速赛. 如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=200 m，则点P到赛道AB的距离为________m（结果保留根号）. 50 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 9. 如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1 ∶ ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房的水平距离BC=25 m，与亭子的距离CE= 20 m，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高. 解：如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G， 作EH⊥AB于点H. 由i=1 ∶ =tan∠ECG，CE=20 m， 易知EG=10 m，CG=10 m. 因为BC=25 m， 所以EH=（25+10）m. 由题意得∠AEH=45°， 所以△AEH为等腰直角三角形，所以AH=EH=（25+10）m， 所以AB=AH+HB=（35+10）m，即楼房AB高为（35+10）m. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 10. 某通信公司为了提升网络信号，在坡度为i=1 ∶ 2.4的山坡AD上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9 m. 同时为了提醒市民，在距斜坡底A处4.4 m的水平地面上立了一块警示牌MN. 当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3 m. （1）求点Q所在位置的铅直高度； （2）请计算信号塔PQ的高度大约为多少米（参考数据： sin 53°≈0.80，cos 53°≈ 0.60，tan 53°≈1.33，结果精确到 0.1 m）. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 解：（1）如图，过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于 点G，可得QG⊥BA. 因为QA=3.9 m，QG ∶ AG=1 ∶ 2.4， 所以设QG=x，则AG=2.4x，所以x2+（2.4x）2=3.92，解 得x=1.5（负值舍去），所以点Q所在位置的铅直高度为 1.5 m. （2）由（1）知QG=1.5 m，所以AG=2.4x=3.6 m，所以EF=NG=3.6+4.4=8（m），故tan 53°=≈1.33，解得PF≈10.6 m. 因为FQ=EN-QG=3-1.5=1.5（m）， 所以信号塔PQ的高度大约为10.6+1.5=12.1（m）. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 11. （新情境·生产生活）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°. 已知A点的高度AB=3 m，台阶AC的坡度为1 ∶ （即AB ∶ BC=1 ∶ ），且B，C，E三点在同一条直线上. 请根据以上条件求出树DE的高 度（测倾器的高度忽略不计）. 练素养 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 解：如图，过点A作AF⊥DE于点F，所以AF=BE，EF=AB=3 m. 设DE=x m，在Rt△CDE中，CE= m. 在Rt△ABC中，因为，AB=3 m，所以BC=3 m. 在Rt△AFD中，DF=DE-EF=（x-3）m，所以AF=（x-3）m. 因为AF=BE=BC+CE，所以（x-3）=3+x，解得x=9. 答：树DE的高度为9 m. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 绿卡图书—走向成功的通行证 19 $