广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测16

**基本信息** 高一数学周测聚焦统计与概率、立体几何、向量等模块，以频率分布直方图分析（数据意识）、四棱锥线面关系证明（空间观念）、品酒师测试概率模型（模型意识）为载体，体现数学思维与应用能力的融合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|上四分位数、方差、空间线面关系|基础巩固，如第1题样本数据处理（抽象能力）| |多选题|2/12|事件概率、正方体轨迹|能力提升，如第8题动点轨迹长度（几何直观）| |填空题|3/15|概率计算、外接圆面积、截面轨迹|中档应用，如第11题正方体截面轨迹（空间观念）| |解答题|3/43|统计案例分析、立体几何证明与计算、概率模型|综合创新，如第14题品酒师测试（模型意识与运算能力）|

2025-2026学年度东华高级中学高一第二学期数学周测16 1、 选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.样本数据的上四分位数为 A. B. C. D. 2.已知一组数的平均数是，方差为，则数据的平均数和标准差分别是 A. B. C. D. 3.已知为空间中不重合的直线，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是 A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 4.从这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为 A. B. C. D. 5.已知在等腰梯形中，，，，是上的动点，则的取值范围为 A. B. C. D. 6.在棱长为的正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则的周长的最小值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7.已知事件,,下列结论正确的是 A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 8.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则 A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9.从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为一辆车从甲地到乙地，恰好遇到个红灯的概率为   . 10.内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 11.如图，在棱长为的正方体，动点在截面内含边界，且满足则点的轨迹长度为    四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题13分 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． 根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者． 若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； 若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 13.本小题15分 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. 证明： 若,平面的所成角为，求二面角的正弦值． 14.本小题15分 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试．一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价．现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．若两轮测试都有,该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号． 用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； 甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； 甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一第二学期数学周测16答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A C B BD AC 9.  10. 11. 6. 【解析】如图， 连接，，则N为的中点， 将三棱锥沿展开成平面图形如下图， 即为三角形PMN周长的最小值， 正方体的棱长为1，N为中点， 其中，， 故本题选 8. 【解析】对：如图： 当点位于边上时，因为， 所以，故正确； 对：如图： 当时，点轨迹为矩形，其中分别为中点，所以动点轨迹的周长为：，故错误； 对：如图： 当时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故正确； 对：如图： 当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为,所以故错误． 11.【解析】取的中点，连接，三棱锥为正三棱锥，过点作平面于点G，则点G在上，如图， 则G为正的中心，又， ，， 由， 得， ， ，， 又正的内切圆半径为， 点P的轨迹是以G为圆心，为半径的圆，即正的内切圆， 点P的轨迹长度为 解答题： 12. 【答案】解：设这人的平均年龄为，则 岁 …2分 设第百分位数为， 方法一：由，解得 ……………………… 4分 方法二：由，解得 由题意得，第四组应抽取人，记为甲，第五组抽取人，记为，乙，对应的样本空间为： 甲乙甲乙甲乙 甲,乙甲乙，共个样本点. ……………………… 5分 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则 甲乙甲乙甲乙甲,乙甲乙，共有个样本点. ……………………… 6分 所以， ……………………… 8分 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为 则， ……………………… 10分 ， ……………………… 12分 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为， 据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为 ………………………………… 13分 13. 【答案】证明：设，连接， 因为底面为正方形，所以且为的中点， 又，所以， …………………… 2分 又，平面， 所以平面， ……………………4分 又平面， 所以平面平面； ……………………6分 解：在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 所以即为与平面所成的角， 即， …………………………………………………………8分 又，所以， …………………………………9分 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角，……………………………………11分 又，所以，…12分 因为四边形为正方形，所以，则， 所以，即，解得，……………………………………13分 又平面ABCD，平面，所以， 所以， …………………………………14分 所以，所以二面角的正弦值为………15分 14.【答案】解：第二次排序时所有可能的，，排序及相应的值列表如下： ……………………………3分 令表示事件"，表示事件"，表示事件"" 由知，， …………………………4分 甲参加第一轮测试值记为，参加第二轮测试值记为，记事件"，，"，，"，， …………………5分 则，因为两轮测试结果相互独立， 所以， …………………………6分 ， …………………………7分 ， …………………………8分 因为，，互斥， 所以……………9分 记事件“甲在第年测试中被授予特级品酒师称号”， ，则 因为，，相互独立， ……………………10分 所以 ……………………15分 第2页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $