4.5.1函数的零点与方程的解（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点概念、与方程解及图像交点的等价关系、零点存在定理，通过“曹冲称象”类比思想和温度变化、电梯楼层等生活实例导入，从二次函数回顾过渡到一般函数，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活现象抽象零点本质，用数学思维推理零点存在定理及单调性证明，结合分层例题（如分段函数零点个数、含参零点问题）与结构化小结（知识表格、思想方法总结）。帮助学生发展抽象能力和推理意识，教师可通过实例互动提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1函数的零点与方程的解 4.5 函数的应用（二） 学 习 目 标 1 2 理解函数零点的概念，明确零点是一个实数，不是点；掌握函数零点与方程的解、函数图象与 x 轴交点横坐标三者之间的等价关系；理解并会应用函数零点存在定理，能判能结合函数单调性与图象判断零点的个数。断零点所在的大致区间； 感受函数与方程的内在联系，体会数学知识的整体性与统一性；在探究活动中培养合作意识与科学探究精神。 曹冲称象（类比思想） 知识讲解 互动探究 新课引入 《三国志》记载，曹冲五六岁时，孙权曾致巨象，太祖欲知其重。冲曰：“置象于船上，刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。” 曹冲将”称大象”这个困难问题，转化为”称石头”这个容易解决的问题。 在数学中，我们也常常把困难的问题转化为容易的问题。比如，求方程的解很困难时，能否转化为研究函数的性质来解决？ 3 生活中的”零点” 知识讲解 互动探究 新课引入 温度从零下变为零上，必然经过 ； 电梯从地下上升到地上，必然经过地面层（第0层）； 公司盈亏平衡，利润从负变正，必然经过利润为零的点。 这些现象有什么共同特征？ 函数值从负变正（或从正变负），必然要经过函数值为零的点。 4 目标一：函数的零点 回顾二次函数的零点 知识讲解 互动探究 新课引入 观察下表，回顾一元二次方程与二次函数的关系： 方程 函数 方程的根 函数图象与 轴交点 （重根） 无实根 无交点 思考 方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标、使函数值为零的自变量，三者之间有何关系？ 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程,知道一元二次方程 的实数根就是相应二次函数的零点.像lnx+2x-6=0 这样不能用公式求解的 方程,是否也能采用类似的方法,用相应的函数研究它的解的情况呢? 6 函数零点 知识讲解 互动探究 新课引入 对于一般函数 y = f(x), 我们把使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f(x) 的零点 提醒 (1) 并不是所有的函数都有零点,如函数 f(x)=+1 均没有零点 (2) 若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. (3) 函数的零点是实数,而不是点 7 等价概念 知识讲解 互动探究 新课引入 函数 y = f(x) 的零点 方程 f(x) = 0 的实数解 函数 y = f(x) 的图象与x轴的公共点的横坐标. 由此可知,求方程 f(x) = 0 的实数解,就是确定函数 y = f(x) 的零点. 一般地,对于不能用公式求解的方程f(x) = 0,我们可以把它与相应的函数 y = f(x) 联系起来,利用函数的图象和性质找出零点,从而得到方程的解. 8 目标二：函数零点存在定理 从熟悉的二次函数入手 知识讲解 互动探究 新课引入 思考:对于二次函数 f(x) = x² - 2x−3,观察它的图象(如图), 发现它在区间 [2,4]上有零点.这时,函数图象与x 轴有什么关系? 在区间[-2,0]上是否也有这种关系? 你认为应如何利用函数 f(x) 的取值规律来刻画这种关系? 再任意画几个函数的图象,观察函数零点所在区间,以及这一区间内函数图象与x 轴的关系,并探究用 f(x) 的取值刻画这种关系的方法. 10 从熟悉的二次函数入手 知识讲解 互动探究 新课引入 可以发现,在零点附近,函数图象是连续不断的 并且“穿过”x轴.函数 在端点 x=2 和 x=4的取值异号,即(2)f(4)<0 函数 f(x) = x² - 2x – 3 在区间 (2,4) 内有零点x=3,它是方程x²-2x-3=0的一个根 同样地, f(-2)f(0)<0,函数 f(x) = x² - 2x-3在(-2,0) 内有零点 x =− 1, 它是方 程x²-2x-3=0的另一个根. 其实，这里面包含一个重要的定理：零点存在定理 11 函数零点存在定理 知识讲解 互动探究 新课引入 如果函数 y = f(x) 在区间 [a, b] 上的图象是一条连续不断的曲线,且 有f(a)f(b)<0,那么,函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内至少有一个零点, 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x) = 0 的解. 注意:利用零点存在定理判断函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的前提 条件有两个: ① f(x) 在区间 [a,b]上的图象是一条连续曲线; ②f(a) •f(b) <0.这两个条件缺一不可. 12 函数零点存在定理 知识讲解 互动探究 新课引入 条件 说明 反例 ①在上图象是一条连续曲线（函数在上连续） 保证函数图象不会断开，是定理前提 ，区间，，但函数不连续，区间内无零点 ②（区间端点函数值异号） 两端点一正一负，图象有机会穿过x轴 ，区间，连续，但，存在零点；，区间，连续，，无零点 结论：两个条件同时成立 ，使得 两个条件缺一不可；条件推不出零点唯一，只能推出存在零点 1.缺①：不连续，即使，不一定有零点 2.缺②：连续，但端点同号，区间内可能有零点，也可能没有 13 函数零点存在定理的几何意义 知识讲解 互动探究 新课引入 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线 y = f(x),且曲线的起始点(a, f(a)) 与终点(b,f(b))分别在 x 轴的两侧,则连续曲线与 x 轴至少有一个交点.(方程f(x) = 0 在区间(a,b)内至少有一个实数解) 易错提醒： 1.f(a)f(b)>0，不能判定((a,b))内有无零点； 2.零点存在定理只保证零点存在，不保证只有一个零点；想要唯一零点，一般还需要附加函数单调。 14 零点存在定理加强版 知识讲解 互动探究 新课引入 求方程 lnx+2x-6=0 的实数解的个数. 以下面这道题为例，来学这个问题 分析:可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的图象或 列出 x,y 的对应值表,为观察、判断零点所在区间提供帮助. 解:设函数 f(x) = lnx+2x-6,利用计算工具,列出函数 y = f(x) 的 对应值表(如表),并画出图象(如图). x y 1 -4 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094 6 7.7918 7 9.9459 8 12.0794 9 14.1972 由表和图可知,f(2) < 0, f(3) > 0,则f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理可知,函数 f(x) = lnx + 2x−6在区间(2,3) 内至少有一个零点. 容易证明,函数f(x) = lnx+2x-6, x∈ (0,+∞) 是增函数,所以它只有一个零点,即相应方程 lnx + 2x-6=0 只有一个实数解. 15 零点存在定理加强版 知识讲解 互动探究 新课引入 思考:为什么由右图和 f(2)f(3) <0还不能说 明函数f(x) 只有一个零点?你能证明函数y = f(x) 是增函数吗? 观察 ：y=lnx+2x-6 正区间上增函数 实数域上增函数 相加得增 严格证明 证明:任取 x₁, x₂ ∈ (0,+ ∞), 且 x₁ < x₂, 则 f(x₁) − f(x₂) = lnx₁ + 2x₁ – lnx₂ – 2x₂ = ln + 2(x₁ - x₂) 因为 0 < x₁ < x₂, 所以 0 < 1,所以 ln < 0, 且 x₁ - x₂ < 0, 所以 f(x₁) − f(x₂) < 0,即 f(x₁) < f(x₂). 所以 f(x) 在 (0,+ ∞) 上是增函数. 16 目标三：典型例题 求函数零点 例1 函数f(x)=lnx+1的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 典例分析 牛刀小试 答案:B 解析:因为f(x)=lnx+1, x>0,且函数在(0,+∞)上单调递增, 令f(x)=lnx+1=0 解得x=1,所以函数只有一个零点. e 求零点题一般是可以通过解方程得到的，如果是选择题，也可以代入验算。 判断函数零点所在区间 例2 函数f(x) = 3x + log₂ x 的零点所在区间为( ) A. [] B. [] C. [] D. [] 典例分析 牛刀小试 答案:C 解析:由题意,函数f(x)=3x+log₂x,可得函数f(x)为单调递增函数, 可得 重点是验证区间两端的符号，选择题容易些、 判断函数零点个数 例3 设函数f(x)= ,则函数y=f(f(x))-1的零点个数为_______ . 典例分析 牛刀小试 判断个数：如果能求出来，自然知道个数，但大多数无法求，那就画图看；如果图也不好画，试试定理。 答案:2 解析:设t=f(x),则f(f(x))-1=0即为f(t)−1=0, 也即f(t)=1, 当t≤0时, f(t)=2' =1⇒t=0;当t>0时, f(t)=log2t=1⇒t=2; 故方程f(t)=1的解为t=0或2,故f(x)=0或f(x)=2,函数y = f(x)的大致图象如图, 直线y=0和y=2各与该图象有1个交点,所以y=f(f(x))-1的零点个数为2. 由函数零点个数求参 例4 已知函数f(x) = g(x) = f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的 取值范围是( ) [-1,0) B. [0,+∞) C. [-1,+∞) D. [1, +∞) 典例分析 牛刀小试 数形结合 答案：C 解析：函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实数根，即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点， 作出直线y=-x-a与函数y=f(x)的图象，如图所示. 由图可知，-a≤1，解得a≥-1.故选C. 目标四：针对训练 举一反三 1. 2.函数f(x) = x³ -x的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案: D 解析: f(x)=x³-x=x(x−1)(x+1), 令f(x)=0, 即x(x-1)(x+1)=0,解 得x₁ = 0, x₂=1, x₃ =−1,即函数f(x)的零点为-1,0,1,共3个. 举一反三 2. 若是函数f(x) = 2x²-ax+3的一个零点,则f(x)的另一个零点为 ________ . 答案:1 解析:由题意得,解得,所以 .令 ,得或,所以 的另一个零点为1. 举一反三 3.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表: 1.答案:在区间(2,3),(3,4),(4,5)內有零点,理由见解析 解析:由对应值表可得:f(2)·f(3)<0, f(3)·f(4)<0, f(4).f(5)<0, 由零点存在定理可知: f(x)分别在区间(2,3), (3,4),(4,5) 內有零点. x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 函数y=f(x)在哪几个区间内一定有零点?为什么? 举一反三 4.已知函数f(x) = 若函数g(x) = f(x)-a有三个零点,则实数a的取值范围为( ) A. (0,1) B. (0,2) C. (0,3) D. (1,3) 函数g(x) = f(x)-a有三个零点,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点.根据图象可知,当0<a<1时,函数 y = f(x) 的图象与y=a有三个不同的交点,即函数g(x) = f(x)-a有三个零点,故a的取值范围是(0,1).故选 A. 目标五：小结 学海拾贝 知识小结 知识点1：函数零点的概念 定义：f(x)=0 的实数解 x 叫做 y=f(x) 的零点。 本质：零点 = 方程的根 = 图象与 x 轴交点的横坐标。 注意：零点是数，不是点！ 知识点2：零点存在定理 条件：① f(x) 在 [a,b] 上连续；② f(a)⋅f(b)<0。 结论：在 (a,b) 内至少存在一个零点。 推论：若 f(x) 在 [a,b] 上连续且单调，且 f(a)⋅f(b)<0，则 在 (a,b) 内有唯一零点。 学海拾贝 知识点3：零点类型 类型 特征 例子 能否用二分法 变号零点 零点两侧函数值异号 的零点 ✓ 可以 不变号零点 零点两侧函数值同号 的零点 ✗ 不可以 学海拾贝 4.核心思想方法 1. 函数与方程思想：将方程问题转化为函数问题； 2. 数形结合思想：通过图象直观判断零点个数与位置； 3. 转化与化归思想：将复杂方程变形为易研究的函数形式； 4. 由特殊到一般：从二次函数推广到一般函数。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $