精品解析：上海市光明中学宝山分校2024-2025学年高一第二学期期中考试数学试卷

2024学年第二学期高一期中考试 数学试卷 一、填空题 1. 化为弧度是__________. 2. 已知扇形的半径为1，圆心角为弧度，则该扇形的面积为______． 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为的面积__________. 4. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则________. 5. 已知函数的最大值为2，则______. 6. ，则________． 7. 已知，则_____ 8. 海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 9. 平面内有共线但不重合的三点B，C，D，对平面内任意点A满足（其中），则的最小值为__________． 10. 若函数在上有且仅有四个零点，则实数的范围为_____. 11. 已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 12. 10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 二、单选题 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个向量平行是这两个向量相等的充要条件 B. 相反向量就是方向相反的向量 C. 与同向，且，则 D. 平行向量就是共线向量 14. 在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 15. 定义：称方程的实数解为函数的不动点，则函数不动点的个数为（） A. B. C. D. 16. 已知，若不等式在内的正整数解有个，则的值可能是（ ） A. 337 B. 338 C. 674 D. 1012 三、解答题 17. 已知. （1）求及的值； （2）若，求的值. 18. 已知平面向量，满足，，． （1）求向量，夹角的大小； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 19. 如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中，，． （1）若公园区域是一个占地面积为，且为钝角的三角形，需要修建多长的步道？ （2）在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度． 20. 已知函数（，，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 21. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高一期中考试 数学试卷 一、填空题 1. 化为弧度是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用角度与弧度的转换关系可得结果. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知扇形的半径为1，圆心角为弧度，则该扇形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为弧度， 所以该扇形的面积为. 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为的面积__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角形的面积公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 4. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数图象平移变换求出解析式. 【详解】将函数的图象向左平移后得到的图象， 所以. 故答案为： 5. 已知函数的最大值为2，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解. 【详解】， 其中，，， 所以，，得. 6. ，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，且， ． 7. 已知，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用反三角函数求出结果即可. 【详解】由，得. 故答案为： 8. 海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 9. 平面内有共线但不重合的三点B，C，D，对平面内任意点A满足（其中），则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三点共线的向量性质得出，再结合基本不等式求解目标式的最小值. 【详解】由三点共线且不重合，可知存在实数，使得， 将向量转化为以为起点的形式： ， 整理得，又， 则，，因此，其中， 所以 ，  又，当且仅当即时等号成立， 结合，得时等号成立， 所以 . 因此的最小值为. 10. 若函数在上有且仅有四个零点，则实数的范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】运用三角恒等变换，将化简为，由的范围求得的范围，再结合正弦函数零点构造不等式即可得解. 【详解】 ， 当时，则， 因为在上有且仅有四个零点，故， 解得. 故答案为：. 11. 已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律有对任意实数恒成立，再由判别式符号及数量积的定义、余弦函数的单调性求夹角的范围. 【详解】由是单位向量，恒成立得， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则，又， 函数在上单调递减，因此， 所以向量的夹角的取值范围为. 12. 10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角函数恒等变换求解即可. 【详解】已知弧长，地球的半径，设圆心角为， 则， 仰角，是视线与地平线的夹角，而地平线垂直于地球半径， 视线与半径的夹角分别为， ， 设为流星的高度，则地心到流星的距离， 在中，①， 在中，②， 且③， 设，由①可得， 由②可得， 由③可得， ，， ， ，化简得，解得， ，解得． 二、单选题 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个向量平行是这两个向量相等的充要条件 B. 相反向量就是方向相反的向量 C. 与同向，且，则 D. 平行向量就是共线向量 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：两个向量平行只是方向相同或者相反，长度不一定相等，所以不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则两个向量平行，所以两个向量平行是两个向量相等的必要不充分条件 选项B：相反向量是长度相等且方向相反的向量 选项C：向量既有大小又有方向，所以向量之间不能比较大小 选项D：根据向量的定义，平行向量也称为共线向量 14. 在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角解的个数，可得，求解即可. 【详解】由题意可得时，能构成的三角形有两个， 即 故的取值范围为. 15. 定义：称方程的实数解为函数的不动点，则函数不动点的个数为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，结合导数与单调性的关系求解即可. 【详解】根据不动点定义，问题转化为求方程的实根个数， 即求函数与的交点个数： 和都是奇函数，图像关于原点对称， 只需分析的情况，再对称得到的结果，最后验证原点即可， 的最大值为，因此当时，，无交点，只需讨论， 设，则，， 在区间上， 当时，，在区间上单调递，， 当时，，在区间上单调递减， 又，， 由零点存在定理，在存在唯一零点，即有个交点， 由对称性，也有个交点，加上原点本身是解，总共个不动点. 16. 已知，若不等式在内的正整数解有个，则的值可能是（ ） A. 337 B. 338 C. 674 D. 1012 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分时和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当时，不等式在中无整数解； 当时，因为， 所以， 则不等式在内只有1个整数解1或2， 而， 则在中可能有个整数解. 故选：B 三、解答题 17. 已知. （1）求及的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，利用同角三角函数关系求解. （2）结合二倍角的余弦函数化简求值即可. 【小问1详解】 由，得， 所以. . 【小问2详解】 由，得， 所以. 18. 已知平面向量，满足，，． （1）求向量，夹角的大小； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的分配律结合夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律求解； （3）先利用数量积的运算律求出，再由向量的夹角公式即可求出. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为， 由（2）得，所以. 19. 如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中，，． （1）若公园区域是一个占地面积为，且为钝角的三角形，需要修建多长的步道？ （2）在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度． 【答案】（1） （2）最大面积为， 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式和同角基本关系式可得，再利用余弦定理可解； （2）根据正弦函数的值域和三角形面积公式可得，设，，由正弦定理和面积公式以及三角恒等变换得，从而求最值. 【小问1详解】 因为，，所以， 解得，又是钝角，所以， 所以， 所以需要修建的步道. 【小问2详解】 因为，当且仅当时取等号，此时， 设，， 在中，根据正弦定理可得， 所以 ， 由，得， 当，即时，， 此时达到最大，最大值为，且. 20. 已知函数（，，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图像，求出周期和，再结合图像上的特殊点求出振幅和，进而求出的解析式； （2）代入解析式求解三角方程，注意写出完整的通解； （3）利用数形结合，将方程根的个数问题转化为函数图像交点个数问题求解. 【小问1详解】 解：由图可知：，所以， 又，，所以，可得， 由图像过点，可得， 所以，，即，. 因为，所以，当时，，因此. 又图像过点，所以，所以， 因此. 【小问2详解】 解：当时，可得，即， 所以或， 解得或， 所以方程的解集为：或. 【小问3详解】 解：将方程化为 ，解得或. 作出函数在的图像，如下图所示， 由数形结合可知，方程有个不同实根，即函数与两条水平直线和的图像有个公共点. 又，所以由图像可知：当满足，即时，函数与两条水平直线和的图像共有个公共点，符合题意；当，即时，此时，函数与两条水平直线和共有个公共点，亦符合题意. 所以，当时，关于的方程有个不同实根时，的取值范围为或. 21. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 【答案】（1） （2）是，理由如下： 由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到； （2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值； （3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 因为集合，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由“余弦方差”的定义得： ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称， 又，所以与的终边只能关于轴对称， 所以， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $