2027年广东省普通高中学业水平考试数学复习讲义5.平面向量

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量核心考点，系统梳理向量概念、线性运算、共线定理、坐标运算及数量积等知识，构建从基础概念到综合应用的逻辑体系。通过真题再现、知识点整理、分层对点训练的教学流程，帮助学生突破向量表示、共线与垂直判定等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以真题为导向，融合分层训练与方法指导，如在共线定理应用中，通过基底向量判断及参数求解训练培养学生数学思维，在数量积计算中结合坐标运算提升数学语言表达能力。设置基础巩固到综合应用的练习梯度，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027年广东省普通高中学业水平考试数学 复习讲义5.平面向量 一、真题再现 （2024.10）已知向量，，，则（  ） A．6 B． C． D． （2025.6）已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 （2025.14） 如图，在平行四边形中，，向量，，用向量 ，表示，则______． （2026.6）已知向量，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 （2026.15）如图，在中，，用表示，则______． 二、知识点整理 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 减法 a-b=a+(-b) 数乘 |λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时，λa=0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)=(λμ)a； (λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa 4.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1)，|a|=. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)，||=. 6.平面向量共线、垂直的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2+y1y2=0 7.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 8.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.  9.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 模 |a|= |a|= 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 三、对点训练 一　平面向量的基本概念 1.下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b” C.若=，则A，B，C，D四点组成平行四边形 D.与非零向量a共线的单位向量为± 二　平面向量的线性运算 2.如图，在中，，用表示，则______． 3.在中，为边上的中线，为的中点，，则_____ 4.在△ABC中，==，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则等于_____ 三　共线定理及其应用 5.已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1+λe2与μe1+e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.=-2 B.λμ=-2 C.=2 D.λμ=2 四　平面向量基本定理的应用 6.若{a，b}是平面内的一个基底，则下列能作为平面向量的基底的是(　　) A.{a-b，b-a} B. C.{2b-3a，6a-4b} D.{a+b，a-b} 五　平面向量的坐标运算 7.设R，向量且，则（ ） A．2 B．1 C．0 D．－2 8. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 六 平面向量数量积的应用 9.已知向量的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D．1 10.已知向量，则 11.已知向量，则 12.已知向量a，b满足|a-b|=，a2=2a·b，则|b|=　　　　.  一、真题答案 （2024.10）已知向量，，，则（  ） A．6 B． C． D． 解：∵，∴，即，解得，故选D （2025.6）已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 （2025.14） 如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______． 【答案】 解： （2026.6）已知向量，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 解：因为，则，解得,故选D （2026.15）如图，在中，，用表示，则______． 【答案】 解：因为，由向量的三角形法则，得 ． 三、对点训练答案 一　平面向量的基本概念 1.下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b” C.若=，则A，B，C，D四点组成平行四边形 D.与非零向量a共线的单位向量为± 【答案】D 【详解】A不正确，若b=0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|=|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a=-b；当a=b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|=|b|且a∥b，故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件；C不正确，若=，则A，B，C，D四点共线或不共线，当四点不共线时，A，B，C，D才能组成平行四边形；D正确，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±. 二　平面向量的线性运算 2.如图，在中，，用表示，则______． 【答案】 【详解】因为，所以 3.在中，为边上的中线，为的中点，，则_____ 【答案】1 【详解】解1：． 则 解2： 则 4.在△ABC中，==，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则等于_____ 【答案】3 【详解】　==)==×=， =+=+-=+， 因为=λ+μ，所以λ=，μ=，所以=3. 三　共线定理及其应用 5.已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1+λe2与μe1+e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.=-2 B.λμ=-2 C.=2 D.λμ=2 【答案】D 【详解】由题意，可设2e1+λe2=t(μe1+e2)，t∈R， 又e1，e2是两个不共线的向量，故解得λμ=2. 四　平面向量基本定理的应用 6.若{a，b}是平面内的一个基底，则下列能作为平面向量的基底的是(　　) A.{a-b，b-a} B. C.{2b-3a，6a-4b} D.{a+b，a-b} 【答案】D 【详解】A选项，b-a=-(a-b)，所以a-b，b-a共线，不能作为基底向量. B选项，2a+b=2，所以2a+b，a+b共线，不能作为基底向量. C选项，6a-4b=-2(2b-3a)，所以2b-3a，6a-4b共线，不能作为基底向量. D选项，易知a+b，a-b不共线，可以作为基底向量. 五　平面向量的坐标运算 7.设R，向量且，则（ ） A．2 B．1 C．0 D．－2 【答案】C 【详解】得，得，得，得，所以， 故选：C. 8. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【详解】因为，所以，则，即，解得． 六 平面向量数量积的应用 9.已知向量的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】 10.已知向量，则 【答案】6 【详解】 11.已知向量，则 【答案】5 【详解】， 12.已知向量a，b满足|a-b|=，a2=2a·b，则|b|=　　　　.  【答案】 【详解】因为|a-b|=，即(a-b)2=3，则a2-2a·b+b2=3，因为a2=2a·b，所以b2=3, 所以|b|=. 学科网（北京）股份有限公司 $