1.5 平面上的距离（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“平面上的距离”核心内容，系统梳理两点间距离公式、点到直线距离公式、两平行线间距离公式，构建从公式直接应用到几何问题转化（如对称、最值）的递进式学习支架，衔接直线方程与后续圆的知识。 资料以“课标要点-知识点-拓展-题型”分层设计，通过“随学随练”“解题贴士”培养数学思维（如分类讨论、数形结合），结合“将军饮马”等实例渗透数学眼光，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

第一章 直线与方程 1.5 平面上的距离 课标要点 1. 掌握两点间距离公式、点到直线距离公式、两条平行线间距离公式，能进行直接代入计算。 2. 学会将几何最值、位置判断问题转化为平面距离问题，用代数方法解决平面几何度量问题。 3. 提升数学运算与数形结合素养，能结合直线方程灵活选用公式，规范解题步骤。 学习重难点 重点： 1. 熟记并熟练运用三大距离公式，准确代入坐标、直线一般式完成计算。 2. 会把两平行线距离转化为点到直线距离进行求解。 3. 利用距离公式判断点与直线、两直线的位置关系。 难点： 1. 处理含参数直线方程时，分类讨论避免丢解，化简含根式的距离代数式。 2. 几何最值题型中，数形结合快速找到最短、最长距离的几何模型。 3. 根据题目条件灵活选择公式，合理变形直线方程，简化繁杂运算。 知识点 两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 特别提醒 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 随学随练 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 2．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【详解】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 3．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【详解】因为点表示数，所以，由，得， 点表示数，向右平移个单位后，点表示的数为， 所以，解得或， 又因为、在原点两侧，所以，故舍去，即可得. 知识点 点到直线的距离公式（重点） 点到直线的距离为． 特别提醒 （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 随学随练 1．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 2．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 3．（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 知识点 两平行线间的距离（重点） ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 特别提醒 （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 随学随练 1．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 拓展 对称大法 （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 活学活用 1．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 2．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 3．（24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 拓展 距离和差最值 最值问题 技巧总结 ①求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法 当两点在直线的两侧时，可以在直线上找到一点,使得最大. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接并延长交于点，连接,则点即为所求点，此时最大.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之差小于第三边）即 ②求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法 当两点在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得最小. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接交于点，连接,则点即为所求点，此时最小.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之和大于第三边）即 活学活用 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    3．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 题型 对称问题 解题贴士 点关于点对称利用中点坐标公式直接求解；点关于直线对称，紧抓两点：连线与对称轴垂直、两点中点在对称轴上，联立方程解对称点坐标。直线关于点对称，找直线上两点求对称点再定直线；直线关于直线对称，优先取特殊点求对称点，两直线相交可结合夹角公式。圆的对称只需圆心对称、半径不变。解题多用数形结合，遇到参数优先定点分析，巧用特殊值简化运算，避开繁杂联立计算。 ▌例1（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. ▌例2（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B ▌对点练1-2．（25-26高二上·江苏泰州·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 【答案】ABC 【分析】应用点线距离公式求点线距离判断A，将点代入直线方程确定等式是否成立判断B，先求出坐标轴上的截距，进而求出围成的三角形的面积判断C，应用两点式求斜率，结合直线方程判断两直线是否垂直判定D. 【详解】A：由题设，原点到直线的距离为，对， B：由， 所以任意，点在直线上，对， C：令，则， 令，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对， D：由原点与点所成直线的斜率为， 而直线的斜率为，显然其不与直线垂直， 所以原点与点不关于直线对称，错. 故选：ABC ▌对点练1-3．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 题型 两点间的距离 解题贴士 已知两点坐标直接套用公式，优先整理坐标差值再平方，减少计算失误。遇到动点最值，常结合距离公式转化几何模型，如圆上动点定点距离最值看圆心连线。含参数问题，先化简根式表达式，利用配方求最值。牢记横纵坐标差值平方和开根号，灵活结合中点公式，可快速检验坐标正误，运算时优先约分，简化根号化简步骤，提升运算准确率。 ▌例1（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图，    所以. 故答案为：. ▌例2（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 ▌对点练1-1（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. ▌对点练1-2（25-26高二上·安徽合肥·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高所在直线的交点）依次位于同一直线上；这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（   ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程. 【详解】设的重心为，外心为， 因为，，，，， 所以重心坐标为，又直线的垂直平分线方程为， 故可设的坐标为， 解得，即 欧拉线方程为：，即： 故选：A. ▌对点练1-3（25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】对于A，分和两种情况讨论即可判断，对于B，由，令，解出即可判断，对于C，由，又，解出即可求解，对于D，先求点关于对称点，由，利用两点间距离即可求解. 【详解】对于A，由直线不经过第三象限， 当时，直线不经过第三象限，所以， 当时，直线不经过第三象限，所以， 故A错误； 对于B，由题意有，令，得， 解得，所以方程表示的直线都经过定点，故B正确； 对于C，由，又，所以或，故C错误； 对于D，由关于轴的对称点为，所以，所以的最小值是5，故D正确； 故选：BD. 题型 点到直线的距离 解题贴士 先将直线化为一般式Ax+By+C=0，再代入距离公式。务必保留绝对值避免符号错误，计算前可对方程约简公因数简化运算。平行线距离转化为一点到另一直线距离。最值问题借助几何意义快速分析，含参数要讨论直线斜率不存在特例。运算时分步化简根式，先算分子再处理分母，降低计算出错率。 ▌例1（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. ▌例2（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. ▌对点练1-1（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. ▌对点练1-2（25-26高二上·江苏淮安·期中）分别求满足下列条件的直线方程. (1)过原点，且经过直线与直线的交点； (2)斜率为，且到点的距离为. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线交点的坐标，设所求直线方程为，将交点坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】（1）联立得，故直线与直线的交点为， 根据题意，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入直线方程得，故所求直线方程为. （2）设所求直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 故所求直线的方程为，即或. ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 题型 两平行直线间的距离 解题贴士 先把两条平行线统一整理为Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0，保证x、y系数完全相同，再用距离公式。先约去方程公因数简化系数，切勿直接混用不同系数式子。可任选一条直线上定点，转化为点到直线距离求解。遇到斜率不存在的竖直线，直接用横坐标差值计算，省去公式运算，时刻留意系数未统一的易错陷阱。 ▌例1（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知直线与直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离. 【答案】(1)0或7 (2) 【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可. （2）先利用直线平行求出，然后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，直线与的斜率分别为：， 若，则， 即，解得：或， 故实数的值为0或7； （2）由（1）知直线与的斜率分别为：， 若，则，即，解得：， 此时，直线的方程为，直线的方程为， 将两直线方程分别化为和， ∴直线与之间的距离. ▌例2（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. ▌对点练1-1（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，利用两平行线之间的距离公式求得距离表达式，再利用判别式法求得函数值域即可求得距离范围. 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C ▌对点练1-2（25-26高二上·湖南岳阳·期末）（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 B．样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为16 C．“”是“直线与垂直”的充要条件 D．已知事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件A，B都不发生的概率是 【答案】BC 【分析】A:利用平行线间的距离公式，计算即可判断，对于B，根据题意结合百分位数定义计算判断B，应用垂直关系得出系数关系结合充分必要条件定义判断C，应用概率的基本性质结合已知条件计算即可判断D． 【详解】对于选项A：由平行线间的距离公式：，故A正确； 对于B， 由，故数据4，8，12，16，20的第分位数为第四个数和第五个数的平均数，故B错误； 对于C，当时，直线与满足，所以直线垂直， 直线与垂直则，即，不一定， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件，C选项错误； 对于D，事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， ， 则事件A，B都不发生的概率是，D选项正确； 故选：BC. ▌对点练1-3（25-26高一上·河北邯郸·期末）两平行直线与间的距离为______. 【答案】/ 【分析】根据两直线平行的性质可求得参数，然后利用两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得； 此时两直线方程分别为：与， 所以两条直线间的距离为. 故答案为：. 题型 线段和与差的最值问题 解题贴士 和的最小值常用将军饮马，作定点对称点，连接对称点与另一定点，连线长度即为最短距离，交点为动点位置。差的最大值依据三角形三边关系，两定点连线与直线交点为动点，差值最大等于两定点间距。优先数形结合，遇到圆上动点结合圆心分析，斜率不存在直线单独验算。化简坐标运算，少联立复杂方程，利用对称规避冗长计算，快速锁定最值。 ▌例1（25-26高二上·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 ▌例2（25-26高二上·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以，    所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故选：D ▌对点练1-2（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. ▌对点练1-3（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 【答案】，12 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故P的坐标为时，取到最小值为12. 基础通关 1．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 2．（素养拓展02直线中的对称问题（思维导图 5大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 3．（2026·陕西商洛·三模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）平行直线与之间的距离是__________． 【答案】 【详解】由两条平行线间的距离公式得直线与之间的距离为. 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】/ 【分析】 先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果． 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为． 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 7．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，直线平行， 则直线与间的距离为. 8．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知点，点，则原点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，， 而，则，即， 在中，原点到直线的距离为. 9．（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两条平行直线间的距离求解. 【详解】变形为， 与之间的距离. 故选：D. 10．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 素养提升 1．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）（多选）如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】以为原点建立直角坐标系，再分别求出各点坐标，利用两点距离公式即可判断选项ABC，再利用三角形面积公式即可判断选项D. 【详解】如图，以为原点建立直角坐标系， 则，又，，， 所以，，，又 点，分别是和边的中点，所以 ，，则直线的方程为 ，直线的方程为， 联立解得，即, 又直线的方程为， 联立解得，即， 选项A．则， ， 所以，A正确. 选项B.，B正确. 选项C.，C错误. 选项D．因为到直线：的距离为 ，所以 ，D正确. 2．（2026高三·全国·专题练习）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求： (1)点对应的区域的面积； (2)的取值范围； (3)的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程根的情况得到关于的不等式组，在坐标系中作出不等式组表示的区域，即表示的区域即可求面积. （2）利用表示的是点和连线的斜率，算出，即可得到取值范围. （3）表示区域内的点与定点之间距离的平方，再算出，，即可得到范围. 【详解】（1）方程的两根在区间和上的几何意义分别是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内， 由此可得不等式组． 由，解得． 由，解得． 由，解得． ∴如图所示的坐标平面内，满足约束条件的点对应的平面区域为（不包括边界）．    设为到轴的距离，则． （2）的几何意义是点和连线的斜率． ，， 由图可知， ，即． （3）表示区域内的点与定点之间距离的平方， 又，，， ． 3．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线向量等于两邻边向量之和，计算向量模长即得的长； （2）先设轴上点的坐标，通过向量点积为0求出的坐标，再用向量夹角公式计算. 【详解】（1）由已知点坐标可得：， 因为四边形为平行四边形，所以对角线， 因此； （2） 设，则， 由得：，解得，即， 进而得，根据向量夹角公式： . 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【详解】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 迁移创新 1．（2026·山东菏泽·二模）（多选）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有（） A．若，，则 B．若，，其中，则的最小值为 C．若，，其中，则的最小值为1 D．若，，则对任意实数，都有 【答案】ACD 【分析】A选项直接按1阶曼哈顿距离公式代入数值计算得结果为6判定正确，B选项，举反例取点，判断，进一步得出B错误；C选项把1阶距离最小值问题转化为指数曲线与直线的最短曼哈顿距离，通过切线找切点与垂足代入计算得最小值为1判定正确，D选项换元三角代换化简3阶、4阶距离表达式，利用正弦幂函数单调性比较大小，推得3阶距离恒大于4阶距离判定正确. 【详解】对于A：，故正确. 对于B：， ，，， . 取点在曲线上，点在直线上，，B选项错误. 对于C，点在曲线上运动，点在直线上运动，要使最小， 则两点距离最小.如图，平移直线与曲线相切， 根据切线不等式，当且仅当时等号成立， 则切线为，切点为， 过切点作直线的垂线，则垂线所在直线方程为， ；联立可易得垂足坐标为，故当最小，为，故正确；    对于D：，，，，. 由，得，令. 则， 所以. 因为，所以. 所以， 所以，D正确. 2．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式将方程有两组实数解问题转化为判断定点到动直线的距离等于定长的直线条数，进而求解即可. 【详解】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成两点间距离的平方，再利用点到直线距离求解. 【详解】由，得. 设，当时为增函数，而， 所以. 所以方程转化为. 而即为点到点的距离的平方， 而点满足， 则的最小值即为点到直线距离的平方的最小值， 即的最小值.而， 设，则在为增函数， 所以，则. 所以最小值为. 4．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知，其中.点M，N分别满足，其中，直线CM与直线DN交于点，则下列选项中错误的是（   ） A．直线CM与直线DN斜率乘积为 B．当时，面积最大值为 C．当时，存在点，使得 D．若的最大值为 【答案】C 【分析】对于A项，求出点M与点N的坐标，再求直线CM与直线DN斜率即可判断；对于B项，由向量坐标求出面积函数，再研究最值即可判断；对于C项，解出点坐标，求解即可判断；对于D项，求出，研究最值即可判断. 【详解】对于A项，因为， ， 所以， 所以，所以 又因为，所以，所以. 于是直线CM的斜率为， 直线DN的斜率为， 所以，故A正确； 对于B项，当时，点， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立可解得交点， 于是，， 所以， 因为，所以， 设，则， 所以， 当且仅当时等号成立，所以面积最大值为，故B正确； 对于C项，当时，，，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立可解得交点. 若，则， 化简整理可得， 进而解得或，与矛盾， 所以不存在点，使得，故C错误； 对于D项，因为，，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立可解得交点， 所以 设，则 因为，所以， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，故D正确. 故选：C. 5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两条直线的定点，再求交点的轨迹，最后计算直线的斜率的最值之和. 【详解】直线整理为， 令，得定点； 直线整理为， 令，得定点； 因为，所以，则交点在以为直径的圆上. 的中点为，半径， 圆的方程为. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为. 故选： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线与方程 1.5 平面上的距离 课标要点 1. 掌握两点间距离公式、点到直线距离公式、两条平行线间距离公式，能进行直接代入计算。 2. 学会将几何最值、位置判断问题转化为平面距离问题，用代数方法解决平面几何度量问题。 3. 提升数学运算与数形结合素养，能结合直线方程灵活选用公式，规范解题步骤。 学习重难点 重点： 1. 熟记并熟练运用三大距离公式，准确代入坐标、直线一般式完成计算。 2. 会把两平行线距离转化为点到直线距离进行求解。 3. 利用距离公式判断点与直线、两直线的位置关系。 难点： 1. 处理含参数直线方程时，分类讨论避免丢解，化简含根式的距离代数式。 2. 几何最值题型中，数形结合快速找到最短、最长距离的几何模型。 3. 根据题目条件灵活选择公式，合理变形直线方程，简化繁杂运算。 知识点 两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 特别提醒 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 随学随练 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 2．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 知识点 点到直线的距离公式（重点） 点到直线的距离为． 特别提醒 （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 随学随练 1．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 2．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 知识点 两平行线间的距离（重点） ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 特别提醒 （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 随学随练 1．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 拓展 对称大法 （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 活学活用 1．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 3．（24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 拓展 距离和差最值 最值问题 技巧总结 ①求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法 当两点在直线的两侧时，可以在直线上找到一点,使得最大. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接并延长交于点，连接,则点即为所求点，此时最大.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之差小于第三边）即 ②求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法 当两点在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得最小. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接交于点，连接,则点即为所求点，此时最小.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之和大于第三边）即 活学活用 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 3．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 题型 对称问题 解题贴士 点关于点对称利用中点坐标公式直接求解；点关于直线对称，紧抓两点：连线与对称轴垂直、两点中点在对称轴上，联立方程解对称点坐标。直线关于点对称，找直线上两点求对称点再定直线；直线关于直线对称，优先取特殊点求对称点，两直线相交可结合夹角公式。圆的对称只需圆心对称、半径不变。解题多用数形结合，遇到参数优先定点分析，巧用特殊值简化运算，避开繁杂联立计算。 ▌例1（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. ▌例2（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． ▌对点练1-2．（25-26高二上·江苏泰州·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 ▌对点练1-3．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 题型 两点间的距离 解题贴士 已知两点坐标直接套用公式，优先整理坐标差值再平方，减少计算失误。遇到动点最值，常结合距离公式转化几何模型，如圆上动点定点距离最值看圆心连线。含参数问题，先化简根式表达式，利用配方求最值。牢记横纵坐标差值平方和开根号，灵活结合中点公式，可快速检验坐标正误，运算时优先约分，简化根号化简步骤，提升运算准确率。 ▌例1（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. ▌例2（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． ▌对点练1-1（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 ▌对点练1-2（25-26高二上·安徽合肥·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高所在直线的交点）依次位于同一直线上；这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（   ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为 A． B． C． D． ▌对点练1-3（25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 题型 点到直线的距离 解题贴士 先将直线化为一般式Ax+By+C=0，再代入距离公式。务必保留绝对值避免符号错误，计算前可对方程约简公因数简化运算。平行线距离转化为一点到另一直线距离。最值问题借助几何意义快速分析，含参数要讨论直线斜率不存在特例。运算时分步化简根式，先算分子再处理分母，降低计算出错率。 ▌例1（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 ▌例2（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 ▌对点练1-1（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 ▌对点练1-2（25-26高二上·江苏淮安·期中）分别求满足下列条件的直线方程. (1)过原点，且经过直线与直线的交点； (2)斜率为，且到点的距离为. ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 题型 两平行直线间的距离 解题贴士 先把两条平行线统一整理为Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0，保证x、y系数完全相同，再用距离公式。先约去方程公因数简化系数，切勿直接混用不同系数式子。可任选一条直线上定点，转化为点到直线距离求解。遇到斜率不存在的竖直线，直接用横坐标差值计算，省去公式运算，时刻留意系数未统一的易错陷阱。 ▌例1（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知直线与直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离. ▌例2（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·湖南岳阳·期末）（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 B．样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为16 C．“”是“直线与垂直”的充要条件 D．已知事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件A，B都不发生的概率是 ▌对点练1-3（25-26高一上·河北邯郸·期末）两平行直线与间的距离为______. 题型 线段和与差的最值问题 解题贴士 和的最小值常用将军饮马，作定点对称点，连接对称点与另一定点，连线长度即为最短距离，交点为动点位置。差的最大值依据三角形三边关系，两定点连线与直线交点为动点，差值最大等于两定点间距。优先数形结合，遇到圆上动点结合圆心分析，斜率不存在直线单独验算。化简坐标运算，少联立复杂方程，利用对称规避冗长计算，快速锁定最值。 ▌例1（25-26高二上·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. ▌例2（25-26高二上·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 基础通关 1．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 2．（素养拓展02直线中的对称问题（思维导图 5大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 3．（2026·陕西商洛·三模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）平行直线与之间的距离是__________． 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 7．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知点，点，则原点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 9．（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 素养提升 1．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）（多选）如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求： (1)点对应的区域的面积； (2)的取值范围； (3)的值域． 3．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 迁移创新 1．（2026·山东菏泽·二模）（多选）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有（） A．若，，则 B．若，，其中，则的最小值为 C．若，，其中，则的最小值为1 D．若，，则对任意实数，都有 2．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知，其中.点M，N分别满足，其中，直线CM与直线DN交于点，则下列选项中错误的是（   ） A．直线CM与直线DN斜率乘积为 B．当时，面积最大值为 C．当时，存在点，使得 D．若的最大值为 5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $