周周测01 1.1 空间向量及其运算 （人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦空间向量运算，通过基础概念辨析（单选）、综合应用（解答）及创新情境（斜坐标系），分层考查空间观念与推理能力，适配高二周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|零向量性质（1）、共线向量（2）、空间向量表示（3-4）|立足基础，辨析易混概念，强化空间直观| |多项选择|3/18|向量平行垂直（9）、四点共面判定（10-11）|设置易错选项，考查逻辑推理的严谨性| |填空题|3/15|基底判定（12）、模长计算（13）、共面条件（14）|综合基础考点，检测知识迁移能力| |解答题|5/77|向量化简（15-16）、斜坐标系应用（19）|融入创新情境（斜坐标系），结合平行六面体等模型，提升综合运算与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学周周测 01 1.1 空间向量及其运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 2．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 5．在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 7．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 8．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 10．下列说法错误的是（ ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 11．如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 13．已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为_______ 14．已知空间向量，，，若共面，则实数______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据如图的平行六面体，化简下列各式： (1)； (2). 16．如图所示，已知是平行六面体． (1)化简； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值． 17．如图，在四面体OABC中，，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，． (1)用，，表示向量； (2)已知，，求的大小． 18．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点. (1)求； (2)求； (3)求的长. 19．在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 01 1.1 空间向量及其运算 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 2．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接求解，再结合选项即可求解. 【详解】由题知， 所以与向量共线的单位向量为，即或， 所以，选项中只有满足. 3．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 4．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 5．在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】连接并延长交于， 因为是的重心，所以为的中点， 所以， ， 所以， 所以. 故选：B. 6．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列说法错误的是（ ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：当时，不存在，故B错误； 对于选项C：若共线，可以在同一条直线上，故C错误； 对于选项D：若（其中）， 所以四点共面，故D正确. 故选：BC. 8．如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 【答案】BC 【分析】利用基底来表示空间向量，结合向量的线性运算和空间向量共面定理，即可作出推断. 【详解】 设， 则， 所以， 要使得P在直线上，则， 则满足，解得， 这与已知条件相矛盾，故A错误； 当时，，则， 要使得P在平面内，则满足， 因为则， 所以，解得，即存在满足，故B正确； 当时，， 所以共面，且它们有公共点，即可得平面， 又因为平面平面，所以平面，故C正确； 要使得平面，则只需要证明平面， 即假设存在使得：， 又因为，所以， 因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 【答案】①③④ 【分析】利用反证法可判断①④；利用空间向量的位置关系可判断②；利用共面向量的基本定理可判断可判断③. 【详解】对于①，假设、不共线，则存在空间向量，使得当与、不共线， 此时，、、能构成空间向量的一组基底，与题设矛盾，假设不成立， 所以，若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则，①对； 对于②，若非零向量、、满足，，则与不一定共线，②错； 对于③，若、、是空间向量的一组基，且， 则， 即， 所以，、、、四点共面，③对； 对于④，因为向量、、是空间向量的一组基底， 假设、、共面，若，不妨设，设存在、，使得，， 所以，，，， 此时，向量、、共线，与题设矛盾； 若、、共面，且、不共线，则存在、，使得， 则，， 所以，、、共面，与题设矛盾，故、、也是空间向量的一组基底，④对. 故答案为：①③④. 10．已知空间向量，，，若共面，则实数______． 【答案】4 【分析】利用空间向量共面的条件，设出实数，，使，列出方程组，求出的值即可． 【详解】解：向量、、共面， 存在实数，使得， 即， ；解得 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】(1) (2), 2 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 01 1.1 空间向量及其运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 2．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接求解，再结合选项即可求解. 【详解】由题知， 所以与向量共线的单位向量为，即或， 所以，选项中只有满足. 3．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 4．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 5．在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】连接并延长交于， 因为是的重心，所以为的中点， 所以， ， 所以， 所以. 故选：B. 6．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 7．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 8．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，解得，A错误； 对于B，由，得，解得，B正确； 对于C，假设存在实数，使得，则， 由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足，C正确； 对于D，，解得， 所以，，所以，D正确． 10．下列说法错误的是（ ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：当时，不存在，故B错误； 对于选项C：若共线，可以在同一条直线上，故C错误； 对于选项D：若（其中）， 所以四点共面，故D正确. 故选：BC. 11．如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 【答案】BC 【分析】利用基底来表示空间向量，结合向量的线性运算和空间向量共面定理，即可作出推断. 【详解】 设， 则， 所以， 要使得P在直线上，则， 则满足，解得， 这与已知条件相矛盾，故A错误； 当时，，则， 要使得P在平面内，则满足， 因为则， 所以，解得，即存在满足，故B正确； 当时，， 所以共面，且它们有公共点，即可得平面， 又因为平面平面，所以平面，故C正确； 要使得平面，则只需要证明平面， 即假设存在使得：， 又因为，所以， 因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 【答案】①③④ 【分析】利用反证法可判断①④；利用空间向量的位置关系可判断②；利用共面向量的基本定理可判断可判断③. 【详解】对于①，假设、不共线，则存在空间向量，使得当与、不共线， 此时，、、能构成空间向量的一组基底，与题设矛盾，假设不成立， 所以，若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则，①对； 对于②，若非零向量、、满足，，则与不一定共线，②错； 对于③，若、、是空间向量的一组基，且， 则， 即， 所以，、、、四点共面，③对； 对于④，因为向量、、是空间向量的一组基底， 假设、、共面，若，不妨设，设存在、，使得，， 所以，，，， 此时，向量、、共线，与题设矛盾； 若、、共面，且、不共线，则存在、，使得， 则，， 所以，、、共面，与题设矛盾，故、、也是空间向量的一组基底，④对. 故答案为：①③④. 13．已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为_______ 【答案】 【分析】以为空间向量的一组基底，，利用空间向量的加法、减法、数量积运算即可求解. 【详解】    以为空间向量的一组基底， 则， 所以 ， 所以. 故答案为：. 14．已知空间向量，，，若共面，则实数______． 【答案】4 【分析】利用空间向量共面的条件，设出实数，，使，列出方程组，求出的值即可． 【详解】解：向量、、共面， 存在实数，使得， 即， ；解得 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据如图的平行六面体，化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，，及相反向量的定义即可求解； （2）由向量减法法则及即可求解. 【详解】（1）在平行六面体中， 因为，， 所以； （2）在平行六面体中， 因为， 所以. 16．如图所示，已知是平行六面体． (1)化简； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值． 【答案】(1)； (2)，，. 【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得； （2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得. 【详解】（1）∵是平行六面体， ∴ （2）∵ ， 又， ∴，，. 17．如图，在四面体OABC中，，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，． (1)用，，表示向量； (2)已知，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由P是线段MN的中点得，由N是棱BC的中点，得，即可求； （2）由数量积运算直接求模即可 【详解】（1）连接，因为P是线段MN的中点，所以，   因为N是棱BC的中点，，即， 所以． （2） 因为，， 所以，故． 18．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点. (1)求； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)4； (2)； (3). 【分析】（1）利用数量积的公式求数量积即可； （2）利用余弦定理求出，即可得到； （3）通过线性运算得到，然后利用数量积求模长即可. 【详解】（1）. （2）因为为平行六面体，所以四边形为平行四边形，∥，， 在三角形中，，，，所以，所以， 又∥，所以. （3）由题意知，，则 ， 所以. 19．在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】(1) (2), 2 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 01 1.1 空间向量及其运算 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 2．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 5．在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列说法错误的是（ ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 8．如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 10．已知空间向量，，，若共面，则实数______． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $