第二章 第四节 用单摆测量重力加速度（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（粤教版）

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，围绕单摆简谐运动条件（摆角小于5°）和周期公式T=2π√(L/g)，构建从原理理解（摆长与周期测量）到实验操作（器材选择、步骤规范）再到数据分析（公式法与图像法）的完整学习支架。 资料突出科学探究与科学思维培养，通过误差分析（如摆长测量偏差、周期计时误差）和图像法（T²-L图像斜率求g）引导严谨分析，结合例题与课时对点练，课中辅助教师实验教学，课后帮助学生巩固操作技能与数据处理能力，深化物理观念应用。

第四节　用单摆测量重力加速度 [学习目标]　1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义(重点)。2.会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重难点)。3.能正确熟练地使用游标卡尺和秒表(重点)。 一、实验思路 1.实验原理 由T=2π，得g=，则测出单摆的摆长L和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。 2.物理量的测量 摆长L：摆球静止时悬点到摆球球心的距离。 周期T：用秒表测出单摆完成30~50次全振动的时间，然后通过计算求出平均完成一次全振动所用的时间。 二、实验装置 1.实验装置如图所示 2.实验器材 带有铁夹的铁架台，金属小球(有孔)、秒表、细丝线(1 m左右)、长约1 m的毫米刻度尺、游标卡尺等。 三、进行实验 1.将细线穿过金属小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的结，制成一个单摆。 2.将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记。 3.用刻度尺量出悬线长度L0(精确到1 mm)，用游标卡尺测量摆球的直径d，则摆长为L=L0+。 4.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度，角度小于5°，由静止释放摆球。摆球经过最低点(平衡位置)时，用秒表开始计时，测出单摆完成30~50次全振动的时间t(设全振动次数为n)，计算出平均完成一次全振动所用的时间，即为单摆的振动周期T=。 5.改变摆长，反复做几次实验，将一系列的测量值填入表格。 四、数据分析 1.公式法：每改变一次摆长，将相应的L和T代入公式g=中求出g值，最后求出g的平均值。 设计如表所示的实验表格 实验次数 1 2 3 4 5 … 摆线长度L0/m 摆球直径d/m 摆长L/m 全振动次数n 振动时间t/s 振动周期T= 重力加速度g 重力加速度的平均值=(g1+g2+…+gn) 2.图像法：由T=2π得T2=L，以T2为纵坐标，以L为横坐标建立坐标系，根据表中的数据作出T2-L图像(如图所示)。其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g=。 五、误差分析 1.来源： 本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等。 本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。 2.分析 (1)测量摆长时引起的误差 ①若在未悬挂摆球前测量了摆长、摆线拉得过紧、测量了摆线长后却误加了直径等，会使测量的摆长偏大； ②若悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，测量了摆线长漏加了摆球半径等，使测量的摆长偏小。 (2)测量周期时引起的误差 ①由于测量全振动次数错误造成误差。 ②开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表。 ③计算单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。 六、注意事项 1.选择细且弹性小的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度和质量较大、直径较小的金属球。 2.单摆悬线的上端应紧夹在铁夹中，不可以随意卷在铁杆上。 3.摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不能超过5°。 4.摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。 例1　(2024·广州市天河区高二期末)某同学用单摆周期公式测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置。 (1)下列最合理的装置是　　　　。  (2)用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径d=　　　　　　 mm。周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与　　　　　　之和(用d表示)。  (3)实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出T2-l图像如图乙，该图像的斜率为　　　　　　(填“”“”或“”)。  答案　(1)D　(2)21.25　　(3) 解析　(1)为了减小误差，小球应选取质量大体积小即密度大的铁球，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应选用细丝线，且要保证摆动过程中摆点不发生移动，应采取铁夹夹住固定细丝线，故选D。 (2)由题图甲可知，摆球的直径d=21 mm+5×0.05 mm=21.25 mm，周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与小球半径，即。 (3)根据题意，由单摆的周期公式可得 T=2π，整理可得T2=l+， 则图像T2-l的斜率为。 例2　(2023·广州市高二期末)(1)某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中：如果实验时用的摆球质量分布不均匀，则无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为L1，测得周期为T1：第二次量得悬线长为L2，测得周期为T2。根据上述数据，可求得g值为　　　　。  A. B. C. D. (2)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2-L的关系图像(如图所示)，根据图中数据，可算出重力加速度的值为　　　　　　m/s2(取π2=9.86，结果保留三位有效数字)，从理论上分析，他求得的重力加速度g　　　　　　真实值(选填“大于”“等于”或“小于”)。  答案　(1)B　(2)9.86　等于 解析　(1)根据T=2π，设摆球的重心到线与球结点的距离为ΔL可得T1=2π，T2=2π，可得g=，故B正确。 (2)根据T2=L，可得k== s2/m=4 s2/m，解得g=9.86 m/s2；无论图像是否经过坐标原点，图像的斜率都等于，该斜率不变，所以g不变，没有系统误差，则他求得的重力加速度g等于真实值。 拓展　改变摆长，利用测出的多组周期T、摆长L数据，作出T2-L图像，可以更准确地求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2-L图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值 　　　　　(填“偏大”或“偏小”)，出现图线c的原因可能是周期T的测量值　　　　　(填“偏大”或“偏小”)。  答案　偏小　偏小 解析　根据单摆的周期公式T=2π得T2=。 已知图线b满足T2=L，图线a与图线b比较可知，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值偏小。由题图可知图线c的斜率k=偏小，可能是对于同一L值，T的测量值偏小。 例3　(2025·湛江市高二期中)某同学在做“用单摆测量重力加速度”的实验中，将两根等长细绳固定在铁架台的水平横杆上，两悬点的间距与细绳长度相等，两绳下端系上一个匀质小钢球，构成一个“单摆”，如图所示。该同学利用光电计数器测量小球前后摆动的周期，他把光源A固定在与小球自然下垂时的球心在同一水平线上的位置，将光电计数器B放在同一水平线上的另一侧，A发出的光束通过小球遮挡形成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号进行记录和显示。 (1)测得细绳长为L，小球直径为d，则该单摆的摆长为　　　　　　；  (2)将小球向前拉开一个小角度由静止释放，并从小球第一次经过平衡位置处时开始计时，此时收到的脉冲记为1。测得小球经过时间t向后回到平衡位置时，B接收到的脉冲数为N，则测得的重力加速度的表达式为g=　　　　　　　　　　(用所测物理量的符号表示)。  答案　(1)　(2)L+d) 解析　(1)由题意知θ=60°，如图 所以单摆摆长为l=Lsin 60°+= (2)分析可知时间t内，单摆完成周期数为n=， 所以单摆周期T==， 由单摆周期T=2π， 联立以上得g=L+d)。 课时对点练 [分值：50分] 1.(12分)某同学用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)(2分)对测量原理的理解正确的是　　　　；  A.由g=可知，T一定时，g与l成正比 B.由g=可知，l一定时，g与T2成反比 C.单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，由g=可算出当地的重力加速度 (2)(2分)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用以下哪些器材　　　　　；  A.长度为10 cm左右的细绳 B.长度为100 cm左右的细绳 C.直径为1.8 cm的钢球 D.直径为1.8 cm的木球 E.最小刻度为1 mm的米尺 F.秒表、铁架台 (3)(2分)以下为必要的实验操作，请将横线部分内容补充完整。 ①测量单摆的摆长，即测量从摆线的悬点到　　　　　　的距离；  ②把此单摆从平衡位置拉开一个小角度后释放，使摆球在竖直面内摆动，测量单摆全振动30~50次的时间，求出一次全振动的时间，即单摆振动的周期； ③适当改变摆长，测量几次，并记录相应的摆长和周期； ④根据测量数据画出图像，并根据单摆的周期公式，由图像计算重力加速度。 (4)(4分)若用秒表测得了40次全振动的时间如图乙所示，则单摆的摆动周期是　　　　　s；若实验得到的g值偏大，可能是因为　　　　　；  A.组装单摆时，选择的摆球质量偏大 B.测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长 C.测量周期时，把n次全振动误认为是(n+1)次全振动 (5)(2分)该同学利用假期分别在北京和广州两地做了此实验，比较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，然后将这两组实验数据绘制了T2-l图像，如图丙所示，在北京测得的实验结果对应的图线是　　　　　(选填“A”或“B”)。  答案　(1)C　(2)BCEF　(3)①摆球球心 (4)1.88　C　(5)B 解析　(1)由T=2π 得g= 测出单摆的摆长l与周期T，可以求出重力加速度，且重力加速度与地理位置有关，与l、T均无关，故选C。 (2)为减小实验误差，应选择适当长些的细绳做摆线，故A错误，B正确； 为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大而体积小的球做摆球，故C正确，D错误； 实验需要测量摆长，需要用到刻度尺，实验需要测量单摆的周期，测周期需要秒表，应把单摆固定在铁架台上，故E、F正确。 (3)①摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，测量单摆的摆长，应测量从摆线的悬点到摆球球心的距离； (4)由题图乙可得时间为t=60 s+15.2 s=75.2 s 所以周期为T= s=1.88 s 根据T=2π， 解得g= 单摆周期与摆球质量无关，组装单摆时，选择的摆球质量偏大不会导致g的测量值偏大，故A错误； 测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长，所测摆长偏小，则g值偏小，故B错误； 测量周期时，把n次全振动误认为是(n+1)次全振动，所测周期T偏小，则g值偏大，故C正确。 (5)根据T=2π，解得T2=l 图像的斜率k=，则g= 图像的斜率越小，重力加速度越大，由于北京的重力加速度大于广州的重力加速度，因此在北京做实验时作出的T2-l图像的斜率小于在广州做实验时作出的T2-l图像的斜率，由题图丙可知，图线B的斜率小于图线A的斜率，因此在北京测得的实验结果对应的图线是B。 2.(11分)(2024·江门市高二期中)在“用单摆测量重力加速度实验”中： (1)(2分)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将你所选用的器材前的字母填在题后的横线上。 A.长1 m左右的细绳； B.长30 cm左右的细绳； C.直径2 cm的铅球； D.直径2 cm的铁球； E.秒表； F.时钟； G.最小刻度是厘米的直尺； H.最小刻度是毫米的直尺。 所选器材是　　　　　　　　　　　　　　。  (2)(6分)实验时对摆线偏离竖直线的要求是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；理由是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g=　　　　　　。  (3)(3分)如果已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是　　　　　　 cm。如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是　　　　　　 s。单摆的摆动周期是　　　　　　 s。  答案　(1)ACEH　(2)摆线与竖直方向的夹角小于5度　因为摆线与竖直方向的夹角小于5度，单摆运动才可以看成是简谐运动　　(3)87.50　65.2　1.63 解析　(1)单摆模型中，小球视为质点，故摆线越长，测量误差越小，故A正确，B错误；摆球密度要大，体积要小，空气阻力的影响才小，而铅球的密度比铁球大，故C正确，D错误；秒表可以控制开始计时和结束计时的时刻，故E正确，F错误；刻度尺的最小刻度越小，读数越精确，故G错误，H正确。 (2)实验时对摆线偏离竖直线的要求是摆线与竖直方向的夹角小于5度，因为这样单摆运动才可以看成是简谐运动。在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是T=2π，可得g=。 (3)单摆摆长是L=88.50 cm-1.00 cm=87.50 cm， 秒表读数是t=60 s+5.2 s=65.2 s， 单摆的摆动周期是T==1.63 s。 3.(6分)(2024·广州市执信中学高二期末)“用单摆测量重力加速度”的实验中： (1)(2分)某同学尝试用DIS测量周期。如图所示，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。图中磁传感器的引出端A接到数据采集器上。使单摆做小角度摆动，若测得连续N(N从“0”开始计数)个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为　　　　　　　　(地磁场和磁传感器的影响可忽略)。  (2)(4分)由于器材所限，无法测量磁性小球的直径，对实验进行了如下调整：让小球在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你写出该测量值的表达式g=　　　　　　。无法测量磁性小球的直径，对实验结果造成的系统误差　　　　　　(选填“偏大”“偏小”或“没有影响”)。  答案　(1)　(2)　没有影响 解析　(1)根据题意可知，小球经过两次最低点为一个周期， 则小球运动的周期为T== (2)设小球的半径为r，根据单摆的周期公式T=2π可得g=， 根据题意有g=，g= 联立解得g=， 根据g=，g的值是根据两次摆线之差求得，无法测量磁性小球的直径不会影响g的测量值。 4.(11分)(2024·佛山市高二期中)某实验小组用单摆测量重力加速度，如图甲所示，细线的一端拴一个球，另一端连接拉力传感器，固定在铁架台上，将球拉开一个很小的角度后由静止释放，拉力传感器与计算机连接可绘制出球在摆动过程中细线拉力周期性变化的图像，如图乙所示。 (1)(1分)由图乙可得该单摆的运动周期T为　　　　　　 s(结果保留两位有效数字)。  (2)(4分)在摆球自然下垂的状态下，用毫米刻度尺测得从悬点到摆球最顶端的长度l=990.5 mm；用游标卡尺测量摆球的直径，示数如图丙所示，则摆球的直径d=　　　　　　 mm，摆长为　　　　　　 mm。  (3)(4分)根据单摆周期公式，可得当地的重力加速度g=　　　　　　(用题中所给字母表示)，代入数据可得当地的重力加速度值为　　　　　　 m/s2(π取3.14，结果保留三位有效数字)。  (4)(2分)若摆线上端悬点未固定好，摆动中出现松动，则重力加速度的测量值比真实值　　　　　　(填“偏大”或“偏小”)。  答案　(1)2.0　(2)18.8　999.9　(3)(l+)　9.86　(4)偏小 解析　(1)在一个周期内摆球两次经过最低点，每次经过最低点时拉力最大，根据题图乙可知周期T=2.0 s (2)用游标卡尺测量摆球的直径，示数如图丙所示， 则摆球的直径为d=18 mm+8×0.1 mm=18.8 mm， 摆长为L=l+=990.5 mm+9.4 mm=999.9 mm (3)根据单摆周期公式T=2π， 解得g=(l+)， 代入数据可得当地的重力加速度值g=×(990.5+9.4)×10-3 m/s2≈9.86 m/s2 (4)摆线上端悬点未固定好，摆动中出现松动，使得摆长比测量值偏大，所测周期T偏大，所测重力加速度g偏小。 5.(10分)(2024·广州市培英中学高二期末)为了测量当地的重力加速度，某学校科技兴趣小组利用激光切割机切割出半径为R的两块完全相同的金属工件，如图甲所示。然后双通铜柱钉将两块金属板正对平行固定，在两板之间形成距离为d的较为光滑的圆槽轨道。现将直径为D的小球放入轨道，使之做简谐运动，等效为单摆运动。 (1)(1分)实验前用螺旋测微器测量小球的直径D，如图乙所示，则小球的直径D=　　　　　　 mm。  (2)(1分)更换大小相同，质量更大的小球进行实验，小球的运动周期将　　　　　　　(填“变大”“变小”或“不变”)。  (3)(2分)该单摆的等效摆长L=　　　　　　(用R、D、d表示)。  (4)(2分)若等效摆长L为12 cm，π2取值为9.8，从小球运动到最低点开始计时，并记为第1次，第101次经过最低点时用时35 s，则计算重力加速度g为　　　　　　　　 m/s2(结果保留三位有效数字)。  (5)(4分)反思与评价，该装置与线摆相比，缺点：　　　　　　；优点：　　　　　　(缺点和优点各写出一条即可)。  答案　(1)6.125　(2)不变　(3)R-　(4)9.60　(5)见解析　见解析 解析　(1)小球的直径D=6 mm+12.5×0.01 mm=6.125 mm (2)根据单摆的振动周期T=2π，可知，更换大小相同，质量更大的小球进行实验，小球的运动周期将不变。 (3)根据几何关系可得小球在最低点时，其重心到圆槽平面的距离为x=，该单摆的等效摆长为L=R-x=R- (4)依题意，单摆的振动周期为T= s=0.7 s， 由T=2π， 代入数据解得g≈9.60 m/s2 (5)反思与评价，该装置与线摆相比，缺点：小球所受摩擦阻力可能会大一些；优点：可以使小球更好地在同一竖直面内摆动。 学科网（北京）股份有限公司 $