3.4 函数的应用(一) （题型专练）数学人教A版2019必修第一册

3.4 函数的应用(一) 分段函数 题型一：分段函数模型的应用 1.已知某停车场规定:停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（    ） A．16元 B．18元 C．20元 D．22元 【答案】C 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据题意按照8小时计算停车费即可. 【详解】由已知得7小时20分钟按8小时计算， 所以停车费为元. 故选：C. 【点睛】本题考查分段收费问题，是基础题. 2.茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【答案】D 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】分别令和，求出后检验是否符合范围. 【详解】令，解得；令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 故选：D 3.2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过元 3 2 元 10 注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额. A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元 【答案】A 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设此人的工资为元，则根据题设条件可得纳税额与的关系，再令，则可得此人的工资收入. 【详解】设此人的工资为元，纳税额为，则有， 当时，，故当（元）时，， 令， 则（元），故选A. 【点睛】本题考查分段函数的应用，属于基础题. 4.如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题作函数图象、分段函数模型的应用 【解析】为求矩形面积的最大值，可先将其面积表达出来，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论． 【详解】解：设长为，则长为 又因为要将点围在矩形内， 则矩形的面积为， 当时，当且仅当时， 当时， 分段画出函数图形可得其形状与接近 故选：． 【点睛】解决本题的关键是将的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出的解析式，属于基础题． 题型二：利用给定函数模型解决实际问题 1.某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】先求出无折扣的售价，再求出打折之后的售价，然后减去进货价即可． 【详解】无折扣的售价为：200125%=250（元）， 打折后售价为：2500.9=225(元)， 获利;225-200=25(元)， 所以若按9折出售，每件还可获利25元． 故选C. 【点睛】利润=售价-进价，应用题要找准题中的关系，列出正确的式子． 2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ） A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、利用给定函数模型解决实际问题 【解析】根据图象关系求出函数解析式，计算当x＝0时，y＝300即可得解. 【详解】设函数解析式为， 函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则 解得 所以，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元． 答案：B 【点睛】此题考查函数图象的识别，根据函数图象求解析式，计算函数值，关键在于利用待定系数法准确求解. 3.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天定价 元 元 元 元 住房率 要使收入每天达到最高，则每间应定价为（    ） A．20元 B．18元 C．16元 D．14元 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【解析】本题首先可以求出在图表的四种情况下的每天的收入的数值，然后通过比较，即可得出结果. 【详解】当定价为元时，每天的收入为（元）； 当定价为元时，每天的收入为（元）； 当定价为元时，每天的收入为（元）； 当定价为元时，每天的收入为（元）； 故当定价为元时，每天的收入最高，收入为元， 故选：C. 【点睛】本题考查根据表格中的数据求每天的收入的最大值，能否根据题意得出每天的收入的计算方式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力，是简单题. 4.某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 【答案】C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】画出图形，结合二次函数及基本不等式判断方案1、2，利用特殊情况判断方案3； 【详解】解：方案1：设米，则米， 则菜园面积， 当时，此时菜园最大面积为； 方案2：依题意，则，所以，当且仅当时取等号， 所以，即当且仅当，时取等号； 方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径米， 此时菜园最大面积； 故选：C． 题型三 函数图象的应用 1.已知α，β(α<β)是函数y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)的两个零点，则α，β，a，b的大小关系是（    ） A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b 【答案】A 【知识点】函数图象的应用、比较零点的大小关系 【分析】设g(x)＝(x－a)(x－b)，根据函数y＝(x－a)(x－b)＋2与g(x)图象关系确定零点大小关系，即可判断选择. 【详解】设g(x)＝(x－a)(x－b)， 则g(x)向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象， 由图易知a<α<β<b. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象变换以及函数零点大小比较，考查数形结合思想方法以及基本分析判断能力，属基础题. 2.高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、函数图象的应用 【分析】由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解. 【详解】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C； 再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3.（多选题）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【答案】ABC 【知识点】函数图象的应用 【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果. 【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样， 显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点； 所以只有D正确. 故选：ABC 4.（多选题）如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示. 则下列说法中，正确的有（    ） A．图②的建议：提高成本，并提高票价 B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变 C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变 D．图③的建议：提高票价，并降低成本 【答案】BC 【知识点】函数图象的应用 【分析】根据题意和图②知，此建议是降低成本而保持票价不变，由图③可以看出，此建议是提高票价而保持成本不变. 【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确； 由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查了函数图象的应用，属于基础题. 题型四：利用给定函数模型解决实际问题 1.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20，连环送活动”即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（     ） A．280元 B．320元 C．340元 D．360元 【答案】D 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，则1400元可得280元购物券，再购物元可得60元购物券，最后仍可获得购物卷20元，故可得结论． 【详解】由题意，顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元 ， 又还可获赠商场购物券60元， 再由，还可获得购物卷20元， 在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计360元. 故选：D． 【点睛】本题考查函数应用题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（     ） A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 【答案】D 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【详解】设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D. 3.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（    ） A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设y＝kx＋b，依题意得到方程组，解得函数解析式，再代入求值即可； 【详解】解:设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则，解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元). 故选：C 【点睛】本题考查函数模型的应用，属于基础题. 4.(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（    ） A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元 B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元 C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用 D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km 【答案】BCD 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案. 【详解】对于A选项：出租车行驶4 km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误； 对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确； 对于C选项：乘出租车行驶5 km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确； 对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题. 题型一：已知分段函数的值求参数或自变量 1.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（    ） A．15 B．40 C．25 D．13 【答案】C 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【解析】这是已知函数值求自变量的问题，又是分段函数，所以分类讨论求解即可． 【详解】解：令，若，则，不合题意； 若，则，满足题意； 若，则，不合题意． 故拟录用人数为25． 故选：． 【点睛】本题考查的是分段函数问题，在解答的过程当中充分体现了应用题的特性、分段函数的知识以及问题转化的思想，属于基础题． 2.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（    ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可. 【详解】先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为. 故选：B 3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 A．15 B．25 C．40 D．130 【答案】B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的解析式，令，结合分段条件，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数， 令，若，则，不合题意； 若，则，满足题意； 若，则，不合题意． 故该公司拟录用25人． 故选B 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中合理利用分段函数的解析式，结合分段条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4.设函数f（x），若f（x）＞f（0），则x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】f（x）是分段函数，先求出f（0），然后在每段函数里求x的取值范围，从而求出x的取值范围． 【详解】f（0）＝2 ∴x＜2时，由＞2得：x＜； x≥2时，由得：x＞0． ∴x的取值范围是（∞，）∪（0，+∞）． 故选D． 【点睛】本题考查分段函数的求值，对于解不等式f（x）＞f（0），要在每段函数里求解． 题型二：利用二次函数模型解决实际问题 1.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　) A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45 C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30 【答案】A 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【详解】设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元， 则y＝xQ－P＝x－＝·x2＋(a－5)x－1 000(x＞0)． 由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40. 所以解得 答案：A 2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 【答案】A 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】先求得利润的表达式，然后结合二次函数的性质求得利润取得最大值时对应的生产数量. 【详解】利润 . 所以当时，L(x)有最大值. 故选：A 【点睛】本小题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题. 3.某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 【答案】B 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解 【详解】设灯具商店每月的利润为z元， 则， ， 故选：B 4.某公园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2m处达到最高，最高高度为8m.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为 A．5m B．3.5m C．5.5m D．7.5m 【答案】D 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】这个装饰物的高度就是时拋物线的函数值,所以需求抛物线解析式，根据题意设顶点式较简便，. 【详解】因为水柱上任意一个点距中心的水平距离为, 与此点的高度之间的函数关系式是： 或， 由 ,可得； 由 ,可得， 于是，所求函数数解析式是 或， 当时，， 所以装饰物的高度为，故选D . 【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和二次函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 题型三：建立拟合函数模型解决实际问题 1.夏季山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶气温是14.1℃，山脚下气温是26℃，那么山顶相对山脚的高度是     A．1500米 B．1600米 C．1700米 D．1800米 【答案】C 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【详解】由（米）,知应选C. 2.某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系． 【答案】 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】设从上海调运台到A市，则从上海调运台到B市，从杭州调运台到A市，根据题意，列出函数关系即可． 【详解】设从上海调运台到A市，则从上海调运台到B市，从杭州调运台到A市， 从杭州调运台到B市， 根据题意，， 其中且，解得， 所以． 3.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施. 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问： （1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？ 通过计算加以说明. （2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？ 【答案】（1）方案一（2）理由见解析 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）分别计算两个方案的利润，即可得到答案； （2）当时，，，因为，所以应选择方案一处理污水. 【详解】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为，依方案二的利润为，由题意知 ， . （1）当时，，， 因为，所以应选择方案二处理污水. （2）当时，，， 因为，所以应选择方案一处理污水. 【点睛】本题以污水净化为背景，考查函数的实际应用，属于基础题. 4.某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 题型四：函数图像的识别 1.某天，张敏在下班回家的路上，开始和同事边走边讨论问题，走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家.下列图像中与这一过程吻合得最好的是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法表示函数、函数图像的识别 【分析】由题意，得到最先由远及近匀速，然后停止，最后快速，结合选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，开始和同事边走边讨论问题，走得比较慢；然后停下来将问题彻底解决，最后他快速地回到了家，可得最先由远及近匀速，然后停止，最后快速，只有选项D符合. 故选D. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，以及函数的图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2.某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　) A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数图像的识别、分段函数模型的应用 【分析】根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定. 【详解】出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是). 对应的值都是5， 以后每价为元， 不足按计价， 时， 时，，故选B. 【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 3.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别 【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下相同的体积，当时间取分钟时，液面下降的高度与漏斗高度的比较. 【详解】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取分钟时，液面下降的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果. 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，常利用特殊值和函数的性质判断，属于中档题. 4.已知函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别 【解析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项. 【详解】易知函数的图象的分段点是，且过点，，又， 故选：B． 【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题. 1. （多选题）某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是（    ） A．前三年中，产量增长的速度越来越快 B．前三年中，产量增长的速度越来越慢 C．第三年后，这种产品停止生产 D．第三年后，年产量保持不变 【答案】BC 【知识点】图象法表示函数、函数图象的应用 【解析】利用函数的图象，结合问题的实际意义，即可求解. 【详解】由函数图象可知, 在区间[0，3]上，图象凸起上升的，表明年产量增长速度越来越慢； 在区间(3，8]上，如果图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0. B、C正确 故选：BC 【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，考查了数形结合的思想，属于中档题. 2.已知函数，若对任意的实数都存在，使得成立，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用 【分析】分别讨论x＞1和x≤1时，由函数的单调性可得f（x）的最大值为f（1）=2，由题意可得所求值． 【详解】函数, 可得x＞1时，f（x）递减，可得f（x）∈（0，2）； x≤1时，f（x）=递增，可得f（x）≤2， 且x=1时，f（x）取得最大值2， 由对任意的实数x都存在，使得成立， 可得=1， 故选A． 【点睛】本题考查分段函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力. 3.设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型复合函数的单调性、解分段函数不等式 【解析】由已知得出函数的单调性，利用其单调性建立不等式组，可得选项. 【详解】∵函数在上单调递减，在上为常数1， 所以由得，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的不等式求解问题，关键在于得出分段函数的单调性，属于中档题. 4.（多选题）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（    ） A．取得最大值时每月产量为台 B．边际利润函数的表达式为 C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 【答案】BCD 【知识点】一次函数的图像和性质、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，， 因为函数为减函数，则，C对； 对于D选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对. 故选：BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 函数的应用(一) 分段函数 题型一：分段函数模型的应用 1.已知某停车场规定:停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（    ） A．16元 B．18元 C．20元 D．22元 2.茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 3.2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过元 3 2 元 10 注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额. A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元 4.如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 题型二：利用给定函数模型解决实际问题 1.某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利 A．元 B．元 C．元 D．元 2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ） A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 3.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天定价 元 元 元 元 住房率 要使收入每天达到最高，则每间应定价为（    ） A．20元 B．18元 C．16元 D．14元 4.某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 题型三 函数图象的应用 1.已知α，β(α<β)是函数y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)的两个零点，则α，β，a，b的大小关系是（    ） A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b 2.高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是 A． B． C． D． 3.（多选题）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 4.（多选题）如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示. 则下列说法中，正确的有（    ） A．图②的建议：提高成本，并提高票价 B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变 C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变 D．图③的建议：提高票价，并降低成本 题型四：利用给定函数模型解决实际问题 1.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20，连环送活动”即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（     ） A．280元 B．320元 C．340元 D．360元 2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（     ） A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 3.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（    ） A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 4.(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（    ） A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元 B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元 C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用 D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km 题型一：已知分段函数的值求参数或自变量 1.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（    ） A．15 B．40 C．25 D．13 2.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（    ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A． B． C． D． 3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 A．15 B．25 C．40 D．130 4.设函数f（x），若f（x）＞f（0），则x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型二：利用二次函数模型解决实际问题 1.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　) A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45 C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30 2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 3.某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 4.某公园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2m处达到最高，最高高度为8m.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为 A．5m B．3.5m C．5.5m D．7.5m 题型三：建立拟合函数模型解决实际问题 1.夏季山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶气温是14.1℃，山脚下气温是26℃，那么山顶相对山脚的高度是     A．1500米 B．1600米 C．1700米 D．1800米 2.某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系． 3.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施. 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问： （1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？ 通过计算加以说明. （2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？ 4.某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 题型四：函数图像的识别 1.某天，张敏在下班回家的路上，开始和同事边走边讨论问题，走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家.下列图像中与这一过程吻合得最好的是 A． B． C． D． 2.某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　) A．   B．   C．   D．   3.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 1. （多选题）某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是（    ） A．前三年中，产量增长的速度越来越快 B．前三年中，产量增长的速度越来越慢 C．第三年后，这种产品停止生产 D．第三年后，年产量保持不变 2.已知函数，若对任意的实数都存在，使得成立，则 A．1 B．2 C．3 D．4 3.设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（    ） A．取得最大值时每月产量为台 B．边际利润函数的表达式为 C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 学科网（北京）股份有限公司 $$