4.5.1 函数的零点与方程的解 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点与方程的解，核心知识点包括零点概念、与方程根及函数图像的关系、零点存在定理及求零点的代数与几何方法。课堂导入通过“思考？”提出无法直接求解的方程，联系已学的一元一次、二次方程等知识，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，如通过二次函数案例分析零点存在条件，培养数学思维的推理意识，结合图像转化（如例3将零点转化为两函数交点）发展数学眼光的几何直观。例题与高考题变式结合，体现数学语言的模型观念，助力学生提升问题解决能力，教师可借助系统资源优化教学。

4.5　函数的应用 4.5.1　函数的零点与方程的解 思考？ 我们已经学过一元一次方程和一元二次方程的解法，另外，简单的指数方程，简单的对数方程我们也可以求解。 在实际中我们有时也会遇到像lnx+2x-6 = 0这样的方程，你能求解这样的方程吗？ 本节中我们就来研究这类方程求解问题。 为了解决问题，我们引入一个概念：零点的概念。 （1）函数零点的概念； （3）如何求函数的零点？ （2）零点与方程的根，零点与函数的图象有何关系？ 研究方案 一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的 实数x叫做函数y＝f(x)的零点(zero point). 函数零点的定义： 显然，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解. （1）函数零点的概念； 二次函数的零点如何判定? 其判别式＝b2－4ac. 对于二次函数y=ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c=0 ， 事实上： 判断一个函数是否有零点，有几个零点? 就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根? 就是判断函数y=f(x)的图象与x轴是否有交点，有 几个交点? 因此： 函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x) 的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三 种不同表达形式， 探究 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象， 函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2，1)和区间(2，4)内各有一个零点， 函数零点存在定理： 如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函 数y＝f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)， 使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根. 若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0， 则f(x)在(a，b)上必有零点. 思考： 反之，若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上是否一定没有零点？ 结论： 若f(a)·f(b)>0，那么f(x)在(a，b)上不一定没有零点。 1．函数的零点是一个点吗？ 答：函数的零点并不是指一个点，而是一个自变量 x的值，它使得函数值y=f(x)=0，即方程f(x)＝0的根． 2．在(a，b)上有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？ 答：不一定．这必须根据函数在(a，b)上的单调变 化，如y＝x2在(-1，1)内有零点，但 f(-1)·f(1)>0. 回答问题： （2）如何求函数的零点？ （ⅰ）如果方程f(x)=0可解， 解方程f(x)=0，可求函数的零点. 例1.求下列函数的零点： 解： （1）令 则 即 得 故函数 的零点为－1，1，2. （2）令 则 即 故函数 的零点为3. （2）如何求函数的零点？ （ⅰ）如果方程f(x)=0可解， 解方程f(x)=0，可求函数的零点. （ⅱ）如果方程f(x)=0不可解， 如何求函数f(x)= lnx+ 2x-6的零点？ 如：方程 lnx+ 2x-6 = 0， 例2.(2010年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　) A．(-2，-1)　B．(-1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解： 故函数f(x)在(-1，0)上有零点． B 【点拨】说明函数的单调性,也就说明了函数零点的唯一性． 解： 例3 求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数. 解： 综上所述，函数f(x)＝lnx＋2x－6在定义域内有且只有 一个零点. 例3 求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数. 画图 可知这两个函数图象只有1个交点. 解法二： 1．函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0， 可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点． 2．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x) 的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的 图象交点的横坐标．如：例3解法二. 小 结： 3．上面例题我们解决了函数f(x)在某区间上是否有 零点的问题，但如何求得零点的问题还是未能解决. 1.连续函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0只说明函数f(x)在(a，b)内有零点，但不一定只有唯一零点． x y O 失误防范 2.连续函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)>0，不能判定函数f(x)在(a，b)内没有零点． 课后作业 分层训练第257页~258页 4.5.1函数的零点与方程的解 $