2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（11大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：直线与圆的位置关系的判断 2 题型二：由直线与圆的位置关系求参数问题 3 题型三：切线与切线长问题 4 题型四：弦长问题 5 题型五：圆与圆的位置关系的判断 6 题型六：由圆的位置关系确定参数 7 题型七：公共弦与切点弦问题 8 题型八：公切线问题 9 题型九：范围与最值问题 10 题型十：圆系问题 13 题型十一：实际问题 14 02 重难点拓展 18 题型一：直线与圆的位置关系的判断 1．（2025·高二·江西赣州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【解析】由，得，， 圆心到的距离，即， 所以与圆的位置关系是相离. 故选：C 2．（2025·高二·湖南衡阳·月考）已知集合，则中的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【解析】集合的元素是直线上的点，集合的元素是圆上的点， 因为的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 可知直线与圆相交，有2个公共点， 所以中的元素个数为2. 故选：C. 3．（2025·高二·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：C. 题型二：由直线与圆的位置关系求参数问题 4．（2025·高二·广西河池·月考）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是斜率为1的直线， 曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，，解得，或（舍去）， 当直线过时，，直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点. 故选：B. 5．（2025·高二·天津津南·月考）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】点关于轴的对称点的坐标为， 圆的圆心为，半径为. 设过且与已知圆相切的直线的斜率为， 则切线方程为即， 所以圆心到切线的距离为， 解得或， 故选：B. 6．（2025·高二·贵州毕节·期中）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】圆心，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离为，解得; 故答案为：B 题型三：切线与切线长问题 7．（2025·高二·天津河西·期中）已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆心C，则，设切线斜率，则，， 点斜式，整理得. 故选：D 8．（2025·高二·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C 9．（2025·高二·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 题型四：弦长问题 10．（2025·高二·天津津南·月考）已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足，所以 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为， 整理得. 故选：B 11．（2025·高二·山东临沂·期中）若直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】直线即恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5，所以. 故选：A 12．（2025·高二·江苏宿迁·期中）圆被直线所截的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】方程可变形为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以弦长 . 故选：D 题型五：圆与圆的位置关系的判断 13．（2025·高二·陕西西安·期中）若圆截直线所得的弦长为，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【解析】由圆，得， 所以圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离， 因为圆截直线所得的弦长为，所以， 解得，又，所以； 所以圆的圆心为，半径为； 又圆的方程为：，所以圆心为，半径为. ， 所以两圆外切. 故选：B. 14．（2025·高二·河北保定·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 【答案】D 【解析】圆，圆的圆心分别为，则. 圆，圆的半径分别为，则，则这两个圆的位置关系是外切. 故选：D. 15．（2025·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【解析】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 题型六：由圆的位置关系确定参数 16．（2025·高二·山东济南·月考）已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为两圆外切，所以，即，解得. 故选：D. 17．（2025·高二·湖北·期中）已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（   ） A．. B． C．. D． 【答案】B 【解析】由题，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有两条公切线， 所以圆与圆的位置关系为相交， 所以，即 所以，即，解得或 所以实数的取值范围为 故选：B 18．（2025·高二·广西来宾·期中）已知圆：与圆（）内切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为圆：的圆心，半径为1； 圆的圆心，半径为； 又，由题意，解得. 故选：D 题型七：公共弦与切点弦问题 19．（2025·高二·福建莆田·期中）已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得圆方程可化为， 将圆方程和圆方程相减， 即可得经过两圆交点的直线方程为. 故选：D. 20．（2025·高二·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得两圆公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为. 故选：A. 21．（2025·高二·江苏扬州·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：即圆：，圆心坐标、半径依次为， 圆：与圆：方程相减得，，即， 圆心到直线的距离为， 所以. 故选：B. 题型八：公切线问题 22．（2025·高二·江西宜春·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由题意可知，两圆内切， 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故答案为： 23．（2025·高二·陕西延安·期中）圆与圆公切线的条数为 ． 【答案】 【解析】由圆，即，可得圆心，半径为， 又由圆，即，可得圆心，半径为， 因为，可得， 即，所以圆与圆相交，所以两圆有2条公切线. 故答案为：. 24．（2025·高二·重庆·月考）若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心， 且两圆半径分别为， 所以， 则. 故答案为： 题型九：范围与最值问题 25．（多选题）（2025·高二·河南新乡·月考）已知直线（）与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，下列结论正确的是（   ） A．线段中点的轨迹方程是 B．点到点的距离的最大值为 C．点到点的距离的最小值为 D．点活动区域围成图形的面积为 【答案】BD 【解析】由，得， 由，得， 由，得，设，则， 即， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 即线段中点的轨迹方程是，所以A错误； 点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为，所以B正确； 点与圆上点连线的距离减去圆C的半径即为点到点的距离的最小值， 所以最小值为，所以C错误； 点轨迹是以圆心在圆上，半径为的圆， 故点C的活动区域为圆盘，其面积为，所以D项正确． 故选：BD. 26．（多选题）（2025·高二·河南·期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若为圆上任意一点，则的最小值为 B．四边形的面积的最小值为4 C．当点在原点处时，直线的方程为 D．直线过定点 【答案】ABD 【解析】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为． 对于，故A正确； 对于B，四边形的面积 ，要求四边形的面积的最小值，只需最小， 又，所以，故B正确； 对于C，当点在原点时，，的中点坐标为 所以以为直径的圆的方程为，即， 与相减，可得直线的方程为，故C错误； 对于D，因为点为直线上一动点，所以可设， ，的中点坐标为 所以以为直径的圆的方程为， 即，与相减， 可得直线的方程为，即， 由解得，所以直线过定点，故D正确． 故选：ABD 27．（多选题）（2025·高二·广东·期中）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（    ） A．弦长没有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【解析】对于A，由圆，可得圆心为，半径为 又由直线，可得，可得过定点，则点在圆内部， 根据圆的性质，可得当直线，弦取得最小值，所以A不正确； 对于B，因为是弦的中点，连接，可得， 设，可得，整理得， 即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 因为，可得点在圆外， 所以的最大值为，所以B不正确； 对于C，由， 要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 又由的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，所以C正确； 对于D，设，且， 可得，所以， 因为动点的轨迹方程为， 设，可得， 则直线与圆必有公共点， 可得，即，解得， 所以得最大值为，所以D正确. 故选：CD. 题型十：圆系问题 28．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 29．过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 【答案】 【解析】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. 30．经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】由已知可设经过直线和圆的圆系方程为 ， 又因为圆过点，所以，解得：， 故所求圆的方程为． 故答案为：. 题型十一：实际问题 31．（2025·高二·江西·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．8m B．7m C．7.5m D．6.5m 【答案】B 【解析】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 32．（2025·高二·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【解析】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 33．（2025·高二·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解析】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 1．（2025·高二·天津南开·开学考试）已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】由， 因为可看成圆上的动点与定点的斜率， 再结合图形可得： 设过点的切线， 由相切可得：，解得：或， 所以由图可得斜率范围，即，故①正确； 因为，所以， 而，所以，故②正确； 因为，所以， 而可看成圆上的动点与两定点的距离之差， 如图： 由，当且仅当三点共线且在延长线上时取等号， 所以的最大值是,故③正确； 故选：D 2．（2025·高二·山东济宁·期中）已知圆，过点的直线与圆交于两点.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点，因为，所以为等边三角形， 所以，， 又点，点，则， 在直角三角形中，，即，解得. 故选：C. 3．（2025·高二·山西太原·期中）若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 4．（2025·高二·重庆·期中）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（    ）条. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】将直线的方程整理为：， 令，解得，因此直线过定点， 因为圆：的圆心为，半径， 所以定点到圆心的距离为：（即点在圆内）， 设圆心到直线的距离为，则弦长公式：， 由于直线过定点，则（点到直线的距离不超过点到定点的距离）， 因此：，代入弦长公式得： (时，；当时，). 因为为整数，结合范围，可能的整数值为、. 当时，(直线过圆心)，将代入直线的方程： ，得，对应1条直线； 当时，由弦长公式，解得，即， 圆心到直线的距离，令其等于，平方后化简得： ，，， 此方程判别式，有2个不同的实根，对应2条直线. 所以对应1条，对应2条，共条. 故选：B. 5．（2025·高二·广西河池·月考）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是斜率为1的直线， 曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，，解得，或（舍去）， 当直线过时，，直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点. 故选：B. 6．（多选题）（2025·高二·内蒙古包头·月考）在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B．存在实数，使得点在曲线内 C．若，直线与曲线相交于，两点，则线段的长度为 D．若，则过点且与曲线相切的直线的方程为或 【答案】BD 【解析】选项A：由曲线表示圆，可知，即， 令，所以恒成立，即恒成立， 故若曲线表示圆，则实数的取值范围为，故选项A错误； 选项B，要使得点在曲线内， 只需，即，解得或， 所以存在实数，使得点在曲线内.故选项B正确； 选项C，当时，曲线化为圆，即， 设圆心到直线的距离为，则， 又半径，故弦长， 故选项C错误； 选项D，当时，曲线，化为：，即，圆心坐标为，半径， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线和圆相切； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 由直线与圆相切可得圆心到直线的距离，解得， 此时切线方程为，即，故选项D正确． 故选：BD． 7．（多选题）（2025·高二·陕西西安·期中）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．圆关于直线对称 C．若点是圆上一点，则的最大值是 D．若点是圆上一点，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】因为圆关于直线对称的圆方程为， 故圆的圆心为，半径为2，即圆的方程为 对于A，圆化为标准形式为， 圆心为，半径两圆圆心距为，故两圆相离，A错误； 对于B，将圆心代入直线，得，直线过圆心， 故圆关于直线对称，B正确； 对于C，表示圆上点与原点连线的斜率，设为，即， 代入圆方程得：，整理得， 所以，解得， 故的最大值为，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离， 圆上点到直线的最小距离为， 故的最小值为，D正确． 故选：BCD. 8．（多选题）（2025·高二·河北邢台·期中）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（   ） A．面积的最大值是 B．面积的最小值是 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【解析】对于AB：因为直线分别与轴、轴交于，两点， 所以，，则． 因为点在圆：上，圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 则点到直线的距离的范围为， 则，所以面积的最大值是， 最小值为，A正确，B错误． 当最大或最小时，与圆相切，连接， 可知，，， 由勾股定理可得，CD均正确． 故选：ACD. 9．（多选题）（2025·高二·江苏南通·专题练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（   ） A．曲线C上两点间距离的最大值为 B．若点在曲线C内部不含边界，则 C．若曲线C与直线有公共点，则 D．若曲线C与圆有公共点，则 【答案】ABC 【解析】当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第一象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第二象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第三象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第四象限的部分， 作曲线C的图形如下图：其中， ， ， . 对于A，因为曲线C在第一象限内的点到原点O的距离的最大值为 ， 所以曲线C上两点间距离的最大值为 ，故A正确； 对于B，因为点在C内部，所以点 在 的内部， 因此 ，解得 ，即，故B正确； 对于C，由曲线的图形知：要曲线与直线有公共点， 则点到直线的距离 或点D到直线的距离， 因此 或 ， 解得 或 ，所以，故C正确； 对于D，由线与坐标轴的交点为，， 当圆过点，时，最小，最小值为， 由曲线的图形及选项A知：要曲线与圆 有公共点，则 ，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选题）（2025·高二·重庆·期中）已知直线：与圆：交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．使得弦长为整数的直线有4条 【答案】ABC 【解析】选项A：将直线方程整理为：， 这是一个关于 的恒等式，当且仅当：恒成立， 即直线 恒过定点 ，因此，选项A是正确的； 选项B：圆的半径为 4，将圆心代入直线得： ， 因此，当 时，直线过圆心，此时 ， 所以 的最大值为 8，因此，选项B是正确的； 选项C：当直线与过圆心和定点的直线垂直时，弦长最短， 此时：定点 到圆心 的距离， 故，因此，选项C是正确的； 选项D：弦长 的取值范围为 ，因此 的可能整数值为 7 和 8， 当时，此时直线过圆心，对应 ，只有一条直线； 当时，由弦长公式：， 因此，由圆心到直线的距离公式得：， 平方化简得：， 判别式， 方程有两个不同的解，即存在两条直线使， 综上， 为整数的直线有3 条直线，因此选项D是错误的. 故选：ABC 11．（2025·高二·四川眉山·期中）已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【解析】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 但由于直线不可能为，直线不可能为， 所以直线与直线的交点不包含， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心， 半径为的圆（除点）， 又圆的圆心，半径， 由于，两圆相离，如下图所示， 的最小值是． 故答案为： 12．（2025·高二·浙江温州·期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是 . 【答案】外切 【解析】由圆方程知：圆心，半径， 由圆方程知：圆心，半径； 圆的面积被直线平分，直线过圆心， ，解得：，； 圆心距， 圆与圆的位置关系是外切. 故答案为：外切. 13．（2025·高二·山东济宁·期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点 . 【答案】 【解析】设，则以为直径的圆的方程为，① 又圆，② ①②可得直线，即， 联立，解得． 直线经过定点． 故答案为： 14．（2025·高二·山西·期中）已知圆C的圆心在直线：上，且经过，两点. (1)求圆C的标准方程； (2)一条光线从点射出，经y轴反射后，与圆C相切，求反射后光线所在直线的方程. 【解析】（1）设圆心C的坐标为. 因为圆心C在直线：上， 所以. 即C的坐标为. 因为A，B是圆C上两点，所以. 即. 得. 所以圆心C的坐标是（3，-2）. 圆C的半径. 所以所求圆C的标准方程是. （2）根据光的反射原理，作点E关于y轴的对称点. 从E射出的光线经y轴反射后，反射光线所在的直线即为经过点的圆C的切线， 由题意得该直线的斜率存在，设切线的斜率为k， 则切线方程为，即. 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得. 解得，. 故所求直线方程为或. 15．（2025·高二·广东清远·期中）已知圆． (1)将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； (2)求直线被圆所截得的弦长； (3)过点作圆的切线，求切线方程. 【解析】（1）将进行配方可得，， 所以该圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为． （2）由（1）知，圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 设弦长为，则， 所以直线被圆所截得的弦长为. （3）因为， 所以点在圆外. 当切线斜率不存在时，过点的方程为，此时圆心到直线的距离为，所以不是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得圆心到切线的距离 ， 整理得，即， 解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为，即； 所以过点与圆相切的直线方程为；. 16．（2025·高二·广东东莞·期中）已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 【解析】（1）证明：由得 由 得 所以直线恒过定点； （2）由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值 易知圆心为 因为 所以    即 解得 （3）当时，直线的方程为，故可设 圆的半径 圆心到直线的距离 所以 所以 即四边形面积的最小值为 17．（2025·高二·山东济宁·期中）已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 【解析】（1）设的中点为， 的中点为，且，，即， ∵点在圆上， ，即， 化简得， 所以的轨迹方程为：. （2）设， 由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为：， 联立直线与圆的方程，可得， ，解得，， 由得，即， 化简得， 将韦达定理代入可得，解得，符合题意. 此时直线的方程为：， 由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为， 又在直线的方程中，当时，，即直线过圆心， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：直线与圆的位置关系的判断 2 题型二：由直线与圆的位置关系求参数问题 2 题型三：切线与切线长问题 2 题型四：弦长问题 3 题型五：圆与圆的位置关系的判断 3 题型六：由圆的位置关系确定参数 3 题型七：公共弦与切点弦问题 4 题型八：公切线问题 4 题型九：范围与最值问题 4 题型十：圆系问题 5 题型十一：实际问题 5 02 重难点拓展 7 题型一：直线与圆的位置关系的判断 1．（2025·高二·江西赣州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．（2025·高二·湖南衡阳·月考）已知集合，则中的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 3．（2025·高二·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 题型二：由直线与圆的位置关系求参数问题 4．（2025·高二·广西河池·月考）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·天津津南·月考）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（2025·高二·贵州毕节·期中）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1 B． C． D．2 题型三：切线与切线长问题 7．（2025·高二·天津河西·期中）已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 题型四：弦长问题 10．（2025·高二·天津津南·月考）已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·高二·山东临沂·期中）若直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 12．（2025·高二·江苏宿迁·期中）圆被直线所截的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D． 题型五：圆与圆的位置关系的判断 13．（2025·高二·陕西西安·期中）若圆截直线所得的弦长为，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 14．（2025·高二·河北保定·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 15．（2025·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 题型六：由圆的位置关系确定参数 16．（2025·高二·山东济南·月考）已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 17．（2025·高二·湖北·期中）已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（   ） A．. B． C．. D． 18．（2025·高二·广西来宾·期中）已知圆：与圆（）内切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七：公共弦与切点弦问题 19．（2025·高二·福建莆田·期中）已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·高二·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·高二·江苏扬州·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则弦的长度为（   ） A． B． C． D． 题型八：公切线问题 22．（2025·高二·江西宜春·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为 . 23．（2025·高二·陕西延安·期中）圆与圆公切线的条数为 ． 24．（2025·高二·重庆·月考）若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为 ． 题型九：范围与最值问题 25．（多选题）（2025·高二·河南新乡·月考）已知直线（）与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，下列结论正确的是（   ） A．线段中点的轨迹方程是 B．点到点的距离的最大值为 C．点到点的距离的最小值为 D．点活动区域围成图形的面积为 26．（多选题）（2025·高二·河南·期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若为圆上任意一点，则的最小值为 B．四边形的面积的最小值为4 C．当点在原点处时，直线的方程为 D．直线过定点 27．（多选题）（2025·高二·广东·期中）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（    ） A．弦长没有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 题型十：圆系问题 28．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 29．过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 30．经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 ． 题型十一：实际问题 31．（2025·高二·江西·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．8m B．7m C．7.5m D．6.5m 32．（2025·高二·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 33．（2025·高二·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 1．（2025·高二·天津南开·开学考试）已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025·高二·山东济宁·期中）已知圆，过点的直线与圆交于两点.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·山西太原·期中）若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·重庆·期中）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（    ）条. A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·高二·广西河池·月考）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025·高二·内蒙古包头·月考）在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B．存在实数，使得点在曲线内 C．若，直线与曲线相交于，两点，则线段的长度为 D．若，则过点且与曲线相切的直线的方程为或 7．（多选题）（2025·高二·陕西西安·期中）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．圆关于直线对称 C．若点是圆上一点，则的最大值是 D．若点是圆上一点，则的最小值是 8．（多选题）（2025·高二·河北邢台·期中）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（   ） A．面积的最大值是 B．面积的最小值是 C．当最小时， D．当最大时， 9．（多选题）（2025·高二·江苏南通·专题练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（   ） A．曲线C上两点间距离的最大值为 B．若点在曲线C内部不含边界，则 C．若曲线C与直线有公共点，则 D．若曲线C与圆有公共点，则 10．（多选题）（2025·高二·重庆·期中）已知直线：与圆：交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．使得弦长为整数的直线有4条 11．（2025·高二·四川眉山·期中）已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 12．（2025·高二·浙江温州·期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是 . 13．（2025·高二·山东济宁·期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点 . 14．（2025·高二·山西·期中）已知圆C的圆心在直线：上，且经过，两点. (1)求圆C的标准方程； (2)一条光线从点射出，经y轴反射后，与圆C相切，求反射后光线所在直线的方程. 15．（2025·高二·广东清远·期中）已知圆． (1)将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； (2)求直线被圆所截得的弦长； (3)过点作圆的切线，求切线方程. 16．（2025·高二·广东东莞·期中）已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 17．（2025·高二·山东济宁·期中）已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $