3.4 函数的应用（一）（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“函数的应用（一）”为核心，通过A/B/C组必做+拓展选做的分层设计，构建从单一函数模型到综合应用的巩固路径，强化数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二次函数、分段函数等单一模型应用|以利润、阶梯收费等基础情境题为主，如二次函数利润最值问题| |B组|多模型综合应用|结合分段函数与实际生活，如阶梯电价、个税计算等复杂情境| |C组|跨模型整合与几何应用|涉及几何图形面积最值、对勾函数优化等深度问题| |拓展|高考真题对接|选取高考原题，强化知识迁移与应试能力|

分层作业 3.4 函数的应用（一） 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数模型解决实际问题 题型02 分段函数模型的应用 题型03 分式型函数模型的应用 题型04 对勾函数模型的应用 题型05 几何图形中的函数模型 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 一次函数、二次函数模型解决实际问题题型01 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 2．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 3．某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为万元．（1）与之间的函数关系式为_____；（2）从第_____年开始，使用该设备开始盈利． 4．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 5．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 6．（25-26高一上·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 分段函数模型的应用题型02 7．（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 8．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．（25-26高一上·湖北孝感·期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 10．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2712元，则此户居民这一年使用的电量为（   ） A．3750千瓦时 B．3950千瓦时 C．4300千瓦时 D．4400千瓦时 11．（25-26高一上·陕西榆林·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（   ） A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3 12．（25-26高一上·北京·期中）“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 13．（多选）（25-26高一上·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 14．（25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 15．（25-26高一上·江苏镇江·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 16．（25-26高一上·天津·期末）随着经济与国力的进一步加强，我国正向“智造”强国迈进，近几年来一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某企业自主研发了一款高级智能设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本300万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. (1)求企业获得年利润M（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大?并求最大年利润. 分式型函数模型的应用题型03 17．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 19．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 20．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 21．（25-26高一上·山东·阶段检测）中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 22．（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 23．（25-26高一上·北京·阶段检测）某企业准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过3万元）．已知加工此批农产品还要投入成本万元（不包含推广促销费用），若加工后的成品的销售价格定为元/件． (1)求此批产品利润的表达式（用表示）；（利润=销售额成本推广促销费） (2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 24．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 对勾函数模型的应用题型04 25．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 26．（25-26高一上·湖北十堰·期末）某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 27．（25-26高一上·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 28．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 几何图形中的函数模型题型05 29．（25-26高一上·青海西宁·期中）某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 30．（24-25高二下·湖北武汉·期末）设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 31．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. (1)求总造价关于的表达式，并求出的最小值； (2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 32．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 33．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 34．（25-26高一上·河南商丘·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 3．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 5．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）万元 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 7．（25-26高一上·湖北·期中）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 9．（多选）（25-26高一上·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 11．（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期末）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 12．（25-26高一上·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 13．（25-26高一上·湖北·期中）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 14．（22-23高一上·辽宁大连·期中）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 15．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 16．（25-26高一下·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 17．（25-26高一上·湖北·阶段检测）某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，单位：年）之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元.设使用年后数控机床的盈利额为万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出. 研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由. （参考数据：，，，） 18．（24-25高一上·湖北·阶段检测）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 1．【数学建模】（25-26高一上·江西·阶段检测）“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 2．【知识融合】（25-26高三上·上海·期中）在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. (1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； (2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 1．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4 函数的应用（一） 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数模型解决实际问题 题型02 分段函数模型的应用 题型03 分式型函数模型的应用 题型04 对勾函数模型的应用 题型05 几何图形中的函数模型 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 二次函数模型解决实际问题题型01 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 2．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【详解】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 3．某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为万元．（1）与之间的函数关系式为_____；（2）从第_____年开始，使用该设备开始盈利． 【答案】 3 【详解】（1）由已知可得，． （2）当时，开始盈利，即， 整理，得，解得． 又因为，所以，即从第3年开始盈利． 故答案为：（1）；（2）3. 4．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1)；(2)，元 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 5．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. （2）由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是 6．（25-26高一上·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 【答案】(1)；(2)，最大值为730000元 【详解】（1）由， 得， 解得或，因为，所以； （2）生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． 分段函数模型的应用题型02 7．（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 8．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】解：由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. 9．（25-26高一上·湖北孝感·期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 【答案】B 【详解】收入是18000元，根据缴纳个税规定分四段， 第一段5000元不缴税； 第二段3000元缴税为； 第三段9000元缴税为； 第四段1000元缴税为； 所以该职工10月份应缴纳个税为：元 故选：B. 10．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2712元，则此户居民这一年使用的电量为（   ） A．3750千瓦时 B．3950千瓦时 C．4300千瓦时 D．4400千瓦时 【答案】C 【详解】由题意，设某户居民用电量为千瓦时，本年缴纳的电费为， 可得， 当某户居民本年缴纳的电费为2712元时，可得， 解得，即居民本年的用电量为4300千瓦时. 故选：C 11．（25-26高一上·陕西榆林·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（   ） A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3 【答案】D 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以，解得, 所以天然气使用量为， 故选：D 12．（25-26高一上·北京·期中）“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【答案】C 【详解】因为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 13．（多选）（25-26高一上·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【答案】BC 【详解】设此次参加旅游的人数为， 由题意可知此次旅游的总费用 当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意； 当时，令，解得，符合题意． 综上，此次参加旅游的人数是45或50． 故选：BC 14．（25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)(2)300台，最大利润为20000元 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 15．（25-26高一上·江苏镇江·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1)；(2)立方米 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 16．（25-26高一上·天津·期末）随着经济与国力的进一步加强，我国正向“智造”强国迈进，近几年来一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某企业自主研发了一款高级智能设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本300万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. (1)求企业获得年利润M（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大?并求最大年利润. 【答案】(1)， (2)年产量40百台时利润最大，最大利润为1300万元 【详解】（1）每百台高级设备售价为90万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 ，. 所以年利润，. （2）由（1）当时，， 故当（百台）时，（万元）， 当时，， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 因为1300万元>1203万元， 所以年产量40百台时利润最大，最大利润为1300万元. 分式型函数模型的应用题型03 17．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 20．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； (2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大 【详解】（1）， 因为，且，所以当时，取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； （2）设年平均利润为， 因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 21．（25-26高一上·山东·阶段检测）中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】(1)，（，且），从第3年开始盈利 (2)方案①比较合理，理由见解析 【详解】（1）由题意可得，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. （2）      当且仅当，即时等号成立，    故第7年，年平均盈利额达到最大值，      工厂共获利万元； 由， 当时，，                故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. 22．（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 23．（25-26高一上·北京·阶段检测）某企业准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过3万元）．已知加工此批农产品还要投入成本万元（不包含推广促销费用），若加工后的成品的销售价格定为元/件． (1)求此批产品利润的表达式（用表示）；（利润=销售额成本推广促销费） (2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)；(2)当推广促销费投入万元时，最大利润为万元 【详解】（1）设此批产品利润为万元， 所以，； （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 故当推广促销费投入万元时，此批产品的利润最大，最大利润为万元. 24．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【详解】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元， . （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 对勾函数模型的应用题型04 25．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 26．（25-26高一上·湖北十堰·期末）某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 【答案】(1)27；(2)，最大值为6900元 【详解】（1）依题意有， ∴ ∴当时，，解得； ∴当时，，即， 又在单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 即当时，恒成立， ∴. 综上有，共27天高于6000元. （2）由（1）知当时， ∵时取最小值，∴时取最大值，. 当时， 当且仅当时，取得最大值6900， 综上可知：当时有最大值，最大值为6900元. 27．（25-26高一上·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【答案】(1)；(2)（i）万元；（ii）万元 【详解】（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 28．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利；(2)7 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 几何图形中的函数模型题型05 29．（25-26高一上·青海西宁·期中）某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 【答案】(1)；(2)最长为25米，最短为米 (3)的长为米时，总费用最少，最少为元 【详解】（1）由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. （2）依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. （3）矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 30．（24-25高二下·湖北武汉·期末）设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【答案】(1)定义域为；(2)的面积有最大值，此时cm. 【详解】（1）因为矩形的周长为，，则， 又，即，又，， 易知≌，所以， 在中，根据勾股定理得，即， 整理得， 故，定义域为. （2）由题意， ，当且仅当时，等号成立. 所以，当时，的面积有最大值． 31．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. (1)求总造价关于的表达式，并求出的最小值； (2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 【答案】(1)，最小值为万元；(2). 【详解】（1）由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米， 所以，而， 当且仅当米时取等号，则的最小值为万元； （2）由题意，可得， 所以，即. 32．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【答案】(1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【详解】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 33．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 34．（25-26高一上·河南商丘·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)时，S最小值为；当时，S最大值为 【详解】（1）依题意可得∽，则有， 即，可得，因此． 又要求的长不小于且不大于，即， 解得，即，． （2）由图知， 所以， 单调递减；单调递增； 由对勾函数可得： 当时，S取得最小值2400， 当时，S取值2500， 当时，S取值3750， 因此当时，S取得最小值，最小值为． 因此当时，S取得最大值，最大值为． 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 3．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 4．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 【答案】D 【详解】法一：设男职工出生于公元年月，，，. 设退休延迟月数为， 当时，； 当时，； 当时，. 所以1972年6月出生的男职工退休延迟的时间为：（月）. 所以1972年6月出生的男职工退休年龄：61岁11个月. 法二：从1965年1月到1972年6月，共经过了个“4个月”的时间段， 故延迟退休23个月，即1年11个月，退休年龄为61岁11个月. 故选：D 5．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6．（25-26高一上·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）万元 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 【答案】B 【详解】设，由图知当时，，所以，所以， 设，由图知当时，，所以，， 设产品投入万元，则产品投入万元， 则企业利润， 令，则， 则， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以，产品投入万元，产品投入万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为万元. 故选：B. 7．（25-26高一上·湖北·期中）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当传令兵回到排尾时所用时间为， 由题意，则，解得， 因为全队正好前进了，即，所以传令兵回到排尾时所走的路程为. 故选：A. 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 【答案】C 【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值， 因为，所以生产辆时该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故选：C． 9．（多选）（25-26高一上·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 10．（多选）（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 11．（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期末）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 【答案】AC 【详解】由甲、乙两图可得进水速度为1，出水速度为2， 由图丙知到的蓄水量为，即每小时的进水量为， 所以到只进水不出水，A正确； 由图丙知，到蓄水量减少了， 所以有一个进水口进水，同时出水口出水，即有一个进水口关闭，故B错误，C正确； 由图丙知，到蓄水量不变，所以可能是不进水也不出水， 也可能是2个进水口进水，同时1个出水口出水，故D错误. 故选：AC. 12．（25-26高一上·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 13．（25-26高一上·湖北·期中）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 【答案】(1)；(2)最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得；(3) 【详解】（1）当时，；   当时，，   所以； （2）若，即， 当时，万元；   若时，， 当且仅当时，即时，万元，   因为， 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得. （3）当时，由，即； 即，判别式，该不等式无解. 因此，在区间内，无法达到盈利5万元.   当时，由，即， 解方程，得两根为，   由于，所以解得 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元. 14．（22-23高一上·辽宁大连·期中）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 15．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 16．（25-26高一下·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 17．（25-26高一上·湖北·阶段检测）某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，单位：年）之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元.设使用年后数控机床的盈利额为万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出. 研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由. （参考数据：，，，） 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为， 且该机床每年的生产总收入为万元，设使用年后数控机床的盈利额为万元， 可得与之间的函数关系式. （2）选第一方案较为合理，理由如下： 由（1）知， 因为， 当或时，盈利额达到最大值为万元， 因为， 所以机器使用年后机床剩余价值比使用年后的剩余价值大， 使用年后机床剩余价值为：（万元）， 所以按第一方案处理，总获利为（万元）； 又由， 令，， 则 ， 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递增； 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递减. 又，当时，年平均盈利为万元， 当时，年平均盈利为万元，又， 所以当第年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：（万元）， 所以按第二方案处理，总获利为（万元）. 由于，则选第一方案较为合理. 18．（24-25高一上·湖北·阶段检测）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为3680万元 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 1．【数学建模】（25-26高一上·江西·阶段检测）“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， ， ， . 对于A，，则，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于CD，，故C错误，D正确. 故选：D 2．【知识融合】（25-26高三上·上海·期中）在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. (1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； (2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 【答案】(1)，其中. (2)当时，；若时，. 【详解】（1）解：由题意知，移动时单位时间内淋雨量为， 所以总淋雨量的表达式，其中. （2）解：当且，设， 由（1）得，总淋雨量的表达式， 当时，可得； 当时，可得， 所以， 当时，函数是关于的减函数，所以当时，； 当时，函数是关于的函数，在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，， 综上，当时，；若时，. 1．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】 130. 15. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4 函数的应用（一） 参考答案 二次函数模型解决实际问题题型01 1． D 2. B 3．, 3 4. 【答案】(1)；(2)，元 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 5.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. （2）由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是 6.【答案】(1)；(2)，最大值为730000元 【详解】（1）由， 得， 解得或，因为，所以； （2）生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． 分段函数模型的应用题型02 7. A 8．D 9．B 10.C 11.D 12.C 13.BC 14.【答案】(1)(2)300台，最大利润为20000元 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 15. 【答案】(1)；(2)立方米 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 16. 【答案】(1)， (2)年产量40百台时利润最大，最大利润为1300万元 【详解】（1）每百台高级设备售价为90万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 ，. 所以年利润，. （2）由（1）当时，， 故当（百台）时，（万元）， 当时，， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 因为1300万元>1203万元， 所以年产量40百台时利润最大，最大利润为1300万元. 分式型函数模型的应用题型03 17. B 18． 19. 20.【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； (2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大 【详解】（1）， 因为，且，所以当时，取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； （2）设年平均利润为， 因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 21. 【答案】(1)，（，且），从第3年开始盈利 (2)方案①比较合理，理由见解析 【详解】（1）由题意可得，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. （2）      当且仅当，即时等号成立，    故第7年，年平均盈利额达到最大值，      工厂共获利万元； 由， 当时，，                故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. 22. 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 23. 【答案】(1)；(2)当推广促销费投入万元时，最大利润为万元 【详解】（1）设此批产品利润为万元， 所以，； （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 故当推广促销费投入万元时，此批产品的利润最大，最大利润为万元. 24.【答案】(1) (2)的最大值为，此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【详解】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元， . （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 对勾函数模型的应用题型04 25.【答案】(1)，； (2)当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 26. 【答案】(1)27；(2)，最大值为6900元 【详解】（1）依题意有， ∴ ∴当时，，解得； ∴当时，，即， 又在单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 即当时，恒成立， ∴. 综上有，共27天高于6000元. （2）由（1）知当时， ∵时取最小值，∴时取最大值，. 当时， 当且仅当时，取得最大值6900， 综上可知：当时有最大值，最大值为6900元. 27.【答案】(1)；(2)（i）万元；（ii）万元 【详解】（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 28.【答案】(1)，从第3年开始盈利；(2)7 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 几何图形中的函数模型题型05 29.【答案】(1)；(2)最长为25米，最短为米 (3)的长为米时，总费用最少，最少为元 【详解】（1）由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. （2）依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. （3）矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 30.【答案】(1)定义域为；(2)的面积有最大值，此时cm. 【详解】（1）因为矩形的周长为，，则， 又，即，又，， 易知≌，所以， 在中，根据勾股定理得，即， 整理得， 故，定义域为. （2）由题意， ，当且仅当时，等号成立. 所以，当时，的面积有最大值． 31.【答案】(1)，最小值为万元；(2). 【详解】（1）由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米， 所以，而， 当且仅当米时取等号，则的最小值为万元； （2）由题意，可得， 所以，即. 32.【答案】(1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【详解】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 33.【答案】(1)； (2)，且时元. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 34. 【答案】(1)， (2)时，S最小值为；当时，S最大值为 【详解】（1）依题意可得∽，则有， 即，可得，因此． 又要求的长不小于且不大于，即， 解得，即，． （2）由图知， 所以， 单调递减；单调递增； 由对勾函数可得： 当时，S取得最小值2400， 当时，S取值2500， 当时，S取值3750， 因此当时，S取得最小值，最小值为． 因此当时，S取得最大值，最大值为． 1． D 2．C 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C 9.ABC 10. BC 11.AC 12. 【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 13.【答案】(1)；(2)最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得；(3) 【详解】（1）当时，；   当时，，   所以； （2）若，即， 当时，万元；   若时，， 当且仅当时，即时，万元，   因为， 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得. （3）当时，由，即； 即，判别式，该不等式无解. 因此，在区间内，无法达到盈利5万元.   当时，由，即， 解方程，得两根为，   由于，所以解得 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元. 14.【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 15.【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 16.【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 17.【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为， 且该机床每年的生产总收入为万元，设使用年后数控机床的盈利额为万元， 可得与之间的函数关系式. （2）选第一方案较为合理，理由如下： 由（1）知， 因为， 当或时，盈利额达到最大值为万元， 因为， 所以机器使用年后机床剩余价值比使用年后的剩余价值大， 使用年后机床剩余价值为：（万元）， 所以按第一方案处理，总获利为（万元）； 又由， 令，， 则 ， 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递增； 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递减. 又，当时，年平均盈利为万元， 当时，年平均盈利为万元，又， 所以当第年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：（万元）， 所以按第二方案处理，总获利为（万元）. 由于，则选第一方案较为合理. 18.【答案】(1) (2)当时，取得最大值为3680万元 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． ． 1.D 2．【答案】(1)，其中. (2)当时，；若时，. 【详解】（1）解：由题意知，移动时单位时间内淋雨量为， 所以总淋雨量的表达式，其中. （2）解：当且，设， 由（1）得，总淋雨量的表达式， 当时，可得； 当时，可得， 所以， 当时，函数是关于的减函数，所以当时，； 当时，函数是关于的函数，在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，， 综上，当时，；若时，. 1. 130；15. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $