专题04 圆的标准方程与一般方程（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以题型为载体系统提炼圆的方程求解与应用方法，构建从概念辨析到轨迹方程的完整知识逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程辨析|1例+4变式|配方法与标准方程特征分析|从圆的方程形式识别切入，夯实概念基础| |标准方程求解|1例+4变式|圆心半径确定法（中点、距离公式及几何性质）|衔接圆的定义，强化代数与几何融合| |一般方程求解|1例+4变式|待定系数法（D,E,F方程组构建）|拓展方程表示形式，提升方程转化能力| |轨迹方程|1例+6变式|相关点法、定义法等3种轨迹求法|综合应用圆的性质，培养数学建模与表达能力|

专题05 圆的标准方程与一般方程 常考题型·精准突破 题型1 圆的方程辨析 题型2 求圆的标准方程 题型3 求圆的一般方程求解 题型4 二元二次方程表圆判定 题型5 点与圆位置关系判定 题型6 点到圆的距离最值 题型7 圆的轨迹方程求解 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 圆的方程辨析 【例1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（   ） A．，b B．， C．， D．， 【变式4】求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. ◆题型2 求圆的标准方程 ( 解题贴士 ： 求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径 ， 常用到中点坐标公式、两点间距离公式 ， 有时还用到平面几何知识 ， 如 “ 弦的中垂线必过圆心 ”“ 两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心 ” 等 . ) 【例2】（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（（26-27高二上·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． ◆题型3 求圆的一般方程求解 ( 解题贴士 ： 求圆的一般方程的步骤 （ 1 ） 根据题意设所求的圆的一般方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ； （ 2 ） 根据已知条件 ， 建立关于 D ， E ， F 的方程组 ； （ 3 ） 解此方程组 ， 求出 D ， E ， F 的值 ； （ 4 ） 将所得的值代回所设的圆的方程中 ， 就得到所求的圆的一般方程 . ) 【例3】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·高二·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． ◆题型4 二元二次方程表圆判定 ( 解题贴士 ： 圆的一般方程的辨析 （ 1 ） 配方法 ： 对形如 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 的二元二次方程可以通过配方变形为 “ 标准 ” 形式后 ， 观察是否表示圆 ； （ 2 ） 运用圆的一般方程的判断方法求解 ， 即通过判断 D 2 ＋ E 2 － 4 F 与 0 的关系 ， 确定它是否表示圆 . ) 【例4】（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（2026·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·高二·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 ◆题型5 点与圆位置关系判定 ( 解题贴士 ： 判断点与圆位置关系的两种方法 （ 1 ） 几何法 ： 主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 ； （ 2 ） 代数法 ： 把点的坐标代入圆的标准方程 ， 比较式子两边的大小 ， 并作出判断 . ) 【例5】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． ◆题型6 点到圆的距离最值 ( 解题贴士 ： 求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤 （ 1 ） 求圆心 O 与定点 M 间的距离 d MO ； （ 2 ） 根据圆的几何性质知 ，① 当点 M 在圆外时 ， d max ＝ d MO ＋ r ， d min ＝ d MO － r ；② 当点 M 在圆内时 ， d max ＝ d MO ＋ r ， d min ＝ r － d MO . ) 【例6】（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【变式1】（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【变式4】（2026·高二·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是______________. 【变式5】（2026·高二·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值______． ◆题型7 圆的轨迹方程求解 ( 解题贴士 ： 求与圆有关的轨迹方程的 3 种方法 ) 【例7】（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【变式4】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·全国·期中）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【变式6】（2026·高二·天津·阶段检测）已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， (1)求圆C的方程； (2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 10．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 11．（多选）（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 12．（多选）（25-26高二上·山东·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 13．（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 14．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 15．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 16．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 17．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； (2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． 18．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 19．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线. (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 20．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆的标准方程与一般方程 常考题型·精准突破 题型1 圆的方程辨析 题型2 求圆的标准方程 题型3 求圆的一般方程求解 题型4 二元二次方程表圆判定 题型5 点与圆位置关系判定 题型6 点到圆的距离最值 题型7 圆的轨迹方程求解 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 圆的方程辨析 【例1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆的标准方程，可知圆心为，故选：B 【变式1】已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，.故选：B. 【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D错误，故选A． 【变式3】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（   ） A．，b B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由且化为标准形式，故圆心为，半径为.故选：C 【变式4】求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. 【解】法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 则有解得 即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴得即圆心坐标为（4，－3），半径为r＝＝5. 即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. ◆题型2 求圆的标准方程 ( 解题贴士 ： 求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径 ， 常用到中点坐标公式、两点间距离公式 ， 有时还用到平面几何知识 ， 如 “ 弦的中垂线必过圆心 ”“ 两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心 ” 等 . ) 【例2】（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为.因此所求圆的方程是． 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是．故圆的方程为． 【变式2】（（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为，则所求圆的方程为.故选：A. 【变式3】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【变式4】（（26-27高二上·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径.由题知圆心为，故圆方程为.故选：A． ◆题型3 求圆的一般方程求解 ( 解题贴士 ： 求圆的一般方程的步骤 （ 1 ） 根据题意设所求的圆的一般方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ； （ 2 ） 根据已知条件 ， 建立关于 D ， E ， F 的方程组 ； （ 3 ） 解此方程组 ， 求出 D ， E ， F 的值 ； （ 4 ） 将所得的值代回所设的圆的方程中 ， 就得到所求的圆的一般方程 . ) 【例3】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 【变式1】（2026·高二·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足，故圆的方程为，故选：A 【变式2】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为.故选：C. 【变式3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为， 因为圆心和圆心关于直线对称， 所以有，即圆的圆心坐标为， 因为圆和圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等， 所以圆的方程为，故选：B 【变式4】（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. ◆题型4 二元二次方程表圆判定 ( 解题贴士 ： 圆的一般方程的辨析 （ 1 ） 配方法 ： 对形如 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 的二元二次方程可以通过配方变形为 “ 标准 ” 形式后 ， 观察是否表示圆 ； （ 2 ） 运用圆的一般方程的判断方法求解 ， 即通过判断 D 2 ＋ E 2 － 4 F 与 0 的关系 ， 确定它是否表示圆 . ) 【例4】（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为.故选：D. 【变式1】（2026·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，即，解得.故选：B. 【变式2】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是.故选B. 【变式3】（2026·高二·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 解得.即m的取值范围是.故选D. 【变式4】（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【解析】若曲线表示圆，则，解得或. 检验：若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留.故选A. ◆题型5 点与圆位置关系判定 ( 解题贴士 ： 判断点与圆位置关系的两种方法 （ 1 ） 几何法 ： 主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 ； （ 2 ） 代数法 ： 把点的坐标代入圆的标准方程 ， 比较式子两边的大小 ， 并作出判断 . ) 【例5】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【解析】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】将圆的方程化为标准式. 因为圆存在，所以，即. 点在圆外，圆心为，点到圆心的距离的平方为， 半径的平方为，故，解得. 综上，. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆的方程可化为，  ，又点在圆外，则，，综上. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4】（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题可得， 所以的取值范围为. ◆题型6 点到圆的距离最值 ( 解题贴士 ： 求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤 （ 1 ） 求圆心 O 与定点 M 间的距离 d MO ； （ 2 ） 根据圆的几何性质知 ，① 当点 M 在圆外时 ， d max ＝ d MO ＋ r ， d min ＝ d MO － r ；② 当点 M 在圆内时 ， d max ＝ d MO ＋ r ， d min ＝ r － d MO . ) 【例6】（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【解析】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为.故选：A 【变式1】（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为．故选：C 【变式2】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8.故选：C. 【变式4】（2026·高二·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是______________. 【答案】40 【解析】圆的方程为，其圆心. 根据两点间距离公式，原点到圆心的距离. 因为在圆上运动，圆的半径. 表示点到原点距离的平方. 的最小值为； 的最大值为. 最大值与最小值的差为. 【变式5】（2026·高二·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值______． 【答案】 【解析】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心 坐标为，圆的半径 ， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离； 如图 ， ， 所以 的最小值为 . ◆题型7 圆的轨迹方程求解 ( 解题贴士 ： 求与圆有关的轨迹方程的 3 种方法 ) 【例7】（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，，因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，则点轨迹方程为.故选：C. 【变式1】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 圆表示以为圆心，1为半径的圆. 由题意，且，所以. 所以点在以，半径为的圆上， 所以点的轨迹方程是．故选：A 【变式2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：.故选：D. 【变式3】（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】设点，由题意，， 由，整理得， 因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且故选：D. 【变式4】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为.故选：B 【变式5】（25-26高二上·全国·期中）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【答案】 【解析】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 【变式6】（2026·高二·天津·阶段检测）已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， (1)求圆C的方程； (2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【解】（1）设圆心坐标为， 圆的圆心在直线上且与轴切于点， ，解得， 圆心，半径， 故圆的方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 点，又点为的中点， ，， ，即点的坐标为， 在圆上运动， ， 即， 点的轨迹方程为. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】因为方程表示圆， 则，即得，解得，则整数m的值为. 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为．故选：B. 5．（25-26高二上·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得或；令，得或. 以代替，以代替，方程仍然成立， 所以曲线关于轴，轴，原点对称.所以可先分析的情况. 当时，，即， 所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成. 所以其面积为. 所以曲线围成的图形的面积为.故选：B. 6．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 7．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为.故选：C. 31．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得.故选：C. 9．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 10．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 11．（多选）（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 【答案】AC 【解析】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 易知，，，， 所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内． 故选：AC． 12．（多选）（25-26高二上·山东·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 13．（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【解析】当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心， 为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积为，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 14．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【解析】圆的方程可化为， 则直径． 15．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【解析】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 16．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【解析】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线， 所以应除去与轴的交点），直角顶点的轨迹方程为（且）． 17．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； (2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． 【解】（1）设点， 因为点C到点A的距离与到点的距离的比为， 则，即， 化简整理可得，， 故点C的轨迹方程为. （2）由（1）可知，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又△ABC的边长AB＝4， 故要使得△ABC的面积最大，即点C到AB的距离最大，即点C的纵坐标的绝对值最大， 由圆的性质可知，圆上的点到x轴的最大距离为， 故△ABC面积的最大值为． 18．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. 19．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线. (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【解】（1）由题意，直线的斜率， 则所求直线的斜率， 代入点斜式方程得， ∴过点且和垂直的直线的方程为. （2）设圆心为，半径为 ∵圆心在直线上，，则点为， 由题意可得， 则，解得， ∴圆心的坐标为，半径， 圆的标准方程为. 20．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $