广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测14

**基本信息** 涵盖统计、向量、立体几何等模块，解答题融入数学文化竞赛数据分析与四棱锥线面关系证明，注重数据意识与空间观念的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|抽样概率、四分位数、圆柱外接球|基础概念辨析，如不同抽样方法概率比较| |多选题|3题18分|总体样本概念、数据极差与方差|结合分层抽样考查统计术语辨析| |填空题|3题15分|平均数修正、向量投影、正方体顶点距离|数据修正与空间距离计算，体现运算能力| |解答题|3题43分|四棱锥线面垂直证明、数学文化成绩分析、分层抽样身高统计|综合考查推理能力与数据处理，如文化竞赛成绩的频率分布直方图分析|

2025-2026学年度东华高级中学高一第二学期数学周测14 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 1．从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 2. 从小到大排列的数据的第三四分位数为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．设，其中x，y是实数，则（ ） A． B． C．4 D． 5．已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（   ） 注：同比增长率=（今年月销售额-去年同期月销售额）÷去年同期月销售额． A．2023年1月至6月的月销售额的极差为6 B．2023年1月至6月的月销售额逐月递增 C．2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5万元 D．2022年5月的月销售额为8万元 7．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（   ） A．60° B． C． D． 8．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 二、多选题本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．某校期末考试后，为了分析该校高一年级名学生的学习成绩，从中随机抽取了名学生的成绩单，那么下列说法中正确的有（    ） A．名学生是总体 B．每名学生是个体 C．被抽取的名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是 10．已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若的方差为6.8，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．当M，P分别为线段，中点时，， B．取得最小值 C．当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D．对任意点M，平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．立德中学某次课外定点投篮比赛中，登记的9个数据的平均数为8，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据15，则修正后的10个数据的平均数为______． 13．已知向量，则在上的投影向量的坐标是__________. 14．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为______． 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 16．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的面积为2，求的周长的最小值. 17．(15分)为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 18．(17分)如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. (1)求四棱锥的体积； (2)证明： (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19．(17分)某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为，样本平均数，方差． 参考数据：，，． (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差； (3)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测十四参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D A B C C A CD AB BCD 12．9 13． 14．21 15．【详解】（1）证明：因为，， 所以，…………………………………………2分 又平面，平面， 所以，…………………………………………4分 又因为，平面， 所以平面．…………………………………………7分 （2）取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即，…………………………………………10分 又因为平面，平面， 所以平面．…………………………………………13分 16． 【详解】（1）由已知，得， 由正弦定理，得，即.……………………………3分 再由余弦定理得.……………………………5分 又，所以.……………………… ……7分 （2）由（1）及已知得，的面积为，所以.……………………8分 又，当且仅当时等号成立，……………………………10分 于是，…………12分 所以三角形周长，…………14分 所以周长最小值为，此时，.……………………………15分 17．【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为．………………………4分 （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86．…………………….………………………9分 （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为．…………………………11分 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得，…………………………………………13分 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22．…………………………………………15分 18．【详解】（1）解：∵是边长为2的正三角形，为中点， ∴， …………………1分 又∵平面平面，平面平面 ∴平面 ………………… …………3分 又平面， ∴ ∴为二面角的平面角，……………………………4分 ∴又，∴……………… ………5分 ∴底面为正方形. ∴四棱的体积.……………………………6分 （2）证明：由（1）知，平面，平面， ∴……………………………7分 在正方形中，易知 ∴而， ∴ ∴……………………………9分 ∵，.……………………………10分 ∴平面 ∵平面， ∴.……………………………11分 （3）设，连接，. ∵平面. ∴为直线与平面所成的角……………………………13分 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为.………………………17分 19.【详解】（1）因为抽取的女生身高在[160，165]之内的频率为，…………………2分 所以估计该校女生身高在[160，165]之内的人数为；……………………………4分 （2）因为，所以， 故，则为离群值. ……………………………7分 则剔除离群值剩下数据的平均数为：， 故剩余女生样本身高的平均数为159， 又， 则剔除169，剩余女生样本身高的方差为：；………………………10分 （3）采用分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则男生20个，女生10个， 男生身高样本记为，均值，方差，……………………………12分 女生身高样本为，均值，方差 则总样本均值，……………………………13分 又因为， 所以， 同理可得，…………… ………………14分 故总样本方差 ， 所以，估计学生总体身高的平均数，标准差.……………………………17分 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $