河南驻马店市第一高级中学2025-2026学年高二下学期第12周数学自习周周练

**基本信息** 聚焦圆锥曲线综合应用的周测卷，4道解答题涵盖椭圆、双曲线、抛物线，通过方程求解、定点证明、范围探究等梯度设计，发展运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|4道|椭圆离心率与方程（题1）、双曲线焦点与面积（题2）、抛物线中点弦与斜率（题4）|分层设计，如题1从方程求解到定点证明；注重逻辑推理，如题3斜率乘积定值探究；贴合高考圆锥曲线命题趋势，强化几何直观与运算求解能力。|

高二数学第12周周测参考答案 1．(1) (2)设过点且斜率不为的直线的方程为，设， 由椭圆方程可知，联立， 整理得， 由根与系数的关系得， 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得， 同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得， 因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设， 代入到，得； 代入到，得， 将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立， 即， 故只能，即， 因此点在定直线上. （ii） 【分析】(1)根据椭圆的定义和离心率求方程； (2)（i）设直线的方程，并与椭圆方程联立整理得到根与系数的关系，同时表示出直线和的方程，利用两个方程得到交点的横坐标，得以证明点在定直线上； （ii）先表示出两个三角形的面积比的形式，结合求得的根与系数的关系进行化简整理得到 的关系，代入分析最终得到的取值范围. 【详解】（1）由椭圆的定义得，解得，又因为离心率， 所以，则， 因此椭圆标准方程为. （2）（i）略 （ii）由题可知， 且，， 所以. 由（i）可知，且， 设，则，代入到根与系数关系中， 即， 将上式化简整理得， 再结合消去， 得， 可得，解得， 所以，则， 则， 故的取值范围为. 2．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． （2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 3．(1) (2)是， (3)24 【分析】（1）由直线垂直于轴时知椭圆经过点，结合离心率列出关于的方程组，解得即得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入并根据韦达定理求得，再求出，将代入即得答案； （3）由（2）中韦达定理得到，分别求出直线、方程，联立得到，求得点，再由点在和上，求出直线和的方程，求得点的坐标，即可求得. 【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为，可得，即，① 因为过点的直线垂直于轴时截得弦长， 所以椭圆经过点，所以，② 由①②解得，所以椭圆的方程为. （2）解：由（1）可知，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，且， 直线的斜率分别为，可得， 所以， 因为在直线：上，所以， 所以 ， 所以. （3）解：由（2）知，可得， 所以， 直线的方程为，直线的方程为， 两条直线联立可得 则，解得， 所以设点的坐标为， 因为过原点平行于的直线斜率为，且点在上， 则，故该直线的方程为， 点在上，则， 故直线的方程为， 联立方程组，解得，所以点的坐标为， 所以. 4．(1) (2)（i）由（1），且， 则 所以. （ii）如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值（ii）结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）略 （ii）略 答案第4页，共9页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店市一高第12周数学自习周周练 注：请在答题卡上完成练习 1．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 2．已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 3．已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 4．已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点 试卷第2页，共2页 高二（2024级）数学周测（第12周）第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 答案第4页，共9页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $■ 驻马店市一高高二年级第12周周测 数学答题卡 姓名 考场号 座位号 准考证号■ 中 1、答题前，考生务必请先认真核对条形马上的个人信息是否有误，然后将姓名、考场号、座位号、准考证号填写到相应位置， 并将背面的座位号小方框涂黑。 意事 2、填涂选择题，请使用2B黑色铅笔在答题卡上的相应位置作答，修改时，请使用橡皮擦干净后再继续作答。回答非选择题时， 请使用0.5mm黑色签字笔作答，请在矩形边框限制的区域内答题，超出答题区域的答案无效。要求字体工整，笔记清晰。 项 3、请保持答题卡的干净、完整，否则会影响机器评阅，影响你的成绩。严禁在答题卡上做任何标记，严禁书写侮辱性、反动性 的话语，否则将会按照违纪处理。 缺考标记☐缺考考生，由监考员粘贴条形码，并且用2B铅笔填涂缺考标记 请在矩形边框区域内作答，超出范围的答案无效 第1题（25分) 请在矩形边框区域内作答，超出范围的答案无效 答题卡第1页（共2页） 请在矩形边框区域内作答，超出范围的答案无效 续1答题区域 第2题(25分) 请在矩形边框区域内作答，超出范围的答案无效 请在矩形边框区域内作答，超出范围的答案无效 第3题(25分) 请在矩形边框区域内作答，超出范围的答案无效 答题卡第2页（共2页） 请在矩形边框区域内作答，超出范围的答案无效 第4题(25分) 请在矩形边框区域内作答，超出范围的答案无效