广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测（精英班5.19）

**基本信息** 高中数学周测试卷，聚焦复数、向量、立体几何等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数共轭虚部、向量共线、正三棱锥外接球表面积等|基础题为主，考查概念理解与基本运算| |多选题|3题|复数几何意义、扇形向量运算、正方体动点轨迹|多选项设计，考查知识辨析与综合应用| |填空题|3题|三角形边角关系、圆锥侧面积、向量模最值|情境简洁，考查知识迁移与计算能力| |解答题|5题|向量投影、旋转体表面积体积、三角形面积最值、圆锥侧面展开、三角形内部点向量关系|综合性强，结合空间想象与逻辑推理，如旋转体体积计算考查空间观念，三角形面积最值考查数学建模|

精英数学1班5.19参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B A D D C ACD ABC ACD 15．【详解】（1）由，得，即， 又，所以，- ---------------------------------------3分 所以.----------------------------------------6分 （2）因为在方向上的投影向量为，所以，-------------------------7分 所以，整理得，解得，即.-------------------------9分 则，.--------------------------------------10分 因为与的夹角是锐角，所以且与不共线， 所以，解得且.--------------------------------------12分 故实数的取值范围为且 .--------------------------------------13分 16． 【详解】（1）已知，则, ，设球半径为，则，-------------------------1分 由题意可知，旋转后几何体的表面积包含半球面积，上半个圆锥侧面积， 下半个圆锥侧面积，圆的面积减去四边形面积，即， -------2分 ，， ， ， ，，--- ----------6分 ；--- ----------7分 旋转后几何体的体积包含半球体积和圆锥体积构成，即，--- ----------8分 ，， ．-------------------------10分 （2）设上底面积为，下底面积为，已知，, ，中截面 ，--------14分 ．-------------------------15分 17【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以，所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故；-------------------------5分（没写和各扣1分） （2）因为D为边BC上，满足， 所以，所以，所以，-------------------------6分 所以， 即有， 即，所以，--------------8分 所以，即，当且仅当时，即时，取等号，------------9分 所以， 即的面积最大值为；-----------10分（要记得下结论哦，否则扣1分） （3）由，则，-----------11分 可得，则，----------------------------------13分 故，- 当且仅当，即时，等号成立，-------------------------14分 即的最小值为.-------------------------15分 18． 【详解】（1）证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以，--------------1分 又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，---------------3分（一外一内少一个条件扣一分） 同理得平面ABC，-------------------------4分 又平面PMN，平面PMN，，（少一个条件扣一分） 所以平面平面ABC. ------------------------6分 （2）如图所示：设圆锥的底面圆半径为r，则，解得.-------7分 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以.--- ----------8分 ，圆锥的高， 所以，----------------10分 所以，即四面体ACMN的体积为.---------------12分 （3）如图：在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC，------13分（判断题先下结论再证明） 理由如下：取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形，------------15分 所以，又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC. ---------------17分（一外一内少一个条件扣一分） 19． 【详解】（1）， 因为， 所以，即， 又，所以，因为，所以．----------4分（没写和各扣1分） （2）由得，，即， 由余弦定理得，，解得，----------5分 所以，----------6分 又 ， 所以，-----------------------------8分 所以 ．-------------------------------10分 （3）如图所示，根据题意，设， 则， 在中，由余弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得，---------------------------13分 联立方程组，可得，所以， 代入上式，可得且，--------------15分 所以， 设，则，---------------16分 由，可得，所以， 又由，由对勾函数的性质，可得， 所以，由，可得， 又由函数在上为单调递减函数， 所以，故最小值为．------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学1班5月19日 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 2．若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．在正三棱锥中，棱两两垂直，若的边，则该正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．设P为内一点，且，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 5．已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 7．正方体的棱长为2，M是线段上的一个动点（含端点），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 9．设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 10．已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动（包含边界），，下列说法正确的有（   ） A．的取值范围是 B．的最大值是2 C．的取值范围是 D．的最大值是 11．如图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点Q满足，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．若Q，M，N，P四点共面，则 C．若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为 D．若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为 三、填空题 12．已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 13．一个圆锥的轴截面的顶角为，过顶点的截面面积的最大值是2，那么此圆锥的侧面积是____________． 14．已知非零向量满足，对于任意实数满足，，则的最大值是_______． 四、解答题 15．（1）已知向量，满足，，求． （2）已知向量，，若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 16．（1）如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，若将图中阴影部分绕直线AB旋转得到一个几何体．求阴影部分形成的几何体的表面积和体积； （2）如图所示该几何体为上下底面皆为长方形的草垛，并且上下底面平行，上底中心投影恰为下底中心，且，高为3，求该几何体的体积． 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若D为边BC上一点，满足，且，求的面积最大值； (3)若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且，求的最小值． 18．如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. (1)求证：平面平面ABC. (2)求四面体ACMN的体积. (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 19．已知分别是对边，且．点为三角形内部一点，且满足． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的最小值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 精英数学1班5.19参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B A D D C ACD ABC ACD 15．【详解】（1）由，得，即， 又，所以，- ---------------------------------------3分 所以.----------------------------------------6分 （2）因为在方向上的投影向量为，所以，-------------------------7分 所以，整理得，解得，即.-------------------------9分 则，.--------------------------------------10分 因为与的夹角是锐角，所以且与不共线， 所以，解得且.--------------------------------------12分 故实数的取值范围为且 .--------------------------------------13分 16． 【详解】（1）已知，则, ，设球半径为，则，-------------------------1分 由题意可知，旋转后几何体的表面积包含半球面积，上半个圆锥侧面积， 下半个圆锥侧面积，圆的面积减去四边形面积，即， -------2分 ，， ， ， ，，--- ----------6分 ；--- ----------7分 旋转后几何体的体积包含半球体积和圆锥体积构成，即，--- ----------8分 ，， ．-------------------------10分 （2）设上底面积为，下底面积为，已知，, ，中截面 ，--------14分 ．-------------------------15分 17【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以，所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故；-------------------------5分（没写和各扣1分） （2）因为D为边BC上，满足， 所以，所以，所以，-------------------------6分 所以， 即有， 即，所以，--------------8分 所以，即，当且仅当时，即时，取等号，------------9分 所以， 即的面积最大值为；-----------10分（要记得下结论哦，否则扣1分） （3）由，则，-----------11分 可得，则，----------------------------------13分 故，- 当且仅当，即时，等号成立，-------------------------14分 即的最小值为.-------------------------15分 18． 【详解】（1）证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以，--------------1分 又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，---------------3分（一外一内少一个条件扣一分） 同理得平面ABC，-------------------------4分 又平面PMN，平面PMN，，（少一个条件扣一分） 所以平面平面ABC. ------------------------6分 （2）如图所示：设圆锥的底面圆半径为r，则，解得.-------7分 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以.--- ----------8分 ，圆锥的高， 所以，----------------10分 所以，即四面体ACMN的体积为.---------------12分 （3）如图：在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC，------13分（判断题先下结论再证明） 理由如下：取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形，------------15分 所以，又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC. ---------------17分（一外一内少一个条件扣一分） 19． 【详解】（1）， 因为， 所以，即， 又，所以，因为，所以．----------4分（没写和各扣1分） （2）由得，，即， 由余弦定理得，，解得，----------5分 所以，----------6分 又 ， 所以，-----------------------------8分 所以 ．-------------------------------10分 （3）如图所示，根据题意，设， 则， 在中，由余弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得，---------------------------13分 联立方程组，可得，所以， 代入上式，可得且，--------------15分 所以， 设，则，---------------16分 由，可得，所以， 又由，由对勾函数的性质，可得， 所以，由，可得， 又由函数在上为单调递减函数， 所以，故最小值为．------------------17分 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $