广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测十三

**基本信息** 以国庆游园、问天实验舱等真实情境为载体，融合向量投影、立体几何、统计分析等核心知识，通过问题链设计考查数学眼光观察现实世界、数学思维推理及数学语言表达能力，适配高一阶段性学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|向量投影、复数几何意义、半球容器体积、圆锥异面直线成角、方差计算、频率分布直方图|第3题以夹弹珠游戏为情境，考查球与半球的空间关系，体现几何直观与空间观念| |多选题|2/12|统计直方图分析、四棱锥线面关系|第8题结合正方形与等边三角形背景，综合考查线面平行、体积计算及二面角，发展推理能力| |填空题|3/15|解三角形面积、分层抽样、圆锥圆柱体积比最值|第11题通过公共内切球构建体积关系，培养创新意识与运算能力| |解答题|3/43|向量模与数量积、四棱锥面面垂直及线面角、分层抽样方差证明|第14题证明分层抽样方差公式并应用于学生体重统计，强化数据观念与数学表达|

2025-2026学年度高一第二学期数学周测十三 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 1.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在复平面内，已知复数、、，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知则(    ) A. 3 B. C. D. 3.为庆祝国庆，东华中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是    A. B. C. D. 4.在圆锥PO中，轴截面PAB为等腰直角三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线OM与AP所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 5.已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则    A. ， B. ， C. ， D. ， 6.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图． 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，；平均数分别为，，则下面正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7.某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为，画出频率分布直方图，已知随机抽取的成绩不低于80的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是(    ) A. 学生成绩众数估计为75 B. 学生成绩的平均数大于中位数 C. 此次成绩在的学生人数为120人 D. 学生成绩的第45百分位数为70 8.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面ABCD，点M在线段PB上，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是    A. 若平面MAC，则M为PB的中点 B. 若M为PB的中点，则三棱锥的体积为 C. 锐二面角的大小为 D. 若，则直线MC与平面BDP所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则          . 10.2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为          人. 11.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球。记圆锥体积为,圆柱体积为.则的最小值为          . 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题13分 已知向量，满足，，与的夹角为 求 若，求k的值. 13.本小题15分 如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点， 平面 求证：平面PCE； 求证：平面平面PBD； 若二面角的大小为，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值. 14.本小题15分 已知总体划分为2层，通过分层随机抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，， 记总的样本平均数为，样本方差为 证明： 证明： 现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《周测13》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A C C ACD ABD 9． 10．2700 11． 12.解：因为，所以|，………………………………………2分 又因为|，与的夹角为，所以，………………………4分 所以|，所以|……………6分 因为，所以， 即，，解得………………………13分 13．解：证明：因为且，所以四边形BCEA为平行四边形，则， 又平面PCE，平面PCE，所以平面PCE；……………………………3分 证明：由平面ABCD，平面ABCD，得， 连接BE，由且，所以四边形BCDE为平行四边形， 又，所以平行四边形BCDE为正方形，……………………………5分 所以，又，所以，…………………………………………6分 又、平面PAB，所以平面PAB，由平面PBD， 所以平面平面PAB；………………………………………………………8分 由平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，，、平面PAD，所以平面PAD， 又平面PAD，所以，……………………………………………9分 故为二面角的平面角，即，…………………10分 在中，，作，垂足为M， 由知，平面平面PAB，平面平面，平面PAB， 所以平面PBD，………………………………………………………………………12分 则PM为直线AP在平面PBD上的投影，所以为直线AP与平面PBD所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线AP与平面PBD所成角的正弦值为……………………………………………15分 14． 证明：由题意得，分层随机抽样中，第一层抽取了m个样本，其数据记为， 则第一层样本数据总和为；第二层抽取了n个样本，其数据记为，则第二层样本数据总和为总的样本数据总和为，总的样本量为 ………………………………………………………………………………………2分 根据样本平均数的定义，总的样本平均  故成立.…………………………………………………………………4分 证明：由题意得，样本方差……………………5分  对于第一层数据，展开平方项： ， 由于，因此上式化简为：，……7分 同理，第二层数据满足：，…………………………………8分 将两层结果代入总方差公式：，…………9分  故的表达式成立. 解：平均数计算： ; 方差计算：首先计算，…………………………12分 …………………………………………………15分 学科网（北京）股份有限公司 $