16.3 乘法公式新课预习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以乘法公式为核心，通过公式辨析、变形应用、几何验证及实际问题，系统构建“概念-推理-应用”逻辑链，强化运算能力与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式辨析|单选1-4|平方差公式结构特征（同项反项）、完全平方公式展开规则|从公式形式辨析到结构理解，夯实概念基础| |公式变形|单选5、填空11|完全平方公式变形（(a±b)²与ab关系）|由公式正向应用到逆向变形，培养推理能力| |几何验证|单选6、8，解答16-17|图形面积法推导公式（大正方形减小正方形得平方差）|数形结合，通过几何直观深化公式本质理解| |实际应用|单选9、解答18|整式混合运算解决面积问题|将公式应用于实际场景，发展应用意识|

16.3 乘法公式 新课预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 4．运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 6．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 7．若是完全平方式，则m的值为（   ） A．12 B． C．9 D． 8．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 9．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 二、填空题 10．定义，例如．则_____________． 11．已知，，则______． 12．是一个完全平方式，则常数m的值为______． 13．如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 14．若，则代数式的值是___． 三、解答题 15．计算 (1)； (2)： (3)先化简，再求值：，其中， 16．如图，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1的阴影部分面积为，图2的阴影部分面积为，请直接用含a、b的式子表示______；______； (2)直接应用，利用这个公式计算：． 17．在一次数学活动中，小红同学将一个长为，宽为的长方形，如图①所示，沿图中虚线用剪刀均分成四个全等的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．小红同学通过观察图①②，用两种不同的方法表示出了图②中阴影部分的面积，并得出，，这三个代数式之间的一个等量关系． (1)请写出代数式的一个等量关系，并说明理由； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值． 18．如图，某小区有一块长为，宽为的长方形地，角上有四个边长为的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）； (2)物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化，每小时收费元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含，的代数式表示）？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D D D B D C A C 1．【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意． B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 2．【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、添括号 【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 3．【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握完全平方公式是解题的关键．通过对每个选项进行变形，比较与的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、，相等，不符合题意； B、，相等，不符合题意； C、，相等，不符合题意； D、，与不一定相等，符合题意； 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键； 使用完全平方公式 进行计算每个选项，判断哪个等于即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】该题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开已知等式，通过相减消去平方项，直接求解的值． 【详解】解：∵，且， ∴ ， 即， 化简得， ∴． 故选：B． 6．【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：A 中不存在等量关系，故A不符合题意； 由B可得，故B不符合题意； 由C可得，故C不符合题意； 由D可得，故D符合题意； 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方公式的结构特征求解，将给定二次三项式与完全平方公式对比即可得到m的值． 【详解】解： 是完全平方式， 对于，可得，一次项满足， ∴常数项． 8．【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 9．【答案】C 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 10．【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据题中定义的新运算规则，将对应式子代入，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 11．【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：根据完全平方公式，有， 已知， 所以， 又已知，则， 因此， 移项得， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式的特点进行求解即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴. 13．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题的关键是掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴大正方形的边长为，负值已舍， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键． 先将进行化简，再对进行降幂求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．【答案】(1) (2) (3)11 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值， 对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，再根据整式的加减法计算； 对于（2），根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可； 对于（3），先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时， 原式． 16．【答案】(1)，； (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）用大正方形的面积减小正方形的面积即可求出；直接利用长方形的面积公式即可求出； （2）由（1）结合题意可得出平方差公式为．再将变形为，最后根据这个公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，，． 故答案为：，； （2）由题意可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查平方差公式与几何图形，利用平方差公式计算．利用数形结合的思想推导出平方差公式，并会利用平方差公式进行计算是解题关键． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系．会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到． （1） 分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系． （2）直接把（1）中得到的关系式用的值对应替换即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可表示为： 或 ∴． （2）∵， ∴ ； 18．【答案】(1) (2)元 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是根据整式的混合运算法则进行计算即可． 根据绿化面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积，可得：，根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可； 根据该团队每小时可绿化，每小时收费元，可得：，然后再根据单项式乘以多项式的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得绿化的面积为： ， 绿化的面积是； （2）解：根据题意得：元． 该物业应该支付绿化团队元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $