2.1 圆的方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦“圆与方程”核心知识，以圆的标准方程为起点，通过定义推导方程形式，结合待定系数法、几何法探究求法，衔接点与圆位置关系判定，延伸至实际应用问题，再过渡到圆的一般方程，形成从具体到抽象的知识支架。 资料以“小时不识月”诗句导入激发兴趣，用几何法、待定系数法等培养数学思维，通过拱桥问题等实际情境强化数学语言应用。母题探究与分层检测设计，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升数学素养。

第2章 圆与方程 2.1 圆的方程 第1课时 圆的标准方程 新课导入 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,在文学作品中有大量描写:小时不识月,呼作白玉盘.又疑瑶台镜,飞在青云端 ，如果把天空看作一个平面,月亮当作一个圆,那么我们如何确定该圆的方程呢? 学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用直接法和待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系. 3.能用圆的标准方程解决一些实际应用问题. 新知学习 探究 一 圆的标准方程 思考1．圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 思考2．已知圆心为，半径为，设圆上任一点，你能得到,的关系吗？ 提示 ，由两点间的距离公式，得，两边平方，得. ［知识梳理］ 【答案】定长； 圆心； 半径； ［例1］ 求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的标准方程. 【解】 方法一（待定系数法） 设圆的标准方程为， 则有 解得 所以圆的标准方程是. 方法二（几何法） 由题意，是圆的弦，的中点坐标为,，且，即 的垂直平分线为，即，弦的垂直平分线过圆心，由 得 即圆心坐标为，半径. 所以圆的标准方程是. 母题探究．求经过点和坐标原点且周长最小的圆的标准方程. 解：当线段 为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段 的中点,为圆心，为半径，故所求圆的标准方程为. 求圆的标准方程的方法 （1）待定系数法 （2）几何法：求圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. ［跟踪训练1］． （1） [（2025·武汉期中）]已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. （2） 已知圆的圆心为，该圆的一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） A 【解析】 （1） 选.由题知,且 的中点坐标为，故线段 的中垂线方程为，故圆心在直线 上，与 联立，可得圆心为，所以半径为，故圆 的方程为. （2） 选.设直径的两个端点分别为,，圆心 为,由中点坐标公式，得,，解得,.所以半径，所以圆的方程是.故选. 二 点与圆的位置关系 思考．平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示 分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置. ［知识梳理］ 已知圆，圆心为，点，设. 位置关系 与的大小 图示 点的坐标的特点 点在圆外 ①_ _ _ _ ②_ _ _ _ 点在圆上 ③_ _ 点在圆内 ④_ _ ⑤_ _ 【答案】； ； =； ； ［例2］ 已知两点和，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，,是在圆上、在圆内、还是在圆外. 【解】 由题可知圆心坐标为，圆的半径 ， 所以圆的标准方程为. 分别计算点，，到圆心 的距离： , , , 所以点 在圆外，点 在圆上，点 在圆内. 判断点与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断. ［跟踪训练2］． （1） （多选）已知圆，则下列点在圆内的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知点在圆的外部，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） BC （2） 【解析】 （1） 选.对于，因为，所以点 在圆上，所以 不符合题意；对于，因为，所以点 在圆内，所以 符合题意；对于，因为，所以点 在圆内，所以 符合题意；对于，因为，所以点 在圆外，所以 不符合题意. （2） 由题意得，即，可得 或. 所以实数 的取值范围为. 三 圆的标准方程的实际应用 ［例3］ （对接教材例2）已知某河上有一座跨度为的圆形拱桥，其圆拱高为，一艘载有货物的船宽为，水面到船顶高为,问该船能否顺利通过该桥？ 【解】 以圆形拱桥与水面的交线所在的直线为 轴，过圆拱最高点且垂直于水面的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设圆拱所在圆的圆心坐标为,半径为, 则圆的标准方程为. 分别将点，代入上式， 得 解得 所以圆的标准方程为. 因为船宽为,水面到船顶高为, 所以判断该船能否通过该桥，即判断点 与圆的位置关系. 因为, 所以点 在圆内，故该船能顺利通过该桥. 解决圆的实际应用题的步骤 ［跟踪训练3］．某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意，建立平面直角坐标系如图所示，则，，，，，其中 为圆拱所在圆的圆心. 设圆拱所在的圆的方程为，则 解得，，则圆形拱桥的水面跨度为. 课堂巩固 自测 1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.圆心为，半径为2的圆的标准方程为. 2．（多选）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 点在圆内 C. 圆的半径为5 D. 点在圆内 【答案】ABC 【解析】选.圆 的圆心为，半径为5，，正确；由，得点 在圆内，正确；由，得点 在圆外，错误. 3．若点不在圆的外部，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，且，化简得，解得. 4．已知三点，,,以为圆心作一个圆，使得，，三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程. 解：由题设知，，，，所以，要使，，三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以 为半径，故圆的方程为. 1.已学习：（1）圆的标准方程. （2）点与圆的位置关系. （3）圆的实际应用. 2.须贯通：（1）求圆的标准方程的方法. （2）判断点与圆的位置关系的方法. 3.应注意：求圆的标准方程时易漏解. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知圆的标准方程为，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为圆的标准方程为，所以圆心坐标为. 2．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意，设圆心坐标为，半径，可设圆的标准方程为，由圆过点 可得，解得，则所求圆的标准方程为. 3．曲线与轴围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.曲线的方程可化为，即，所以这条曲线与 轴围成的区域是一个半径 的半圆，其面积为 . 4．已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】选.由,是方程 的两个不等实数根，得，,则，所以点 在圆 外. 5．已知点,,，则外接圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.如图所示，易得 外接圆的圆心为，所以,所以所求圆的标准方程为. 6．（多选）下列方程中表示圆心在直线上，半径为，且过原点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】选.因为圆心在 上，所以设圆心为,因为圆的半径为， 所以圆的标准方程为, 因为该圆过原点，所以， 解得, 所以圆心为 或,当圆心为 时，圆的标准方程为，正确; 当圆心为 时，圆的标准方程为，正确. 7．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】圆 的圆心为，因为直线 是圆的一条对称轴，所以圆心 在直线 上，所以，解得，故圆心坐标为. 8．以,为一条直径的两个端点的圆的标准方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,，所以线段 的中点坐标为,， 即， ， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为，所以所求圆的标准方程是. 9．已知两条直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】由 解得 则直线 与 的交点坐标为， 依题意，， 解得， 所以实数 的取值范围是,. 10．（13分）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴、轴分别交于点,，圆经过,,三点. （1） 求圆的标准方程；（5分） （2） 判断点,,是否在圆上.（8分） 【答案】 （1） 解：由题可得，,又，设所求圆的方程是， 由题意得 解得 故圆 的标准方程为. （2） 由（1）得圆 的标准方程为. 代入 得，故点 在圆 上； 代入 得，故点 在圆 外； 代入 得，故点 在圆 内. B 能力提升 11．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意可得，圆 的圆心坐标为，圆 和圆 的半径均为2，设圆心 关于直线 的对称点为， 则 解得 所以圆 的标准方程为. 12．（多选）设圆，则下列命题正确的是（ ） A. 所有圆的面积都是 B. 存在，使得圆过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上 【答案】AD 【解析】选.对于，由于每个圆的半径都是2，故面积都是 ，故 正确； 对于，由于,故圆 必定不过点，故 错误； 对于，对于 和，均有，故，即圆 经过点，故 错误； 对于，圆心 始终在直线 上，故 正确. 13．（15分）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为. （1） 建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；（7分） （2） 求桥面在圆拱内部分的长度.（参考数据：，结果精确到）（8分） 【答案】 （1） 解：设圆拱所在圆的圆心为，以 为原点，的方向为 轴正方向， 中垂线向上方向为 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系. 设 与 轴交于点，与 轴交于点，连接， 设圆的半径为，则，，， 在 中，， 即，解得， 所以， 所以圆拱所在圆的方程为. （2） 由题意得，，令，得， 所以， 所以， 所以. 所以桥面在圆拱内部分 的长度约为. 14．（15分）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1） 求圆的标准方程；（6分） （2） 点在圆上运动，求的取值范围.（9分） 【答案】 （1） 解：由圆经过，两点，得圆心在 的中垂线 上， 又圆心 在直线 上， 联立 得 即圆心为，又， 故圆 的标准方程为. （2） 设，易知， 则， 因为点 在圆 上运动， 则， 故 式可化简为，由 得 的取值范围为. C 素养拓展 15．已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得 ，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】选.显然，因为 ，所以， 所以要求 的最小值即求圆 上点 到原点 的最小距离， 因为，所以，即 的最小值为4. 第2课时 圆的一般方程 新课导入 给出如下方程,常数,,,,,适当取值，能表示直线吗？能表示二次函数对应的抛物线吗？能表示圆吗？圆的标准方程与上述方程有何关系？这就是这节我们需要解决的问题. 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 新知学习 探究 一 圆的一般方程的概念 思考1．圆的标准方程可否化为二元二次方程的一般形式？ 提示 可以，圆的标准方程 展开得到，令，，，则 是二元二次方程的一般形式. 思考2．方程一定表示圆吗？举例说明. 提示 不一定，如，表示坐标原点；如，不能表示任何曲线. ［知识梳理］ 1.方程叫作圆的一般方程. 2．方程表示的图形 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 表示以点②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为圆心，③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为半径的圆 【答案】； ； ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 圆的一般方程可以化为圆的标准方程.（ ） （2） 方程是圆的方程.（ ） （3） 若方程表示圆，则有.（ ） （4） 利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） √ （4） × 2．已知圆的一般方程为，则半径为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】选.因为圆的一般方程为,所以圆的标准方程为，所以圆的半径为3. 3．已知圆的一般方程为，则该圆的半径的最小值为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】圆 的方程 可化为，半径为，当 时，圆 的半径取得最小值. 4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】因为点 在圆 的外部， 所以 即 解得. 判断二元二次方程表示圆的两种方法 （1）配方法：对形如的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆. （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断与0的关系，确定它是否表示圆. 注意 在利用来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意与的系数. 二 求圆的一般方程 ［例1］ 求满足下列条件的圆的一般方程. （1） 圆心在直线上，与轴相交于，两点； （2） 经过的三个顶点，，． 【答案】 （1） 【解】设圆的一般方程为， 则圆心坐标为,. 由题意得 解得 故所求圆的一般方程为. （2） 设所求圆的一般方程为,因为点，，在所求的圆上， 所以 解得 故所求圆的一般方程为. 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为； （2）根据已知条件，建立关于，，的方程组； （3）解此方程组，求出，，的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. ［跟踪训练1］．已知,,. （1） 求的外接圆的一般方程； （2） 点在的外接圆上，试求的值. 【答案】 （1） 解：设 外接圆的方程为， 由题意得 解得 即 的外接圆的一般方程为. （2） 因为点 在（1）所求的圆上，故点 的坐标满足圆的方程，可得，即，解得 或. 三 与圆有关的动点的轨迹问题 ［例2］ （对接教材例4）已知点是圆上的定点，点是圆内一点，为圆上的动点. （1） 求线段的中点的轨迹方程； （2） 求过点的弦的中点的轨迹方程. 【答案】 （1） 【解】设线段 的中点，由中点坐标公式，得点 的坐标为. 因为点 在圆 上， 所以，故线段 的中点 的轨迹方程为. （2） 设. 因为点 是弦的中点， 所以 为坐标原点. 方法一:当，斜率都存在时，有，即，整理得. 当 或 时，点，，，也都满足方程.故所求轨迹方程为. 方法二：易得,，整理得. 方法三：由圆的几何性质可知，点 一定在以线段 为直径的圆上，此时圆心坐标为，，半径为,所以点 的轨迹方程为，整理得. 母题探究．若也是圆上的动点，且 ，求线段的中点的轨迹方程. 解：设线段 的中点， 在 中，. 设 为坐标原点，连接（图略），则，所以，所以，故线段 的中点 的轨迹方程为. 求轨迹方程的三种常用方法 注意 （1）若要求某点的轨迹，须在求出轨迹方程后说明轨迹是什么样的图形. （2）在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除（增加）的点. ［跟踪训练2］．在等腰三角形中，若一腰的两个端点分别为，，为两腰的交点，求另一腰的一个端点的轨迹方程. 解：方法一:设点 的坐标为，因为 为等腰三角形，且 为两腰的交点，所以. 又因为， 所以， 所以. 又因为，，三点不能共线， 当 为线段 的中点时，点坐标为，所以点 的轨迹方程为 去掉,两点. 方法二：设点 的坐标为，因为 为等腰三角形，且 为两腰的交点，所以. 所以点 在以 为圆心，为半径的圆上，所以该圆的方程为. 又因为，，三点不能共线，当 为线段 的中点时，点坐标为，所以点 的轨迹方程为 去掉,两点. 拓视野 圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则 为参数.这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中 的几何意义是转过的角度. 当圆心为，半径为的圆的标准方程是时，其参数方程为： 为参数. ［典例］ 已知点是曲线上的动点，点的坐标为，点的坐标为，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，则，，所以，因为，所以，即 的取值范围为. ［练习1］．已知实数，满足，则的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 得，所以可设 为参数,则,因 为，所以 的最大值是. ［练习2］．已知是圆上一动点，,为的中点，为坐标原点，则点的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图所示，因为圆 的参数方程为 为参数，所以设点，则,， 令,,所以,,所以点 在圆心为，半径为 的圆上，即点 的轨迹方程为. 课堂巩固 自测 1．圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】选.由圆的一般方程可知圆心坐标为，半径. 2．[（2025·宿迁期中）]如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.方程 表示圆心为 的圆，由题意可知圆心 在直线 上， 则,即. 3．在平面直角坐标系中，过直线与两坐标轴的交点及点的圆的一般方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】令，得，解得，所以直线 与 轴的交点为, 令，得，解得，所以直线 与 轴的交点为, 设圆的一般方程为,因为，，三点都在圆上， 所以 解得 故所求圆的一般方程为. 4．在平面直角坐标系中，线段的两个端点，分别在轴和轴上滑动，且，求线段的中点的轨迹方程. 解：设，，线段 的中点， 因为 为线段 的中点，所以,， 因为， 所以，即，得. 所以点 的轨迹方程是. 1.已学习：（1）圆的一般方程. （2）和圆有关的轨迹方程. 2.须贯通：（1）二元二次方程表示圆的判定方法. （2）待定系数法求圆的方程. （3）求轨迹方程的常用方法. （4）圆的一般方程的实际应用. 3.应注意：二元二次方程表示圆的条件. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[（2025·淮安期中）]圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.圆 可化为,所以圆心坐标为. 2．若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为点 在圆 外， 则 解得. 3．已知圆上的所有点都在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. , C. D. , 【答案】A 【解析】选.由，化简可得，则该圆圆心为，半径为3，由题意可得 解得，故实数 的取值范围是. 4．已知圆过点，则圆的圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.圆 过点，则，所以圆心的轨迹方程是. 5．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】选.整理圆的方程得，可知圆心坐标为. 由题意可知直线 过圆心，即，可得， 则 . 当且仅当，即 时，等号成立， 所以 的最小值为16. 6．（多选）已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆关于直线对称 C. 若，则圆过坐标原点 D. 若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 【答案】BCD 【解析】选.对于，圆，所以圆心为，圆的半径，故 错误； 对于，因为圆心 在直线 上，故圆 关于直线 对称，故 正确； 对于，当 时，圆，所以圆 过坐标原点，故 正确； 对于，由 且 或，故 正确. 7．已知圆的周长为 ，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则由题意 ，故，将圆的一般式方程 化为标准式方程得，则. 8．过点，且圆心与圆相同的圆的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】将圆 的方程化为标准方程，圆心 的坐标为，故所求圆的半径为.故所求圆的标准方程为. 9．在平面直角坐标系中，圆（其中，，为实数）的一条直径为，其中，，则的值为_ _ _ _ . 【答案】1 025 【解析】因为，，所以，的中点为，又， 所以以 为直径的圆的方程为，即，所以. 10．（13分）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. （1） ；（4分） （2） ；（4分） （3） .（5分） 【答案】 （1） 解：由方程可知,，, 因为, 所以方程表示圆，又,， 所以圆心为， 圆的半径为. （2） 由方程可知,,，,因为, 所以方程表示点，又，, 所以方程表示的点的坐标是. （3） 原方程可化为,由方程可知，，,因为,所以该方程无实数解，方程不表示任何图形. B 能力提升 11．曲线,不同时为0的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为,不同时为0，所以曲线 可化为 曲线的图象如图所示， 曲线由以,,,四个点为圆心，半径为 的四个半圆弧构成，所以曲线的周长为 . 12．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，若直线的方程为，圆心到直线的距离是1，则的值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设圆 的方程为， 由条件，得 解得 因此圆的一般方程为， 故圆心，因此圆心 到直线 的距离，解得. 13．（13分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，经过，，三个点的圆记为圆,求圆的方程. 解：设所求圆的一般方程为， 由题意得 的图象与两坐标轴的三个交点即为圆 和坐标轴的交点，令 得，，由题意可得，这与 是同一个方程，故，. 令 得，， 由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，所以圆 的方程为. 14．（15分）已知圆经过点，，且恒被直线平分. （1） 求圆的标准方程；（6分） （2） 设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（当点经过点时，规定点与点重合）（9分） 【答案】 （1） 解：直线 恒过点. 因为圆 恒被直线 平分， 所以 恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆 经过点，所以圆的半径，所以圆 的标准方程为. （2） 设.因为 为线段 的中点，所以，因为点 是圆 上的动点， 所以，即， 所以 的轨迹方程为. C 素养拓展 15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图，以 为原点，，所在直线分别为 轴、轴，建立平面直角坐标系， 则，，设， 因为，即， 整理得.所以动点 的轨迹为以 为圆心，4为半径的圆的一部分. 设圆 与线段 交于点，与线段 交于点，因为在 中，，，所以，所以，所以动点 的轨迹长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $