广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测（精英班6.23）

**基本信息** 高一数学周测试卷聚焦核心素养，以立体几何（正四面体、圆锥挖圆柱）、农业统计（稻田亩产量）等真实情境为载体，通过基础题（复数虚部、概率计算）、能力题（立体几何位置关系证明）、创新题（新定义“友函数”）的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数虚部、概率、立体几何位置关系、统计图表分析|结合空间想象（如空间直线平面关系判断）| |多选题|3题|抽样概率、向量运算、正方体轨迹问题|考查批判性思维（如抽样概率正误判断）| |填空题|3题|随机事件概率、方差计算、正方体轨迹长度|注重数据处理（如方差删减数据计算）| |解答题|5题|向量投影、解三角形、统计应用（频率分布直方图）、立体几何证明与计算、新定义“友函数”|突出综合应用（如农业统计方案选择）与创新思维（新定义问题）|

高一数学2班试卷 一、单选题 1．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（    ） A． B． C． D． 3．在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在之间，单位：kg）并部分整理下表 亩产量 频数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是（ ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5．在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上， ，，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（    ） A．8 B． C． D． 8．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（　　） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 10．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，的值为 C．的取值范围为 D．存在，使得 11．如图，已知正方体的棱长为，点是的中点，点是正方体内（含表面）的动点，且满足，则（   ） A．动点在底面内轨迹的长度是 B．点所在平面截正方体所得截面的面积为 C．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 三、填空题 12．已知随机事件和，其中．则__________． 13．已知有一组数据共25个，其平均数是6，方差是4，现去掉其中5个数据：5，6，8，10，11，则余下的20个数据的方差为______ 14．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题 15．已知与的夹角为. (1)求在方向上的投影向量; (2)求的值; (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．内角、、的对边分别为、、，设 （1）求角； （2）若，求． 17．为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. (1)估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； (3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 18．如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点．  (1)求证：平面； (2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 19．设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”. (1)记的“友函数”为，求函数的单调递增区间； (2)设，其中，求的“友向量”模长的最大值； (3)已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1--8 C C D C A B D D 9--11 AC AB BC 12． 13．2.45 14． 15．【详解】（1）在方向上的投影向量为； （2）； （3）因为向量与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 对于， 得， 解得， 若与共线， 则存在，得，解得， 所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为. 16．【详解】解：（1）， ∴， 所以，因为，∴． （2），∴， ∴，， ∴，∴， ∴，∴，∴， ． 17．【详解】（1）平均成绩为： 因此该 名学生平均成绩为 分. （2）依题意 ，即求第 90 分位数 频率分布直方图中,分数在 的频率为 分数在 的频率为 可知第 分位数在 内, 不妨设其为 ，所以 解得 , 取整可知至少 分才有参赛资格. （3）5道备选题中,甲会的3道题分别记为 ,不会的记为 方案一： 学生甲任抽一道题的结果有 共5种,抽中会的 ,有3种，那么参加复赛的概率为 方案二： 学生甲从 5 道题中任抽 3 道,结果如下： 共10种, 至少会 2 道题的, 有 7 种情况 那么参加复赛概率为 ，因为. 所以选择方案二,可让学生甲进入复赛概率更大. 18．【详解】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 在矩形中，，，点E是棱的中点， 所以，所以是等边三角形， 又点F是线段CE的中点，所以， 又，平面，所以平面． （2）在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示． 由（1）知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以是直线DF与平面ABF所成角． 在中，，，所以， 又点D为棱BC的中点，所以． 因为平面，又平面，所以， 所以，． 在中，由余弦定理得， 所以，即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为． （3）在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示． 因为平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角． 在中，． 因为平面，平面，所以， 又易得，，所以， 由等面积法可知． 在中，，，，所以， 所以，即二面角的余弦值为．    19．【详解】（1）由已知， 则令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，； （2， 则的“友向量”为， ， 又，所以当，时，取得最大值为； （3）由已知点满足，则，，且， 又，且， 且当，时，函数取得最大值， 即，所以， 即，又， 设，则原式，且在上单调递减， 所以. 答案第4页，共4页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $