重难点01 椭圆中4类题型训练-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

重难点01 椭圆专题训练 01思维导图 02题型精练 题型01 椭圆的定义应用 1.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（    ） A． B． C． D． 2.长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3.已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 5.已知动点M到点的距离与到直线的距离之比为. (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)过点的直线与轨迹C交于P，Q两点，点P关于x轴对称的点为R，求面积的取值范围. 题型02 焦点三角形 1.已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　） A． B． C．6 D．12 2.椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 3.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 5．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 6.（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（    ） A． B．的面积为2 C．椭圆的离心率为 D．的内切圆半径为 题型03 椭圆的离心率 1.已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 3.已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 4．中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线的斜率为，则椭圆C的离心率为 . 6.已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率是 ． 题型04 直线与椭圆的位置关系 1.已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 2.已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 3.已知T是上的动点（A点是圆心），定点，线段TB的中垂线交直线TA于点P. (1)求P点轨迹的方程； (2)已知直线的方程，过点B的直线（不与轴重合）与曲线相交于M，N两点，过点M作，垂足为 ①求证：直线ND过定点，并求出定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值. 4.已知曲线：是焦点在轴上的椭圆． (1)求实数的取值范围； (2)若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值． 5.已知椭圆的离心率为，，是椭圆E的焦点，，． (1)若是直角三角形，求椭圆E的长轴长； (2)若线段上存在点P满足，求的取值范围． 03强化训练 1.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D． 3.年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（    ）个.    ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A．1 B．2 C．3 D．4 4.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 5.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 6.（多选）已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3 C．不可能是直角 D．当时，的面积为 7．（多选）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A．的最大值为5 B．的内切圆面积最大值为π C．为定值1 D．若Q为中点，则l的方程为 8.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为 ． 9.如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 10.已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 11.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 12.已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 椭圆专题训练 01思维导图 02题型精练 题型01 椭圆的定义应用 1.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以可以转化为到的距离， 同理，可以转化为到的距离， 因为， 所以到两定点和的距离之和为， 所以在以点和为焦点的椭圆上， 设椭圆的标准方程为：， 则，， 即， 又， 所以， 所以椭圆的方程为：， 由， 得， 解得，. 故选：D. 2.长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 3.已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆得， 故， 由题意，动点在射线的延长线上，且， 故， 故动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 其方程为. 故选：D 4.已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； （2）设，， ，且为线段的中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； （3）①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ． 又点到直线的距离． ， ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时，当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 5.已知动点M到点的距离与到直线的距离之比为. (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)过点的直线与轨迹C交于P，Q两点，点P关于x轴对称的点为R，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由题意得：， 两边平方得：，化简得， 即动点M的轨迹C的方程为； （2）由题意直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，， 联立， ，， 则， 化简得：，且， 若Q在直线的右侧，则， 若Q在直线的左侧， 则， ∴， ∵， ∴ ， ∵， 有双勾函数的性质可得函数在上单调递减， ∴， ∴， 所以面积的取值范围. 题型02 焦点三角形 1.已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则， 又上顶点为P，且，所以，所以，故长轴长为12. 故选：D 2.椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】D 【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为. 故选：D 3.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 4．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 5．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 6.（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（    ） A． B．的面积为2 C．椭圆的离心率为 D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【详解】依题意，解得，则，所以椭圆方程为， 所以，，即，，所以离心率，故A正确，C错误； 所以，故B正确； 又，设的内切圆半径为， 则，即，解得，故D正确. 故选：ABD 题型03 椭圆的离心率 1.已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆的半焦距为，则由题设得， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：C． 2.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点， 伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点， 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，    由，，得， ， 在中，，则， ， 由正弦定理得，，解得， 则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A. 3.已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则，则，故， 因为线段的中点为 所以， 故， 又，则，即， 因为，即， 故椭圆的离心率， 故椭圆离心率范围为. 故选：D. 4．中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以椭圆的对称中心作为坐标原点建立平面直角坐标系，则可得， 所以， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：A． 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线的斜率为，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意得，中令得，， 由于直线的斜率为，故，则①， 又②，联立①②得，，所以， 解得或（舍）. 故答案为：. 6.已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【详解】如图所示，椭圆上下定点， 所以以线段为直径的圆方程为， 又因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离为， 故，即， 所以离心率. 故答案为：. 题型04 直线与椭圆的位置关系 1.已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值. 故选：C 2.已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）直线与坐标轴的两个交点为，而，则，， 所以椭圆的方程为. （2）设过点的直线为，由题意直线斜率存在， 设方程为，即， 由，消去y得， 整理得， 由 ，得， 设，则， ， 将代入得，直线的方程为， 令得， 则 因此点是线段的中点，所以. 3.已知T是上的动点（A点是圆心），定点，线段TB的中垂线交直线TA于点P. (1)求P点轨迹的方程； (2)已知直线的方程，过点B的直线（不与轴重合）与曲线相交于M，N两点，过点M作，垂足为 ①求证：直线ND过定点，并求出定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，；② 【详解】（1）的圆心，半径， 由中垂线的性质得， 所以， 所以动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为， 则，，所以， 所以点轨迹的方程为； （2）①设直线的方程为， 由 得（1） ， 设，显然， 且 ∴直线的方程为 令，得（2）， 将代入（2）， 则 故直线过定点即定点 ②在（1）中， ， 又直线过定点 令， 则， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 故当，即时， 4.已知曲线：是焦点在轴上的椭圆． (1)求实数的取值范围； (2)若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为曲线是焦点在轴上的椭圆， 即，所以，解得， 则实数的取值范围为； （2）易知直线的斜率存在且不为， 不妨设直线的方程为， 联立，解得，即， 当时，椭圆方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则， 即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时， 所以直线的方程为， 当时，解得，即， 所以， 则， 因为， 所以，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值，最小值为． 故的最小值为． 5.已知椭圆的离心率为，，是椭圆E的焦点，，． (1)若是直角三角形，求椭圆E的长轴长； (2)若线段上存在点P满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则 因为是直角三角形， 根据椭圆的对称性可得， 所以，即，所以， 又离心率，所以， 所以椭圆E的长轴长为； （2）直线的方程为， 由离心率，得，所以，故， 则椭圆的方程为， 联立，消得， 因为线段上存在点P满足， 所以椭圆与线段有交点， 所以方程在上有解， 即， 因为，所以， 解得（舍去）， 所以的取值范围为． 03强化训练 1.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 2.已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，椭圆的离心率，可得，即， 又由椭圆的上顶点的坐标为，可得， 因为，可得，所以椭圆的方程为， 又因为点为上横坐标为1的点，不妨设且， 将点代入椭圆的方程，可得，可得，即， 因为点为椭圆的右顶点，可得，所以， 则直线的方程为，令，可得，即， 所以. 故选：D. 3.年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（    ）个.    ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则， 故①正确； 因为，由椭圆性质可知， 所以，故②正确； 设，则 ，取， 则，故③错误； 由椭圆定义知，， 所以的周长，故④正确，故答案为①②④. 故选：C.    4.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 5.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】AC 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确； 对于B，当时，，离心率，B错误； 对于C，当时，，则的周长为，C正确； 对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，， 设，则的面积，D错误. 故选：AC.    6.（多选）已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3 C．不可能是直角 D．当时，的面积为 【答案】AD 【详解】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上， 由. 所以椭圆的离心率，故A正确； 根据椭圆的定义，的周长为，故B错误； 如图： 取为椭圆的上顶点，则, 所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误； 如图： 当时，设，， 则， 所以，故D正确. 故选：AD 7．（多选）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A．的最大值为5 B．的内切圆面积最大值为π C．为定值1 D．若Q为中点，则l的方程为 【答案】ACD 【详解】根据题意可得，，，，，， 对A选项，∵， 当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立， ∴的最大值为5，∴A选项正确； 对B选项，设的内切圆的半径为r，则根据的等面积算法可得： ，∴， 当且仅当P为短轴顶点时，等号成立， ∴的内切圆面积最大值为，∴B选项错误； 对C选项，根据的内切圆的性质易得：， ∴，∴，∴C选项正确； 对D选项，若为中点，设，， 则，两式相减可得：， ∴，∴，∴， ∴l的方程为，即，∴D选项正确. 故选：ACD. 8.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】设，，，则直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的方程为， 令，得，即， 因为，所以， 即， 解得． 故答案为： 9.如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，，则， 又，则，， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以，则， 所以，则的最小值为. 故答案为： 10.已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. （2）因为， 所以，所以， 所以. 11.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 【答案】(1)，为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）依题意可得， 化简得， ∴为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）曲线的上下顶点为，曲线上点到中心的距离的取值范围为等； （3）设直线的斜率为，则其方程为． 由，解得． 记，则，，． 于是直线的斜率为，方程为． 由得①， 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为，∴，即是直角三角形． 12.已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【解】（1）椭圆过点，得①， ，，即②， 由①②联立解得，则椭圆方程为 （2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形， 故直线的斜率存在，则设直线为：， 设， 联立，得， 则，即或， ， 则， 点到直线的距离为， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即，即时等号成立， 故面积的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$