河南驻马店市部分校2025～2026学年第二学期期末测试高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期末测试 高二数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．通项公式为（）的等差数列的公差为 A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．在点处的切线方程为 A． B． C． D． 3．若，分别为直线，的一个方向向量，则与的位置关系是 A． B．与相交，但不垂直 C． D．不能确定 4．若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知，，，则 A． B． C． D． 6．直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则 A． B． C． D． 8．已知，计算的值为 A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则 A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 10．已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则 A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，为坐标原点，则 A．若，则 B．与圆有四个交点 C．的重心的轨迹方程为（） D．的内心的轨迹方程为（） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现有7个“省级三好学生”名额计划分给四个学校，每个学校至少分一个名额，则不同的分配方法有____________种（用数字作答）． 13．数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 14．关于的不等式的解集中仅有3个整数，则实数的取值范围是____________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）数列满足（）． （1）求的通项公式； （2）求的前项之积． 16．（15分）已知函数（）． （1）当时，求的单调区间； （2）求函数的极值点． 17．（15分）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，（）． （1）证明：平面平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值； （3）取中点为，当四棱锥的外接球体积最小时，且直线与平面所成角的正弦为，求的长． 18．（17分）平面直角坐标系中，动点到直线的距离等于它到点的距离，记点的运动轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点，分别作，点处曲线的切线，，与交于点． （1）求曲线的方程； （2）当时，求直线的方程； （3）求的最小值． 19．（17分）已知，两个盒子里放有除颜色外大小相同的小球，其中盒子放有2个黑球和1个白球，盒子放1个黑球和2个白球．现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作，记盒子中黑球的个数为，恰有3个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． （1）求，，，； （2）求的数学期望（用含的式子表示）； （3）记，求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $20252026学年第二学期期末测试 高二数学参考答案 一、选择 题号 1 2 3 4 6 8 答案 0 B 二、选择 题 10 11 号 答 AC BC ABD 案 三、填空 2e2-13e3-1 12.20 13.6n-3 14.L ln3’2ln2 四、解答题 15.1)由条件4+4+a,+…a,=31-30 当n≥2时，4+42+4，+a1=3”-3② 由①-②则n≥2时，a,=2×3” 又因当n=1时4=6，符合0，=2×3” 因此可得a,}的通项公式0，=2×3”6分 (2)因7，=444…an=2×3×2×32×2×33×…×2×3 =2”×3+2+3++m n(n+1) =2"×32 13分 16)当a=l时，f例=e--x+3 则f(-(x+)e-x-l1=(x+e-.1分 所以f()=(x+1e-小>0，解得x>0或x<-1, f(x)=(x+1(e-)<0,解得-1<x<0; 因此/(x)的单调递增区间为：（-0，-)(0，+o）, 单调递减区间为：（仁1,0)。6分 2)由f'()=(x+l)e-ax-a=(x+l(e-a） 当a≤0时，由f()=0.则x=-1,且x∈(0，-)时∫()<0，()递减：x∈(l,+∞)时， ∫(x)>0,(~)递增，此时x=-1为()的极小值点，无极大值点。8分 当a>0时，由f'(冈=0得x=-1或x=lha, n0<a<1 若la<-l,即0<ae时，f'()>0得x<lna或x>-l,f()<0得lna<x<-1,此时x=lna 为了()的极大值点，x=-1为(~)的极小值点：10分 1 若na=-1,即a=e时，'()>0恒成立，f(单调递增，此时f(x)无极值点： a= a> 若lna>-1,即a>e时，f'()>0得x<-1或x>lna,f(<0得1<x<lna,此时x=-1为 f()的极大值点，x=lna为f)的极小值点：4分 综上：当a≤0时，f()的极小值点为x=-1,无极大值点。 1 0<a< 当 e时， f()的极大值点为x=na,极小值点为x=-1, 9、1 当a=e时，f()无极值点： 1 a> 当0>e时，()的极大值点为x=-1,极小值点为x=lna.15分 17.(1)连接AC交BD于点O,链接OP,如图 根据题意∠PBA=∠PBC,AB=BC,则△PBA≌△PBC, 得PA=PC,从而PO⊥AC, 又因AC⊥BD且BD∩PO=O 根据线面垂直得判定定理可得AC⊥面PBD, 也即平面PBD⊥平面ABCD得证.4分 由条件P网-=4，∠P81=员，8-2,4C=22从的阳=25,0P=而，且 △PAB是直角三角形，AB⊥AP. Os/PBO=PB+BO-OP:PB'+BD:-DP2 分别在△PBO,△PBD中，根据余弦定理可得 2BPx BO 2BPXBD 代入数据可得PD=2V2,也即PB2=PD2+BD2,PD⊥BD,PD⊥面ABCD 所以PD⊥CD,PD⊥AD, 又因AB∥面PCD,CDI∥面PAB,因此平面PAB与平面PCD的交线HABIICD, 且AB⊥AP,PD⊥CD,则AP⊥I,PD⊥I,也即∠APD即为平面PAB与平面PCD夹角B,因此 cos0-PD_212_6 PA2√33即为所求.9分 (3)当四棱锥P-ABCD的外接球体积最小时，也即其外接球的半径R最小.由于正方形ABCD的外接 圆半径r=V2,因此四棱锥P-ABCD的外接球的半径R之r=V2,从而外接球体积最小时R=V2, 此情况下，BD为四棱锥的外接球的一条直径，点P在平面PBD内以BD为直径的圆周上， OP=BD=2 在底面ABCD内作MN⊥BD于N点，则MN⊥面PBD,得∠MPN为MP与平面PBD所成角， sin∠MPw=V6Mw 6 PM, MN--ON 5 由 2 ,有PM=5.W=y,满足P=0ON+0r, 即OP⊥BD,从而PB=PD=2即为所求.15分 18、1)设P(),曲题意则+(0-=少+， 整理得x=4y,即W:X=4y.3分 （2)当SaeB=3SaOM时，BM=3M4,t也即BM=3MA, 不妨设A(,y),B(3),由M(1),则8M=(-x,1-⅓)，M=(G-1片-) 由BM=3MA,得1-=3(-1），即名=4-3x, 根据题意直线的斜率存在，不妨设1：y=k(x-)+1。 「x2=4y 联立y=k(x-+1,整理得2-4+4k-4=0,由韦达定理可得 x1+x2=4k=4-2x =4-4=x(4-3x),将￥=2-2k代4-4=x(4-3x)中整理得 k(k-)=0,解得k=0或k=1,9分 即直线l的方程为y=1或y=x.10分 《1)段0网.由-克.用4小2的切线方群为，g-2-20.甲 m-2n-2y=0,同理2：xx-2y-2y2=0,x,m-2n-2y=0 也即4(，片），B(3,)均在直线mx-2n-2y=0,也即直线1：mr-2n-2y=0,又因1过点 M(,1),则m-2n-2=0,也即点2在定直线x-2y-2=0上.14分 ,也即曲线W上点（”4)处的切线与直线x-2y-2=0平行，得 1-2× 1-2 4 35 5 10 即为所求.17分 19.(1)由条件则结合全概率公式得 X (2)方法一：重复n+1次这样的操作后，根据全概率公式可得， 111 P1=9.×3×3g9n =*a后号后到 44 =D,+g4+ =号+号号40-a双-小 =1-5.5 )9.gB.7分 21 从而可 3p+2q1+1=卫.+5+3+1 =号6n+24,+5)+1 3-24+含引n+2*%》 也即 8分 31 3]1 又3A+24+斤-26，因此数 3n,+24.+”-2引是以6为首项，3为公比得等比数列， ,++6-.取+2a*+ 解得 因此 现2a*=得+号u分 方法二：由(1)可知 E(X)=3p+2q,+=3,5分 由题意 E(x.)-E(X.)-E(x.)3-E(X.) 33,8分 整理得 (x)=3E(X)+1 mx)号)引.。x)26 1 也即( E(X)一2是以6为首项，以3为公比的等比数列，10分 从而可得 -女jsn (3)由(2)知 3m合+}-登”-a+nx3列 则 13分 记b,=nx3”,则b,}的前n项和S为： Sn=1×3+2×32+3×33++n×3”0 即3S。=1×32+2×32+3×3++n×3② 由①-②得-25。=3+32+32+…+3”-n-31 31-3” 1-3 -n-3m*1=3-3+1 -2n31 -3号-ex小+习 因此“ -e-小+ _(2n-1)x3m*2+2n2+2n+9 8 .17分