第一章 专题强化3 碰撞模型及拓展应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（人教版）

本高中物理讲义聚焦碰撞模型及拓展应用核心知识点，系统梳理弹簧—小球模型（基于动量守恒和能量守恒分析弹簧压缩、共速、恢复原长等过程）和滑块—斜(曲)面模型（水平方向动量守恒、机械能守恒分析滑块上升最高点及分离等过程），搭建从基础规律到复杂问题的学习支架。 该资料以科学思维中的模型建构和科学推理为特色，通过弹簧—小球模型的v-t图像分析动能与势能转化，滑块—斜面模型结合动量与机械能守恒的例题及拓展问题，培养学生建模能力与推理能力。课中辅助教师突破重难点，课后专题强化练助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

专题强化3　碰撞模型及拓展应用 [学习目标]　1.进一步掌握用动量守恒定律和能量守恒定律解决碰撞问题的技巧(重点)。2.掌握两类碰撞问题的特点，提高建模能力(重难点)。 一、弹簧—小球(物块)模型 如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球B，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球A以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问： (1)小球A接触弹簧后最初一段时间，两小球各做什么运动，弹簧长度如何变化？ (2)弹簧的弹性势能什么时候最大？最大为多少？ (3)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？ (4)小球B的速度什么情况下最大？最大为多少？ 答案　(1)小球A接触弹簧后最初一段时间内，在弹力作用下，A做减速运动，B做加速运动，弹簧变短，压缩量逐渐变大。 (2)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。 由动量守恒定律得m1v0＝(m1＋m2)v 由能量守恒定律得 m1(m1＋m2)v2＋Epmax 解得Epmax＝ (3)如图所示，两球共速后，A继续减速，B继续加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。 (4)当弹簧恢复原长时，小球B的速度最大， 由动量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2 由能量守恒定律得m1m1m2 解得v2＝。 拓展　如图甲所示光滑水平面上，若两球与水平轻质弹簧相连且mA＝mB，开始时A球以速度v0向右运动，B球静止，弹簧处于原长，试在图乙中画出从开始相互作用(t＝0)到A球再次恢复到速度v0过程中两球的v－t图像，并结合图像中特殊位置，说一说各过程中系统动能和势能的转化情况。 答案　v－t图像如图所示。0~t1过程中，系统动能减小，弹簧被压缩，弹性势能增大，t1时刻两个小球共速时总动能最小，弹性势能最大；t1~t2过程中，系统的动能增大，弹性势能减小，t2时刻弹簧恢复原长，弹性势能为零，系统动能最大，其中A球速度为零，B球速度为v0；t2~t3过程中，系统动能减小，弹簧伸长，弹性势能增大，t3时刻两球共速，弹性势能最大且与t1时刻大小相等；t3~t4过程中，系统动能增大，弹性势能减小，t4时刻弹簧恢复原长，B球静止，A球的速度为v0。 1.模型概述 对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。若接触面光滑，弹簧和物体组成的系统机械能守恒。 2.模型特点 (1)弹簧处于最长(最短)状态：此时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。 (2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。 例1　(多选)(2024·南充市高二月考)如图甲所示，静止在光滑水平面上的物块A、B通过水平轻弹簧连接在一起，初始时轻弹簧处于原长。现使A获得一水平向右的瞬时速度，并从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知物块A的质量为mA＝1 kg，下列说法正确的是(　　) A.弹簧、A和B组成的系统动量和机械能都守恒 B.t1时刻，弹簧处于原长状态 C.物块B的质量mB＝3 kg D.t3时刻，弹簧的弹性势能为3 J 答案　AD 解析　弹簧、A和B组成的系统在该过程中所受合外力为零，所以系统动量守恒，弹簧、A和B组成的系统在该过程中只有弹力做功，所以系统机械能守恒，故A正确；由题图乙可知t1时刻之后一小段时间，A速度减小，B速度增大，则t1时刻弹簧处于压缩状态，故B错误；根据动量守恒定律，由题图乙可知t＝0时刻和t＝ t1时刻系统总动量相等，已知v1＝3 m/s、v2＝1 m/s，有mAv1＝(mA＋mB)v2，代入数据解得mB＝2 kg，故C错误；由题图乙知t3时刻弹簧处于伸长状态，两物块速度相等v3＝1 m/s，由开始到t3时刻由机械能守恒有mAmAmB＋Ep，代入数据解得弹簧的弹性势能为Ep＝3 J，故D正确。 拓展　(1)什么时刻弹簧的弹性势能最大？最大为多大？ (2)什么时刻物块B的动能最大？最大动能为多大？此时弹簧的弹性势能多大？ 答案　(1)t1、t3时刻弹簧的弹性势能最大，t1时刻弹簧最短，t3时刻弹簧最长，最大弹性势能为3 J。 (2)t2时刻弹簧恢复原长，此时弹簧的弹性势能为零，物块B的速度最大，动能最大，由题图乙可知B的最大动能EkBm＝mBv2'2＝×2×22 J＝4 J。 二、滑块—斜(曲)面模型 如图所示，小球A以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道B。已知小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，试分析： (1)在相互作用的过程中，小球A和轨道B组成的系统机械能是否守恒？总动量是否守恒？ (2)小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？ (3)什么时候轨道B的速度达到最大？ (4)小球离开轨道瞬间系统总动量、系统机械能与初始状态有怎样的关系？试列式说明。 答案　(1)整个过程中小球和轨道组成的系统的机械能守恒；系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。 (2)当小球上升到最高点时，小球和轨道的速度相同。 (3)小球从左侧离开轨道时，轨道的速度最大。 (4)设小球离开轨道时的速度为v1，轨道的速度为v2，小球质量为m1，轨道质量为m2，则由动量守恒定律有：m1v0＝m1v1＋m2v2 根据机械能守恒定律有： m1m1m2 1.模型概述 对滑块和光滑斜(曲)面组成的系统，若水平面光滑且滑块始终未脱离斜(曲)面，在相互作用的过程中，系统所受合外力不为零，但系统在水平方向所受合外力为零，则该系统在水平方向上满足动量守恒定律。 2.模型特点——“两个位置” (1)当滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块在竖直方向的速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，有m(M＋m)＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。 (2)当滑块返回最低点时，滑块与斜(曲)面分离。水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，有mmM(相当于完成了弹性碰撞)。 例2　(多选)如图所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量M＝3 kg，小车静止在光滑水平地面上，圆弧最下端与水平线相切。有一质量m＝1 kg的小球以水平初速度v0＝4 m/s从圆弧最下端滑上小车，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒 B.在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒 C.小球沿圆弧轨道上升到最大高度时的速度大小为1 m/s D.小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.6 m 答案　ACD 解析　在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒，选项A正确；在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，选项B错误；小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，设小球沿圆弧轨道上升的最大高度为h，两者共同速度大小为v，以水平向左的方向为正方向，有mv0＝(M＋m)v，解得v＝ m/s＝1 m/s，小球与小车组成的系统机械能守恒m(M＋m)v2＋mgh，解得h＝0.6 m，选项C、D正确。 拓展1　小车什么时候速度最大？最大速度是多少？ 答案　当小球与小车分离时，小车获得的速度最大。取水平向左的方向为正方向，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2， 小球与小车组成的系统机械能守恒，有mmM，联立解得v2＝2 m/s。 拓展2　小球离开小车后做什么运动？类比弹性碰撞，若m＝M或m>M时，小球离开小车后各做什么运动？ 答案　由拓展1可得，小球离开小车时的速度v1＝－2 m/s，方向水平向右，小球将做平抛运动。若m＝M，小球做自由落体运动，若m>M，小球向左做平抛运动。 拓展3　如图所示，在例2的条件下，若小球从离圆弧下端0.6 m高处沿圆弧轨道由静止滚下，当小球与小车分离时二者的速度大小各是多少？ 答案　小球沿圆弧轨道下滑过程中，小球和小车组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。 取水平向右为正方向，则有 0＝mv1'－Mv2' ① mgH＝mv1'2＋Mv2'2 ② 联立①②解得v1'＝3 m/s，v2'＝1 m/s 即二者分离时，小球的速度是3 m/s，水平向右，小车的速度是1 m/s，水平向左。 专题强化练 [分值：60分] 　[1~4题，每题5分] 1.(2025·上海市闵行区高二期中)光滑水平地面上，A、B两物体质量都为m，A以速度v水平向右运动，B原来静止，左端有一水平轻弹簧，弹簧始终处于弹性限度内，如图所示，当A撞上弹簧，在之后的运动过程中(　　) A.A、B组成的系统机械能守恒 B.A的最小动量不为零 C.弹簧被压缩最短时，B的动量达到最大值 D.弹簧被压缩最短时，A、B速度相等 答案　D 解析　由题意，A、B、弹簧三者组成的系统机械能守恒，A、B组成的系统机械能不守恒，故A错误；在A、B相互作用过程中，开始阶段，A压缩弹簧，受到向左的力做减速运动，B做加速运动，vA>vB，弹簧逐渐缩短，当vA＝vB时弹簧处于压缩状态，由于弹簧弹力作用，A继续减速，B继续加速，直至弹簧恢复原长。当vA＝vB时弹簧被压缩至最短，故D正确；从A、B开始相互作用到弹簧恢复到原长，根据动量守恒和能量守恒有mv＝mv1＋mv2，且mv2＝mm，解得v1＝0，v2＝v，此时B的动量达到最大值，A的最小动量为零，故B、C错误。 2.(2025·宜宾市高二联考)如图所示，一小车静止于光滑水平面，其上固定一光滑弯曲轨道，轨道最低端水平，整个小车(含轨道)的质量为m。现有质量也为m的小球，以水平速度v0从左端滑上小车，沿弯曲轨道上升到最高点，最终从轨道左端滑离小车。重力加速度为g，关于这个过程，下列说法正确的是(　　) A.小球与小车组成的系统动量守恒 B.小球沿轨道上升到最高点时，小车的速度为零 C.小球沿轨道上升的最大高度为 D.小球滑离小车后，做自由落体运动 答案　D 解析　小球和小车构成的系统所受外力的合力不为0，系统的动量不守恒，但系统在水平方向上所受外力的合力为0，即系统在水平方向上的动量守恒，故A错误；小球沿轨道上升到最高点时，小球与小车的速度相同，均不为零，故B错误；小球沿轨道上升到最高点时，根据动量守恒有mv0＝2mv，根据机械能守恒有mgh＝m×2mv2，解得h＝，故C错误；小球从轨道左端滑离小车时，根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2，根据机械能守恒定律有mmm，解得v1＝0，即小球滑离小车后，做自由落体运动，故D正确。 3.(2024·杭州市高二期中)如图所示，在足够长的光滑水平面上有一静止的质量为M的斜面，斜面表面光滑、高度为h、倾角为θ，一质量为m(m<M)的小物块以一定的初速度沿水平面向右运动，不计冲上斜面过程中的机械能损失，如果斜面固定，则小物块恰能冲到斜面的顶端，如果斜面不固定，则小物块冲上斜面后能达到的最大高度为(　　) A.h B. C. D. 答案　D 解析　斜面固定时，根据动能定理可得：－mgh＝0－m，解得：v0＝；斜面不固定时，由水平方向动量守恒得：mv0＝(M＋m)v，由能量守恒得：m(M＋m)v2＋mgh1，解得h1＝h，故选D。 4.(多选)(2024·亳州市高二期末)如图甲所示，A、B两物块与一水平轻弹簧的两端相连接，静止在光滑的水平面上。A物块的质量m＝1 kg。现使A获得水平向右的瞬时速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内且处于水平状态，则从图像信息可得(　　) A.B物块的质量为3 kg B.弹簧的弹性势能最大值为18 J C.t2时刻弹簧的弹性势能为9 J D.t3时刻弹簧处于原长 答案　CD 解析　从开始运动到两者共速由动量守恒定律可得mv0＝(m＋mB)v，解得B物块的质量为mB＝2 kg，选项A错误；当两者共速时弹簧弹性势能最大，则弹簧的弹性势能最大值为Epm＝m(m＋mB)v2＝12 J，选项B错误；t2时刻A的速度为零，则根据mv0＝mBv1，解得B的速度v1＝3 m/s，则弹簧的弹性势能为Ep＝mmB＝9 J，选项C正确；从开始到t3时刻，在t3时刻，弹簧弹性势能为Ep1＝mmmB＝0，则t3时刻，弹簧处于原长，选项D正确。 5.(10分)(2024·莆田市高二期末)如图甲所示，一质量为0.2 kg的物块B与水平轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上，物块A向右运动。已知t＝0时A刚与弹簧接触，t1时弹簧压缩至最短，此过程A、B的v－t图像如图乙所示，弹簧始终处于弹性限度内，求： (1)(2分)物块A的质量； (2)(3分)此过程中，弹簧弹性势能的最大值； (3)(5分)当弹簧恢复至原长的瞬间，物块A的速度大小。 答案　(1)1 kg　(2)0.12 J　(3)0.8 m/s 解析　(1)物块A、B及弹簧组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可知 mAv1＝(mA＋mB)v共 其中v1＝1.2 m/s，v共＝1.0 m/s， 解得mA＝1 kg (2)当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，则mA＝Ep＋(mA＋mB) 代入数据解得Ep＝0.12 J (3)从A刚与弹簧接触到弹簧恢复至原长的过程，由动量守恒有mAv1＝mAv1'＋mBv2' mAmAv1'2＋mBv2'2 代入数据解得v1'＝0.8 m/s。 [6~8题，每题6分] 6.(多选)如图所示，足够长的光滑水平面上静止一质量为3m的弧槽，弧槽和水平面平滑连接，质量为m的滑块(可视为质点)，从距离水平面高度为h的A点由静止沿弧槽滑下，之后被轻质弹簧反向弹回，不计一切阻力及能量损失，重力加速度大小为g。以下说法正确的是(　　) A.滑块沿弧槽下滑过程中，二者组成的系统动量守恒，机械能也守恒 B.弹簧获得最大弹性势能为mgh C.滑块沿弧槽上升的最大高度等于 D.滑块再一次离开弧槽后，不可能和弹簧发生作用 答案　BCD 解析　滑块沿弧槽下滑过程中，竖直方向合力不为零，二者组成的系统动量不守恒，只有重力做功，机械能守恒，故A错误；系统水平方向动量守恒mv1＝3mv2，机械能守恒mgh＝m×3m，解得v1＝，v2＝，弹簧获得最大弹性势能为Ep＝mmgh，故B正确；滑块被弹簧反弹后，弧槽和滑块再次共速时，上升的高度最大，mv1＋3mv2＝(m＋3m)v，m×3m(m＋3m)v2＝mgh'，解得滑块沿弧槽上升的最大高度等于，故C正确；滑块再一次离开弧槽时，有mv1＋3mv2＝mv1'＋3mv2'，m×3mmv1'2＋×3mv2'2，解得v1'＝0，v2'＝，所以滑块再一次离开弧槽后，不可能和弹簧发生作用，故D正确。 7.(多选)如图所示，水平面上有一质量为2M、半径为R(R足够大)的圆弧曲面体C，质量为M的小球B置于其底端，另一小球A质量为，小球A以v0＝6 m/s的速度水平向右运动，并与B发生弹性碰撞，不计一切摩擦，小球均可视为质点，则(　　) A.B的最大速率为4 m/s B.B运动到最高点时的速率为 m/s C.B能与A再次发生碰撞 D.B不能与A再次发生碰撞 答案　AD 解析　A与B发生弹性碰撞，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得，v0＝vA＋MvB，··M，解得vA＝－2 m/s，vB＝4 m/s，故B的最大速率为4 m/s，故A正确；B冲上C并运动到最高点时二者共速，设为v，B、C组成的系统在水平方向上动量守恒，则MvB＝(M＋2M)v，解得v＝ m/s，故B错误；从B冲上C然后又滑下的过程，设B、C分离时速度分别为vB'、vC'，由水平方向动量守恒有MvB＝MvB'＋2MvC'，由机械能守恒定律有MMvB'2＋×2MvC'2，联立解得vB'＝－ m/s，由于|vB'|<|vA|，所以二者不会再次发生碰撞，故C错误，D正确。 8.(2025·德州市高二期中)如图甲所示，一质量为m的物块A与水平轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上。物块B以某一速度向A运动，t＝0时刻物块B与弹簧接触，t＝2t0时刻与弹簧分离。物块A、B运动的v－t图像如图乙所示。已知从t＝0到t＝t0时间内，物块A运动的距离为0.32v0t0，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是(　　) A.物块B的质量为0.25m B.分离后物块A的速度大小为2v0 C.碰撞过程中弹簧的最大弹性势能为0.5m D.弹簧压缩量的最大值为0.6v0t0 答案　D 解析　由题图乙可知在t0时刻两物块共速，则由动量守恒定律有mBv0＝(m＋mB)0.8v0，解得物块B的质量为mB＝4m，选项A错误；分离时弹簧恰恢复到原长，则由动量守恒和能量守恒有mBv0＝mv1＋mBv2，mBmmB，解得分离后物块A、B的速度大小分别为v1＝1.6v0，v2＝0.6v0，选项B错误；当两物块共速时弹簧弹性势能最大，则碰撞过程中弹簧的最大弹性势能为Epm＝mB(m＋mB)(0.8v0)2＝0.4m，选项C错误；在0~t0时间内弹簧被压缩，A的位移xA＝0.32v0t0(即下方阴影面积)，因A、B所受弹力在任一时刻等大，任一时刻A、B加速度大小之比为4∶1，则B比匀速运动时减小的位移为ΔxB＝xA＝0.08v0t0(即上方阴影面积)，即B的位移xB＝v0t0－0.08v0t0＝0.92v0t0，可得弹簧压缩量的最大值为Δl＝xB－xA＝0.6v0t0，选项D正确。 9.(12分)如图所示，光滑的圆弧槽B静止在光滑水平面上，圆弧槽的最低点与光滑水平面相切，其半径为R。在水平面上有一质量为m的小球C处于静止状态，其左边连接着水平轻质弹簧。现将一质量也为m的小球A从圆弧槽最高点由静止释放，小球A和小球C均可视为质点，圆弧槽质量M＝2m，重力加速度为g，不计一切摩擦和空气阻力，求： (1)(4分)圆弧槽B的最终速度大小； (2)(4分)弹簧的最大弹性势能； (3)(4分)小球C的最终速度大小。 答案　(1)　(2)mgR　(3) 解析　(1)小球A沿着圆弧槽下滑过程中，以水平向右为正方向，水平方向动量守恒有mvA＋MvB＝0 根据机械能守恒有mgR＝mM 解得vA＝，vB＝－ (2)在小球A压缩弹簧的过程中，当两球速度相等时，弹簧具有的弹性势能最大， 根据动量守恒定律有mvA＝2mv 根据机械能守恒定律有m×2mv2＋Ep 解得Ep＝mgR (3)当弹簧再次恢复原长时两球分离，根据动量守恒定律有mvA＝mvA'＋mvC 根据机械能守恒定律有mmvA'2＋m 解得vC＝，vA'＝0。 学科网（北京）股份有限公司 $