广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测15

**基本信息** 高一数学周测聚焦复数、向量、立体几何等核心知识，通过景区满意度统计、射击游戏概率等现实情境题，考查数据意识与数学应用能力，适配阶段性巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数运算、向量投影、棱台结构|第4题辨析四棱锥侧面形状，考查空间观念| |填空题|3/15|棱台体积、分层抽样方差、向量共线|第14题结合三等分点与直线方程，体现抽象能力| |解答题|5/77|统计直方图、解三角形、立体几何证明|17题以菱形四棱锥为载体，融合线面平行证明与二面角计算，培养逻辑推理；18题射击概率问题，强化运算能力与数学思维|

2025-2026学年高一第二学期数学周测15 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知和的夹角为，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．9 3．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．直四棱柱就是长方体 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 5．已知平面向量，，若，则（    ） A． B．4 C． D．3 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则ab的值为（   ） A． B． C． D．3 7．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 8．在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一组样本数据为9，11，10，13，12，8，14，11，则这组数据的（     ） A．中位数为11 B．方差为28 C．平均数为11 D．60%分位数为11 10．在正四面体中，下列各角大于的有（    ） A．棱与棱的所成角 B．棱与棱的所成角 C．棱与平面的所成角 D．平面与平面的所成角 11．已知三条边的长度为连续的正整数为正整数)，且最小角的余弦值为，则（ ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 13．为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生30人，女生20人、按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为______． 14．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 16.（本小题满分15分） 如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 17.（本小题满分15分） 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 18.（本小题满分17分） 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且恰有一人击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若按甲、乙、丙的出场顺序对同一目标依次进行射击，想击中该目标的概率不低于，则三人合计至少需要射击多少次?（参考数据：，） 19．（本小题满分17分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一第二学期数学周测15答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C D B C C B C ACD BD BD 12． 13．6.8 14． 15．【详解】（1）由频率分布直方图得；…………3分 （2）因为； 所以中位数在内，设中位数为，…………………5分 （或）．…………………7分 ．…………………8分 （3）与的频率之比，…………………9分 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为，…………………10分 样本空间：共10种情况，…………………………11分 符合条件的6种情况；…………………………12分 ．…………………………13分 16．【详解】（1）因为，， ．，．…………………………2分 在中，， ．…………4分 （2）由（1）得，． ．…………………6分 ，．．…………………………8分 四边形的面积．…………………………10分 （3）在中，．…12分 由正弦定理，得，…………………13分 ．…………………15分 17．【详解】(1)取SD的中点M，连接ME，MC，…………………1分 因为E，M分别为SA，SD的中点，所以且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，所以且， 所以且，可知四边形EFCM是平行四边形，则…………………3分 又因为平面SCD，平面SCD，所以平面SCD．…………………5分 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，…………………6分 因为，所以， 由题意可知：为等边三角形，则， 因为，，平面，所以平面，…………………8分 因为平面，所以， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角，…………………9分 因为平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD，因为平面，所以…………………10分 在中，则，，，可得， 所以二面角的余弦值为．…………………11分 （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，，…………………13分 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则，…………………14分 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为．…………………15分 18．【详解】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，.…………………1分 依题意，，所以，.…………………2分 ，所以.…………3分 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为；.…………………4分 （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，.…………………5分 则，.…………………6分，.…………………8分 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率为；.…………………9分 （3）设甲、乙、丙三人共射击次， 击中目标的概率为..…………………10分 所以，即，两边同时取对数得，化简得， 所以，.…………………13分 即甲、乙、丙三人共射击9次时，击中该目标的概率一定不低于， 而共射击6次时，不中该目标的概率为，击中该目标的概率低于，.…………14分 第7次甲射击，不中的概率为， 第8次乙射击，不中的概率为， 第9次丙射击，不中的概率为， 所以共射击9次，至少有一次击中目标的概率大于.…………………17分 19【详解】（1）由已知，得，即， 根据正弦定理，可得，化简得，..…………………3分 由余弦定理，得，又，所以；..…………………4分 （2）根据余弦定理，得，整理得， 又，，，代入整理得，解得，..…………………5分 又为边上的角平分线，所以，， 即， 化简得，..…………………7分 又，，所以，解得；..…………………8分 （3）延长交于点，延长交于点，..…………………9分 因为点为的垂心，所以，， 设，则且， 所以， 又，在中，， 在中，，，所以， 在中，，同理可得，..………13分 所以 ..…………………15分 因为，所以， 所以，..…………………16分 所以， 即的取值范围为..…………………17分 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $