广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测（精英班6.16）

**基本信息** 高一精英班周测试卷，聚焦统计、立体几何与解三角形，通过鳖臑、攒尖结构等文化素材及食堂窗口优化等现实问题，分层考查数学眼光观察空间形式、数学思维逻辑推理及数学语言表达现实的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|随机数表法、线面关系、解三角形|第4题以攒尖结构模型考查表面积，体现空间观念| |多选题|2/12|向量复数性质、解三角形综合|第7题对比向量与复数运算律，培养推理意识| |填空题|3/15|分层抽样、圆锥侧面积、四棱柱体积|第11题四棱柱装水问题，发展几何直观| |解答题|3/43|统计应用、解三角形证明、立体几何探究|第12题食堂窗口优化用数据建模，第14题二面角探究提升创新意识|

精英班6.16参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C A B B BC BCD 9．26 10． 11 . 12．【详解】（1）由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人；---------1分 这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人，---------2分 所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟，---------3分 由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为， 所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占，---------5分 故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％的同学感到满意；---------6分 （2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下： 类别 选餐 套餐 面食 高峰期就餐总人数 100 60 40 各队伍长度（人） 最长等待时间（分钟） ----------------------------------------------------------------------------------10分 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同， 即得，即有，--------------------11分 而，故，----------------12分 因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个. ----------------13分 13. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得， 因为，所以，即． 又因为，所以．------------------------------------------4分 （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，①------6分 中，．②--------------------8分 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或，--------------------12分 当时，（舍去）．--------------------13分 当时，．所以．--------------------15分 [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则，即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． 14．【详解】（1）因为， 所以当三棱锥的体积最大时，即点到平面的距离最大， 此时平面平面，如图，过作于，连接， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，--------------------2分 因为在矩形中，， 所以在中，， 所以，故，----------------3分 所以， 故，所以， 所以， 所以， 所以的面积，----------------4分 设点到平面的距离为， 则由，得，--------------------5分 所以．--------------------6分 （2）如图，在矩形中作的对应线段，延长的交于， 在，由，，所以， 如图，在三棱锥中， 由，所以为二面角的平面角，即， 在中，， 在中，．--------------------10分 （3）结论：． 证明：如图，过上一点作交于点，作交于点， 连接，则即二面角的平面角，--------------------11分 方法一：设，则在中，得， 同理在中，得--------------------13分 在中，由余弦定理得 --------------------14分 在中，由余弦定理得 ------------15分 方法二：在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② ②①，得， 则， 即， 两边同除以，得， 所以， 所以，即，得证．--------------------15分 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一精英班1班6.16 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（ ） 32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145 A．5 B．44 C．165 D．210 2．已知的内角的对边分别为，若，，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 4．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（ ） A． B． C． D． 5．在长方体 中， ，过点作平面与 分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7．下列有关向量与复数的结论正确的有（   ） A．若非零向量满足，则 B．若非零复数满足，则 C．若非零向量满足，则 D．若非零复数满足，则 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下列命题正确的是（） A． B．若，则b的最大值为 C．若的面积为，则a的最小值为2 D．若，，，，则动点D的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9．某校举行数学学科冬令营活动，该校高一､高二､高三年级参加的人数分别为150，120，120.为了了解本次冬令营开展的实际效果，从参加冬令营的学生中按年级采用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，若高二年级抽取的人数为8，则样本容量的值为__________. 10．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 11．已知正四棱柱中，，在的中点各有一个孔，．若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为___；若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为_____． 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12．某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1 已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. (1)根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ (2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 13.记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 14．如图一，在矩形中，．将沿折起，得到三棱锥． (1)当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离； (2)当二面角的大小为时，求； (3)如图二，在三棱锥中，已知，其中、、． 若二面角的大小为，试利用的三角函数值表示，请写出你的结论，并给出证明． 试卷第1页，共2页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $