周周测 04 2.1 直线的倾斜角与斜率（数学人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦直线倾斜角与斜率，通过基础辨析（如第1题概念判断）、实际情境（如第11题交通枢纽修路）及综合应用（如第17题矩形证明），考查数学思维的推理能力与数学眼光的空间形式观察，适配高二周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|倾斜角与斜率关系、平行条件|第4题结合充要条件考查概念逻辑| |多选|3/18|直线垂直判定、倾斜角范围|第9题综合含参直线过定点分析| |填空|3/15|斜率计算、充要条件判断|第14题通过斜率范围反求倾斜角| |解答|5/77|平行判定、几何证明、最值问题|第19题结合原点距离最值考查逻辑推理，第11题以实际交通情境体现应用意识|

2026-2027学年高二上学期数学周周测 04 2.1 直线的倾斜角与斜率 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知直线经过点和，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．“”是直线与直线平行的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A．1 B．2023 C．4043 D．4046 6．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，两直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 10．已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为，，交通枢纽，计划经过C修建一条马路l（l看成一条直线，l的斜率为k），则下列说法正确的是（    ） A．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则或 B．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则或 C．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为 D．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 13．“”是“直线与直线垂直”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 14．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 16．已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 17．已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 18．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    19．在平面直角坐标系中，设直线：． (1)求证：直线经过第一象限； (2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 04 2.1 直线的倾斜角与斜率 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例. 【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确； 对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误； 对于③，所有的直线都有倾斜角，正确； 对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.， 故正确的个数为2. 故选：B 2．已知直线经过点和，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两点求斜率，再结合斜率和倾斜角的关系求出倾斜角即可. 【详解】直线经过点和， 则的斜率为， 设的倾斜角为，,所以. 故选：C. 3．直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由，倾斜角小于，所以，即， 故选：A. 4．“”是直线与直线平行的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先根据两直线平行求出参数，再检验，最后根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则，得或， 当时，，，此时两直线重合； 当时，，，此时两直线平行， 故的充要条件是， 故“”是直线与直线平行的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．已知，，两直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由直线垂直得间的关系，然后凑配出积的定值，求得最小值． 【详解】因为，所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故选：D． 6．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 8．已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可判断. 【详解】当倾斜角都为锐角或都是钝角时，； 当为两个锐角，即为锐角，是钝角时，； 一个锐角，即为锐角，是钝角时，. 故选:ABD 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【答案】6 【分析】首先表示出直线的斜率，直线的斜率，依题意，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过、两点，所以直线的斜率， 又与平行，，即，解得． 故答案为： 10．“”是“直线与直线垂直”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】求出无论为何值，均满足两条直线垂直，从而得到答案. 【详解】当时，两条直线方程分别为和，两条直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， ，两直线垂直， 综上，无论为何值，均满足两条直线垂直， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)已知坐标平面内两点. ①②当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； ②若直线的方向向量为，求的值. (2)．已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）①直线的倾斜角为锐角时，为钝角时或； ②（2）见解析 【分析】（1）①由斜率为正或为负求解； ②由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． （2）先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线的斜率乘积为，可得一组邻边垂直，从而可得结论. 【详解】（1）①直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； ②由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． （2）证明：因为， 所以，， 所以，， 所以∥，∥， 所以四边形为平行四边形， 因为， 所以， 所以四边形为矩形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 04 2.1 直线的倾斜角与斜率 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知直线经过点和，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．“”是直线与直线平行的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，两直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 8．已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 10．“”是“直线与直线垂直”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)已知坐标平面内两点. ①②当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； ②若直线的方向向量为，求的值. (2)．已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 04 2.1 直线的倾斜角与斜率 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例. 【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确； 对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误； 对于③，所有的直线都有倾斜角，正确； 对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.， 故正确的个数为2. 故选：B 2．已知直线经过点和，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两点求斜率，再结合斜率和倾斜角的关系求出倾斜角即可. 【详解】直线经过点和， 则的斜率为， 设的倾斜角为，,所以. 故选：C. 3．直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由，倾斜角小于，所以，即， 故选：A. 4．“”是直线与直线平行的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先根据两直线平行求出参数，再检验，最后根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则，得或， 当时，，，此时两直线重合； 当时，，，此时两直线平行， 故的充要条件是， 故“”是直线与直线平行的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A．1 B．2023 C．4043 D．4046 【答案】C 【分析】设，，进而根据题意得过点与点的直线与直线平行，再根据斜率公式计算求解即可. 【详解】解：设，，则所在直线的斜率为， 由题知过点与点的直线与直线平行， 所以，整理得 故选：C 6．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果. 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上，    故选：C. 7．已知，，两直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由直线垂直得间的关系，然后凑配出积的定值，求得最小值． 【详解】因为，所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故选：D． 8．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 10．已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可判断. 【详解】当倾斜角都为锐角或都是钝角时，； 当为两个锐角，即为锐角，是钝角时，； 一个锐角，即为锐角，是钝角时，. 故选:ABD 11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为，，交通枢纽，计划经过C修建一条马路l（l看成一条直线，l的斜率为k），则下列说法正确的是（    ） A．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则或 B．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则或 C．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为 D．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为 【答案】AD 【分析】结合图象，由两点斜率公式求对满足条件的直线的斜率. 【详解】若A，B两个镇到马路l的距离相等，当l与直线平行时，则. 当直线与l相交时，则直线过的中点，又的中点为，所以，故或. 若A，B两个镇位于马路的两侧，则，，故k的取值范围为， 故答案为：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【答案】6 【分析】首先表示出直线的斜率，直线的斜率，依题意，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过、两点，所以直线的斜率， 又与平行，，即，解得． 故答案为： 13．“”是“直线与直线垂直”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】求出无论为何值，均满足两条直线垂直，从而得到答案. 【详解】当时，两条直线方程分别为和，两条直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， ，两直线垂直， 综上，无论为何值，均满足两条直线垂直， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 14．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用倾斜角与斜率的定义、正切函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】解：设直线的倾斜角为，则，斜率. 由题意，直线的斜率，则： 当时，； 当时，； 综上知，直线的倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【答案】(1) (2)直线与直线重合 (3)直线与直线平行或重合 (4) 【分析】根据直线的斜率求得正确答案. 【详解】（1）由题意知，， 所以直线与直线l2平行或重合， 又，故． （2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合， 又，故直线与直线重合． （3）由题意知，，则， 所以直线与直线平行或重合． （4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以． 16．已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【答案】(1)直线的倾斜角为锐角时，为钝角时或； (2) 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 17．已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 【答案】 因为， 所以，， 所以，， 所以∥，∥， 所以四边形为平行四边形， 因为， 所以， 所以四边形为矩形. 【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线的斜率乘积为，可得一组邻边垂直，从而可得结论. 【详解】略 18．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 19．在平面直角坐标系中，设直线：． (1)求证：直线经过第一象限； (2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 【答案】(1) 方程可化为， 由解得 所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限． (2) 【分析】（1）根据题意，将直线化为，即可得到结果； （2）根据题意，由，再由直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大， 因为，则，所以直线的方程为， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $