广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测（精英班6.2）

**基本信息** 高一精英班数学周测试卷，聚焦立体几何与解三角形，以商场正方体装饰、《九章算术》“刍甍”等情境承载空间观念与推理能力，适配分层巩固与思维提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|正方体动点距离、三棱柱线面关系|结合实际场景考查空间想象，如第2题正方体悬挂问题| |多选题|2/12|解三角形性质、正方体截面判断|第8题动态探究线面垂直与体积变化，体现推理能力| |填空题|3/15|球与圆台内切、二面角余弦值|第11题“刍甍”模型渗透文化传承，强化几何直观| |解答题|3/43|四棱锥线面证明、长方体二面角|第13题综合空间向量与线面角计算，契合高考立体几何命题趋势|

高一精英班答案 一、1． C 2． D 3． D 4． B 5．A 6． D 二、7． BCD 8． BCD 三、9． 10． 11． 四、12．（1）（1），平面，平面，面， 面， 面面，， 面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作交于， 设，平面，平面， 平面平面，， 在梯形中， ，， ，，即，可得，故. 13．（1）连接，，，因为是长方体，M，N分别为棱，的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为，，所以，，，则有，则有；同理，，并且，BM，平面BDM，所以平面BDM，又因为，所以平面BDM；   （2）分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以，又因为是边长为的正三角形，则有，则即为二面角的平面角，且，，，由余弦定理，，所以二面角的余弦值为；  （3）设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则．因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM，则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据，即，解得，又因为与平面所成角的正弦值为，则． 连接，是边长为的正三角形，在中，由余弦定理得,，即，整理得：，即，解得或，又因为，， 所以或，   14．（1）． （2）（ⅰ）设，则，，，       所以，，       又，所以，则的取值范围为．    （ⅱ）设（），则，因为（）， 所以， 所以，因为，所以， 即，化简得，，        所以，， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一精英班6.2 一、单选题:每小题5分,共30分. 1．已知，则（     ）． A．1 B．2 C． D．5 2．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A．与是异面直线 B．平面 C．与所成角的余弦值为 D． 4．在中，若其面积为，且，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6. 如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题:每小题6分,共12分. 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．若，则b的最大值为 C．若的面积为，则a的最小值为2 D．若，，，，则动点D的轨迹长度为 8．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 三、填空题: 每小题5分,共15分. 9．已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 10．如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，若，，，，平面与平面夹角的余弦值为__________. 11．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______． 四、解答题 12．(13分) 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 13．(15分) 13．如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．   (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 14．(15分) 14．在中，已知. (1)求C． (2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $