专题1.5 平面上的距离（六大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦平面距离核心应用，以六种典型题型构建从公式应用到综合问题的递进训练，发展几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三种距离公式的应用|10题|点线距、线线距及最值|距离公式为基础，推导与应用结合| |对称问题|14题|点线对称、线线对称|对称性质与距离公式的延伸| |三角形问题|7题|距离与三角形几何性质|综合距离公式与三角形判定| |光线反射问题|9题|反射路径计算|对称思想解决反射距离| |将军饮马问题|6题|最短路径模型|对称转化思想的经典应用| |直线的综合问题|5题|距离与面积、交点综合|多知识点融合的综合应用|

专题1.5 平面上的距离 题型一 三种距离公式的应用 题型二 对称问题 题型三 三角形问题 题型四 光线反射问题 题型五 将军饮马问题 题型六 直线的综合问题 题型一：三种距离公式的应用 1．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 4．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）点到直线的距离的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 5．（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京·期中）点到直线的最大距离为______． 8．（24-25高三下·重庆·阶段检测）点为直线上的一动点，，则点到直线的距离为_____． 9．（24-25高二上·海南海口·期中）已知点和直线，则点到直线的距离最大值为______． 10．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 题型二：对称问题 1．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 2．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 3．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 5．直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7.直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．直线关于轴对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 10．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 11．直线关于点对称的直线的方程为________． 12．与直线关于点对称的直线方程是_________. 13．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是______. 14．（直线关于直线对称的直线方程为________ 题型三：三角形问题 1．（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 2．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 5．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为______. 6．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 7．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 题型四：光线反射问题 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·新疆·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 7．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 8．（24-25高三·全国·一轮复习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 9．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是______. 题型五：将军饮马问题 1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 5．（24-25高二上·河北保定·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 6．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为__________． 题型六：直线的综合问题 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 3．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 4．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 5．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. (1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 平面上的距离 题型一 三种距离公式的应用 题型二 对称问题 题型三 三角形问题 题型四 光线反射问题 题型五 将军饮马问题 题型六 直线的综合问题 题型一：三种距离公式的应用 1．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线段的定比分点、求平面两点间的距离 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 2．（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离 【分析】先根据直线垂直得出直线，再应用点到直线距离计算求解. 【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线的距离为. 故选：C. 3．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】求得直线所过的定点，再利用两点间的距离公式进行计算. 【详解】直线， 即， 由解得， 所以直线过定点， 所以的最大值为． 故选： 4．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）点到直线的距离的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求点到直线的距离 【分析】利用点到直线距离公式和辅助角公式得到，结合正弦函数有界性求出最大值. 【详解】点到直线的距离为 ， 由于， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：C 5．（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得， 因此直线与直线两平行线间的距离为 故选：D. 6．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离 【分析】两平行直线，则之间的距离为，利用这个公式求出之间的距离. 【详解】变形为，， 之间的距离为. 故选：C. 7．（25-26高二上·北京·期中）点到直线的最大距离为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】依据直线过定点,当两点的连线与直线垂直时满足题意，计算即可. 【详解】由题可知：直线过定点 当点与点所成直线与直线垂直时， 点到直线距离最大， 最大距离为， 故答案为： 8．（24-25高三下·重庆·阶段检测）点为直线上的一动点，，则点到直线的距离为_____． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求点到直线的距离 【分析】设，则，由平面向量线性运算的坐标表示得出，再根据点到直线距离公式即可求解． 【详解】设，则， 由得，， 则点到直线的距离为， 故答案为：． 9．（24-25高二上·海南海口·期中）已知点和直线，则点到直线的距离最大值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得， 则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 【答案】或23 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】直线与平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即为． 因为直线与间的距离是，即， 所以，解得或， 所以或． 故答案为：或23 题型二：对称问题 1．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 2．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 5．直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由两条直线平行求方程、求直线关于点的对称直线 【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解. 【详解】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A 6．直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据直线关于直线外一点的对称直线互相平行可知其斜率，再取上一点求其关于点的对称点，即可求出的方程. 【详解】由题意得，故设， 在l上取点，则点关于点的对称点是， 所以，即， 故直线的方程为. 故选：C 7.直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 8．直线关于轴对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可； 【详解】设是所求直线上任意一点， 则关于轴对称的点为，且在直线上， 代入可得，即. 故选：C. 9．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设出对称点为，根据对称点求解的方法得到方程组，解出即可. 【详解】设对称点为，由题意可知， 解得，所以对称点为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 11．直线关于点对称的直线的方程为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 12．与直线关于点对称的直线方程是_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】 由两直线对称得，由此设直线的方程，再利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线关于点对称，所以，且点到两直线的距离相等， 设直线为，则，解得或（舍去）， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】先求得两直线的交点坐标，再求得直线上一点，关于直线的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 由方程，令，可得，即直线过点， 设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以，所以对称直线的方程为，即. 故答案为：. 14．（直线关于直线对称的直线方程为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程. 【详解】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 题型三：三角形问题 1．（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 2．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 3．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以，    所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故选：D 4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    5．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据动点，满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线：与：上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离. 故答案为： 6．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】三角形面积公式及其应用、坐标法的应用——点到直线的距离 【详解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 7．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程、求到两点距离相等的直线方程 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 题型四：光线反射问题 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【详解】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 2．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求得关于轴的对称点，即可求解. 【详解】关于轴的对称点坐标分别为， 由对称性可知反射光线经过，， 所以反射光线所在直线方程为， 即. 故选：C 3．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】设初始入射点设，确定入射点和反射点的坐标从而利用直线的点斜式方程得入射与反射直线，利用点在线段，，，上从而可得对应坐标范围，建立的不等关系，根据的范围得的取值范围即可. 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】由点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得点坐标，由此能求出光线所在的直线方程． 【详解】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在上的处， 由于光线从点经两次反射后又回到点， 根据反射规律，则 作出点关于的对称点，作出点关于的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点关于轴的对称点 设点关于直线的对称点 所以，解得， 所以直线，即 联立，得， 所以直线，即光线L所在的直线方程为 故选：C． 6．（25-26高二上·新疆·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于轴对称，可知反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，由此求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点关于轴对称的点， 由和确定反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 7．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 8．（24-25高三·全国·一轮复习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 9．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【详解】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 题型五：将军饮马问题 1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案. 【详解】， ， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：B. 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小， 由题知，点满足： ，解得：，，即点， 因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：D 4．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】首先求出点关于的对称点为，再利用对称性，转化长度和，即可求解. 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得：，，即， 由对称性可知，， 则，如图饮马点为与的交点， . 故答案为：. 5．（24-25高二上·河北保定·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故答案为： 6．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可. 【详解】    由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为， 则，解得即． 将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又， 所以直线的方程为， 设将军在河边饮马的地点为， 则即为与的交点， ，解得， 所以． 故答案为： 题型六：直线的综合问题 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】三角形面积公式及其应用、坐标法的应用——点到直线的距离 【详解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.8 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程、求平行线间的距离 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 3．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)17 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】（1）求出边所在直线的斜率，根据直线的点斜式方程，写出边所在直线的方程； （2）利用两点间距离公式求边的长度，利用点到直线的距离公式求边上的高，进而求得的面积. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. （2）线段， 设为点到直线的距离，则， . 即的面积为. 4．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、求到两点距离相等的直线方程、将军饮马问题求最值 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 5．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. (1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出取得最小值时的直线的方程，然后分别计算两个三角形的面积即可. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， ， 由基本不等式可得， 当且仅当即时，取等号， 此时直线的方程为，即， 点到直线的距离， 点到直线的距离， ， ， 所以， 故当取得最小值时，直线平分的面积. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $