9.统计概率 讲义-2027年1月广东省普通高中学业水平考试数学复习

该高中数学高考复习讲义聚焦统计概率专题，涵盖分层随机抽样、统计图表、数字特征、古典概型、相互独立事件等核心考点，按“统计基础-概率应用”逻辑梳理知识体系。通过真题再现、知识点系统整理、分层对点训练的教学流程，帮助学生构建知识网络，突破抽样计算、概率求解等难点。 讲义以真题为导向，将2026年等最新考题融入知识点讲解，结合分层抽样比例计算、频率分布直方图分析等实例，培养学生的数据观念和逻辑推理能力。设置基础巩固到综合应用的梯度练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027年广东省普通高中学业水平考试数学 复习讲义9.统计概率 1、 真题再现 （2026.8）6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（ ） A. 128 B. 122 C. 120 D. 101 （2026.10）抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. A、B互斥 D. A、B相互对立 （2026.20）已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． （1）高一应抽取多少人？ （2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 二、知识点整理 1.总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量. 2.简单随机抽样 抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 3.分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 4.统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组； ④列频率分布表；⑤画频率分布直方图. 5.百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 6.平均数、中位数和众数 (1)平均数：=(x1+x2+…+xn). (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 7.方差和标准差 (1)方差： (2)标准差： 8.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 9.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B=∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B=∅， 且A∪B=Ω 10.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 11.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 12.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 13.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 对点训练答案 一　分层抽样 1.某公司有员工人,其中不到35岁的有125人, 岁的有280人, 50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为（ ） A．33人,34人,33人 B．25人,56人,19人 C．30人,40人,30人 D．30人,50人,30人 2.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遣十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有________人．” 3.为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12． （1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？ （2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ （3）样本中不达标的学生人数是多少？ （4）第三组的频数是多少？ 二　平均数、众数、中位数、百分位数、方差 4.一名同学的成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数是_____,众数是______　 5.数据：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；则数据的平均数是______ ，方差是_______ 6.在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则样本的第75百分位数是（ ） A．81 B．84 C．87 D．88 7.从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（  ） A．众数是7 B．平均数是7 C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8 8.在某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下： 纤维长度 频数 频率 [0，50) 4 0.04 [50，100) 8 0.08 [100，150) 10 0.10 [150，200) 10 0.10 [200，250) 16 0.16 [250，300) 40 0.40 [300，350] 12 0.12 (1)在图中作出样本的频率分布直方图； (2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计. 9（2025.20）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）： 5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 10.甲、乙两位同学在本学期进行了 6 次数学平时测试，他们的成绩（单位：分，满分 100 分）如下表所示，记甲、乙两位同学 6 次测试成绩的平均数分别为和，方差分别为和. 甲（单位：分） 82 85 88 88 91 94 乙（单位：分） 81 84 87 89 92 95 (1) 分别求这两位同学 6 次测试成绩的极差和中位数； (2) 求，，，； (3) 学校要从这两位同学中选派一人参加市级数学竞赛，依据以上计算结果分析选派哪位同学更合适，并说明理由。 三 随机事件的概率 11.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”，则下列结论正确的是(　　) A.E，F为对立事件 B.G，H为对立事件 C.E，G是互斥事件 D.G，R是互斥事件 12.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（    ） A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上 C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上 13.若P(A∩B)=，P()=，P(B)=，则下列结论不正确的是(　　) A.事件A与事件B不互斥 B.事件A与事件B不对立 C.事件A与事件B相互独立 D.P(A∪B)= 14.射手小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率；（2）至少射中7环的概率． 15. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 5 10 20 15 (1) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在 的有几个？ (2) 在(1) 中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1 个的概率． 四 相互独立事件 16. 事件A与事件B相互独立 ，P()=，P(B)=，则P(AB)=_____ 17.（2024.21）在一次猜灯谜的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. (1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； (2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 18. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，求； （1）两人都成功破译的概率；（2）密码被成功破译的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省普通高中学业水平考试数学 复习讲义9.统计概率 1、 真题再现 （2026.8）6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（ ） A. 128 B. 122 C. 120 D. 101 （2026.10）抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. A、B互斥 D. A、B相互对立 （2026.20）已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． （1）高一应抽取多少人？ （2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 真题答案 （2026.8）6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（ ） A. 128 B. 122 C. 120 D. 101 解：, 选C （2026.10）抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. A、B互斥 D. A、B相互对立 解：抛2枚硬币，样本空间Ω={(正正),(正反),(反正),(反反)}， 则事件A={(正正),(正反)}；事件B={(正反),(反反)}， 可知事件A与事件B不相等，故B错误； 事件AB=(正反)}，可知事件A、B不互斥，更不可能对立，故CD错误； 则，，故，故A正确；选A （2026.20）已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． （1）高一应抽取多少人？ （2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 解：(1)根据分层随机抽样方法，高一应抽取：（人）； (2)设事件A为：“高一、高二年级各有一人”， 设高一的三个人为：，高二两个人为：． 样本空间，，，，，，，，，， 所以总事件数为10种情况． 满足事件A的有：，，，，，，共6种情况， . 二、知识点整理 1.总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量. 2.简单随机抽样 抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 3.分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 4.统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组； ④列频率分布表；⑤画频率分布直方图. 5.百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 6.平均数、中位数和众数 (1)平均数：=(x1+x2+…+xn). (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 7.方差和标准差 (1)方差： (2)标准差： 8.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 9.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B=∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B=∅， 且A∪B=Ω 10.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 11.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 12.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 13.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 对点训练答案 一　分层抽样 1.某公司有员工人,其中不到35岁的有125人, 岁的有280人, 50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为（ ） A．33人,34人,33人 B．25人,56人,19人 C．30人,40人,30人 D．30人,50人,30人 【答案】B 【详解】，抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为 25人, 56人, 19人 2.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遣十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有________人．” 【答案】120 【详解】设北面共有人，则由题意可得 ，解得,所以北面共有120人 3.为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12． （1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？ （2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ （3）样本中不达标的学生人数是多少？ （4）第三组的频数是多少？ 【小问1详解】频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为＝0.08． 所以样本容量＝＝150. 【小问2详解】由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为 ×100%＝88%. 【小问3详解】由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150， 不达标的学生频率为1－0.88＝0.12． 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)． 【小问4详解】第三小组的频率为＝0.34． 又因为样本量为150，所以第三组的频数为150×0.34＝51． 二　平均数、众数、中位数、百分位数、方差 4.一名同学的成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数是_____,众数是______　 【答案】86.5，84 【详解】　将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数==86.5，因为84出现次数最多，所以众数为84. 5.数据：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；则数据的平均数是______ ，方差是_______ 【答案】7；3 【详解】平均数为； 方差为 6.在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则样本的第75百分位数是（ ） A．81 B．84 C．87 D．88 【答案】D 【详解】因为，所以样本的第75百分位数是第6个数据88，故选：D. 7.从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（  ） A．众数是7 B．平均数是7 C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8 【答案】B 【详解】由题意可知，众数是4，A错；中位数为，D错； 平均数为，B对； 因为为10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数9，C错. 故选B 8.在某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下： 纤维长度 频数 频率 [0，50) 4 0.04 [50，100) 8 0.08 [100，150) 10 0.10 [150，200) 10 0.10 [200，250) 16 0.16 [250，300) 40 0.40 [300，350] 12 0.12 (1)在图中作出样本的频率分布直方图； (2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计. 【小问1详解】样本的频率分布直方图如图所示. 【小问2详解】由样本的频率分布直方图，得众数为＝275(mm)； 设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位数为252.5 mm； 设平均数为， 则＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12＝222(mm)， 故平均数为222 mm. 由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为 275 mm，252.5 mm和222 mm. 9（2025.20）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）： 5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 【小问1详解】这10户居民月度用水量的平均值是 所以这10户居民月度用水量的平均值为8.1吨； 【小问2详解】因为，所以落在区间的概率为， 据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数为. 10.甲、乙两位同学在本学期进行了 6 次数学平时测试，他们的成绩（单位：分，满分 100 分）如下表所示，记甲、乙两位同学 6 次测试成绩的平均数分别为和，方差分别为和. 甲（单位：分） 82 85 88 88 91 94 乙（单位：分） 81 84 87 89 92 95 (1) 分别求这两位同学 6 次测试成绩的极差和中位数； (2) 求，，，； (3) 学校要从这两位同学中选派一人参加市级数学竞赛，依据以上计算结果分析选派哪位同学更合适，并说明理由。 【小问1详解】甲同学成绩排序：82，85，88，88，91，94 则甲同学测试成绩的极差，中位数为 ； 乙同学成绩排序：81，84，87，89，92，95 则乙同学测试成绩的极差 ，中位数为 【小问2详解】, , 【小问3详解】由分，说明两位同学的整体数学实力一致，又，，表明甲的发挥波动更小，在竞赛中更有可能稳定输出正常水平. 三 随机事件的概率 11.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”，则下列结论正确的是(　　) A.E，F为对立事件 B.G，H为对立事件 C.E，G是互斥事件 D.G，R是互斥事件 【答案】A 【详解】“点数为奇数”与“点数为偶数”不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； “点数大于2”与“点数小于2”不可能同时发生，且不是必有一个发生，所以G，H为互斥不对立事件，选项B不正确； “点数为奇数”与“点数大于2”可能同时发生，E，G不是互斥事件，选项C不正确； “点数大于2”与“点数为3”可能同时发生，G，R不是互斥事件，选项D不正确. 12.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（    ） A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上 C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上 【答案】C 【【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”. 13.若P(A∩B)=，P()=，P(B)=，则下列结论不正确的是(　　) A.事件A与事件B不互斥 B.事件A与事件B不对立 C.事件A与事件B相互独立 D.P(A∪B)= 【答案】D 【详解】　∵P(A∩B)=，∴A与B能同时发生，∴事件A与事件B不互斥、不对立， 故A，B正确； ∵P()=，∴P(A)=，又∵P(B)=，∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与事件B相互独立，故C正确； P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=，故D不正确. 14.射手小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率；（2）至少射中7环的概率． 【小问1详解】因为射手小张在一次射击中射中10环和在一次射击中射中9环为互斥事件， 所以这个射手在一次射击中射中10环或9环的概率：P1=0.24+0.28=0.52． 所以射手小张在一次射击中射中10环或9环的概率为0.52． 【小问2详解】这个射手在一次射击中至少射中7环的对立事件为在一次射击中射中7环以下，所以这个射手在一次射击中至少射中7环的概率为：P2=1–0.13=0.87． 所以这个射手在一次射击中至少射中7环的概率为0.87． 15. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 5 10 20 15 (1) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在 的有几个？ (2) 在(1) 中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1 个的概率． 【小问1详解】重量在的苹果频数为 5，重量在的苹果频数为 15， 两组的数量比为,分层抽样按比例抽取，共抽取 4 个苹果， 因此重量在的苹果个数为：(个)； 【小问2详解】记重量在的苹果为A，重量在的苹果为B1、B2、B3，从中任取两个，样本空间Ω={（A，B1）,（A，B2）,（A，B3）,（B1，B2）,（B1，B3）,（B2，B3）},则n(Ω)=6； 设A=“任取2个，重量在和中各有1个”， 则事件A={（A，B1）,（A，B2）,（A，B3）}，n(A)=3，所以 四 相互独立事件 16. 事件A与事件B相互独立 ，P()=，P(B)=，则P(AB)=_____ 【答案】 【详解】∵P()=，∴P(A)=1P()=，∵事件A与事件B相互独立 ，∴P(AB)=P(A)P(B)= 17.（2024.21）在一次猜灯谜的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. (1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； (2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 【小问1详解】甲猜对的概率为，乙猜对的概率为. 【小问2详解】甲乙都没有猜对的概率为， 所以甲和乙至少一人猜对的概率为. 18. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，求； （1）两人都成功破译的概率；（2）密码被成功破译的概率． 【小问1详解】记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为， 则，，所以. 则两人都成功破译的概率为. 【小问2详解】记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，“密码被成功破译”的事件为，，， 则事件的对立事件的概率，事件的对立事件的概率， 则甲乙两人都没有成功破译密码的概率 所以. 则密码被成功破译的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $