广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测十二

**基本信息** 高一数学周测卷立足基础，融合文化传承（如端午节粽子折叠问题）与空间几何（正四面体构造正八面体），通过分层抽样求平均身高、复数根求解等题，考查数学眼光观察现实世界、数学思维推理能力，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|概率抽样、向量运算、线面关系|第5题以正四面体构造正八面体，考查空间观念| |多选题|2/12|向量投影、正方体动态问题|第8题结合正方体中点移动，考查几何直观| |填空题|3/15|复数根、分层抽样、折叠体内切球|第11题粽子折叠体求内切球半径，融合文化与空间想象| |解答题|3/43|面面平行证明、解三角形、空间角与体积|第12题四棱锥中面面平行证明，考查推理能力；第13题解三角形结合周长最值，体现数学思维|

2025-2026学年度=高一第二学期数学周测十二 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 1．某中学七年级有200人，八年级有220人，九年级有180人，用简单随机抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，若每个学生被抽到的概率为0.3，则（　　） A．180 B．200 C．240 D．260 2．下列结论中不正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D． 3．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 4．如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中，直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 第4题 第5题 5．正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（　　）   A． B． C． D． 6．在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 二、多选题本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7．已知向量，，，则下列说法正确的是（　　） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则x >－2 8．在棱长为 2 的正方体中，E、G为中点，F在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（　　） A．存在点F使得平面 B．三棱锥的外接球表面积为 C．直线EG上的一点到直线AD1的最短距离为 D．异面直线与所成角的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9．已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______． 10．高二年级有男生300人，女生700人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样方法，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则高二年级全体学生的平均身高约为_________cm． 11．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为________.   四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12．（13分） 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 13．（15分） 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求角的值及周长的最大值； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长. 14．（15分） 在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 4 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测十二参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B A B AC ABC 9． 10．163 11． 12．【解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点，而是的中点，则，…………………………………………2分 又平面，平面，则平面，………………………………………4分 而平面平面，平面，所以……………………………………6分 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， …………………………………………7分 又平面，平面，则平面．……………………………………9分 由（1）知，又平面，平面，则平面，……………11分 又因为，，平面，所以平面平面.…………………13分 13．【解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理可得，…………………………2分 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以.……………………………………………………………………4分 因为，由正弦定理得，可得，， 因为，所以，………………6分 则，…………………8分 又，则， 当，即时，取得最大值为4，所以周长的最大值为6；………………9分 （2）因为，由角平分线性质定理得，即， 在三角形ABC中，，由余弦定理得，；…………11分 因为，所以，得，……………………………13分 所以.……………15分 14．【解】（1）如图1，取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角.……………………………2分 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为；…………………………………………………5分 （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 如图2，过作，垂足为，连接， 所以就是二面角的平面角，…………………………………………………………7分 即，在直角中，，所以， 所以，同理可得，……………………………………………………9分 所以，所以二面角的正切值为.…………10分 （3）把多面体补成如图3长方体 则.…………………………………………………11分 …………………………………………14分 所以.……………………………………………………………………15分 图1 图2 图3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $