1.5 相似三角形的性质 专题1 相似三角形的常见模型-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦相似三角形常见模型，涵盖“A”字型、“8”字型、子母型等五大模型，通过模型解读建立认知支架，结合例题与针对训练，帮助学生从模型特征到实际应用构建知识脉络。 其亮点在于融合模型意识与推理意识，以新情境问题（如路灯影子）、探究性问题（如一线三等角拓展）为实例，通过模型化教学强化几何直观和逻辑推理。学生能提升用数学眼光观察、数学思维分析的能力，教师可借助系统训练资源提高教学效率。

2 第1章　图形的相似 专题1　相似三角形的常见模型 3 模型1 “A”字型及其变形 【模型解读】 （1）“A”字型 如图1，已知：DE⫽BC. 结论：△ADE∽△ABC⇒. （2）反“A”字型 如图2，已知：∠AED=∠C. 结论：△ADE∽△ABC⇒. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 1. （益阳校级阶段练习）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE = ∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 针对训练 C 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 5 2. [新情境·生产生活]如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走2 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m，已知王华的身高是1.5 m，那么路灯A的高度等于________. 4.5 m 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 6 模型2 “8”字型及其变形 【模型解读】 特征：有一组隐含的等角（即对顶角相等）. （1）“8”字型 如图1，已知：AB⫽CD. 结论：△AOB∽△COD⇒. （2）反“8”字型 如图2，已知：∠A=∠D. 结论：△AOB∽△DOC⇒. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 3. （长沙校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD⫽AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，则BE=________. 针对训练 3 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F，若BF=6，则BE的长是________. 9 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 5. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，且∠ABD=∠ACD. （1）求证：；（2）求证：∠DAC=∠CBD. 证明：（1）因为∠ABD=∠ACD，∠AEB=∠DEC， 所以△AEB∽△DEC. 所以. （2）因为，所以. 又因为∠AED=∠BEC，所以△AED∽△BEC. 所以∠DAC=∠CBD. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 【模型解读】 如图，已知：∠ACD=∠ABC. 结论：△ACD∽△ABC，AC2=AD·AB. 针对训练 6. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为________. 模型3 子母型 5 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD=∠B. （1）求证：AC⋅CD=CP⋅BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD⫽AB时，求BP的长. （1）证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C. 因为∠APD=∠B，所以∠APD=∠B=∠C. 因为∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，所以∠BAP=∠DPC， 所以△ABP∽△PCD，所以，所以AB·CD=CP·BP. 因为AB=AC，所以AC·CD=CP·BP. （2）解：因为PD⫽AB，所以∠APD=∠BAP. 由（1）可知∠APD=∠C，所以∠BAP=∠C. 因为∠B=∠B，所以△BAP∽△BCA，所以. 因为AB=10，BC=12， 所以，所以BP=. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 模型4 双垂直型 【模型解读】 已知：△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC. 结论：①△ABC∽△DBA∽△DAC； ②AB2=BD·BC； ③AC2=CD·BC； ④AD2=BD·CD. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 针对训练 8. （永州校级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，AD=3，BD=2，则CD的长为________. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 9. 如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D，E两点，则图中与△ABC相似的三角形有 （　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 A 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 模型5 一线三等角型 【模型解读】 特征：两个三角形的一条边在一条直线上，并且有一个顶点重合. （1）一线三垂直型 如图1，已知：∠B=∠ACE=∠D=90°. 结论：①△ABC∽△CDE；②AB·DE=BC·CD. （2）一线三等角型 如图2，已知：∠B=∠ACE=∠D=α. 结论：①△ABC∽△CDE；②AB·DE=BC·CD. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 针对训练 10. 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60°，如果BD ∶ DC=1 ∶ 2，AD=2，那么DE的长等于________. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 11. ［新趋势·探究性问题］【感知】如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A，B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°. 易证△DAP∽△PBC. （不需要证明） 【探究】如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A，B重合），∠A=∠B=∠DPC. 若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长. 【拓展】如图3，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A，B重合），连接CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 解：【探究】因为∠DPB是△APD的外角，所以∠DPB=∠A+∠PDA，即∠DPC+∠CPB=∠A+∠PDA. 因为∠A=∠DPC，所以∠PDA=∠CPB. 又因为∠A=∠B，所以△DAP∽△PBC，所以. 因为PD=4，PC=8，BC=6，所以，解得AP=3. 【拓展】AP的长为4或. 提示：因为AC=BC，所以∠A=∠B. 因为∠CPB是△APC的外角，所以∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA. 因为∠A=∠CPE，所以∠ACP=∠BPE. 又因为∠A=∠B. 所以△ACP∽△BPE. 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，因为∠CEP>∠B，∠CPE=∠A=∠B. 所以CP=CE不成立. 当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，所以AP=AB-PB=12-8=4. 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，因为∠B=∠CPE，所以∠ECP=∠B，所以PC=PB. 因为△ACP∽△BPE，所以，即，解得PB=， 所以AP=AB-PB=12-. 综上所述，当△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或. 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $