1.4 两条直线的交点（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖直线交点核心题型，通过梯度设计培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|求交点坐标、参数求解|基础题型，直接应用概念，如求两直线交点并求垂直直线方程| |B组|综合应用与几何问题|结合中点、平行垂直条件，如利用交点解决三角形中线问题| |C组|复杂参数与最值问题|含多变量分析，如四边形面积最小化的k值求解| |拓展|高考真题对接|经典高考题型，如分点坐标比例问题|

分层作业 1.4 两条直线的交点 目 录 A组 巩固过关 题型01 求直线交点坐标 题型02根据解的个数求参数 题型03 根据交点坐标求参数 题型04 三线能围成三角形的问题 题型05 直线交点系方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 求直线交点坐标 题型01 1．求过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______. 2．已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 3．若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标为________． 5．设直线：与轴交点 (1)求点坐标 (2)设直线的斜率是直线的斜率的2倍，且直线过点，求直线的方程 根据解的个数求参数 题型02 6．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 7．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 9．写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可） 10．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 根据交点坐标求参数 题型03 11．已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 12．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 13．（多选）已知直线：，：，：，则下列判断正确的是（   ） A．的斜率为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，相交于一点，则 14．已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 15．（多选）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 三线能围成三角形的问题 题型04 16．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 17．（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 18．若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 19．已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 20．（多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 直线交点系方程 题型05 21．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 22．已知点，，是的三个顶点. (1)求证：为锐角三角形； (2)求证：的三条中线交于一点. 23．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 24．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 1．已知直线，，过点作斜率为的直线分别交，于两点，，且为中点，则（   ） A． B． C． D．1 2．经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 5．（多选）以下四个命题是真命题的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则 C．已知直线：与：平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 6．已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 7．经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 8．已知直线 与直线交于点． (1)求过点P且平行于直线的直线的方程； (2)求过点P且垂直于直线的直线的方程. 9．已知直线和的交点为P． (1)若直线经过点P且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点P且与直线互相垂直，又与轴，轴分别交于A，B两点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 10．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 1．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 2．根据下列条件分别写出直线的方程. (1)经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，，求线段的垂直平分线的方程； (3)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 3．求适合下列条件的直线方程： (1)已知两直线，求过直线、的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)已知直线的方程为，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，是坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 4．已知直线. (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值. 5．（多选）下列四个命题中正确的有（ ） A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 1．（2004·湖北·高考真题）已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4 两条直线的交点 目 录 A组 巩固过关 题型01 求直线交点坐标 题型02根据解的个数求参数 题型03 根据交点坐标求参数 题型04 三线能围成三角形的问题 题型05 直线交点系方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )求直线交点坐标 1．求过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______. 【答案】 【分析】先联立两直线方程求出交点的坐标，再根据垂直直线的斜率关系求出所求直线的斜率，最后利用点斜式方程求出直线的方程. 【详解】由直线：和：的交点，则， 即得，，即， 由直线可得斜率为， 又直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 化简整理得. 故答案为： 2．已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先联立和的方程，解出交点，用交点和求斜率，最后用点斜式得方程后整理为. (2)根据垂直关系，由斜率得的斜率为，点斜式得方程后整理为. 【详解】（1）首先求直线和的交点，联立方程：， 解得，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 即直线l的一般方程. （2）直线的方程为，化为斜截式得， 即斜率为：，与垂直的直线斜率满足， 所以直线的斜率为，直线经过交点，由点斜式得： ,化为一般式为. 3．若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两直线的交点，然后根据垂直设出直线l的方程，将交点代入即可得出答案， 【详解】， 所以两直线交点为， 又与直线垂直，所以设l， 将代入得， 所以直线l的方程为， 故选：B. 4．已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据垂直关系求出直线的斜率，然后写出其方程，联立求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，且与直线垂直，所以直线的斜率， 又，所以直线的方程为， 联立解得，即点的坐标为. 故答案为： 5．设直线：与轴交点 (1)求点坐标 (2)设直线的斜率是直线的斜率的2倍，且直线过点，求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，计算即可得； （2）求出直线的斜率可得直线的斜率，再借助点坐标计算即可得. 【详解】（1）令，则有，解得，故； （2）设直线的斜率是直线的斜率的2倍，直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 又直线过点，故. ( 题型0 2 )根据解的个数求参数 6．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 7．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与线段有交点得出不等式求解即可. 【详解】因为直线与线段总有公共点， 所以点和点不同在直线的一侧， 所以， 解得或. 即的取值范围是. 故选：B 8．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 9．写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 10．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B ( 题型0 3 )根据交点坐标求参数 11．已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 12．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 【答案】(1)直线恒过定点 (2) 【分析】（1）把直线的方程化为即可求出恒过的定点； （2）设出点A的坐标，利用P是AB中点表示出点B的坐标，再根据A、B分别在直线上求出A点坐标，最后将A点坐标代入直线的方程求出m. 【详解】（1）证明：可化为， 由于，则，解得， 即直线恒过定点．所以直线恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 因为恰为的中点，所以． 因为分别在直线和直线上， 所以，解得，所以． 将代入直线的方程得：，解得. 13．（多选）已知直线：，：，：，则下列判断正确的是（   ） A．的斜率为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，相交于一点，则 【答案】BC 【分析】将直线方程化为斜截式即可求解斜率判断A选项；由两直线平行与垂直的表示可判断BC选项；联立直线与求出交点坐标，再代入可判断D选项. 【详解】对于A选项：：，即，其斜率为，A错误； 对于B选项：若，则，解得，B正确； 对于C选项：若，则，解得，C正确； 对于D选项：联立：， 若，，相交于一点，等价于点在直线上， 则，解得.D错误. 故选：BC. 14．已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求出结果； （2）作出示意图，求得直线与的方程，又在直线上，求得直线与的交点的坐标，直线与的交点的坐标，可求得的取值范围. 【详解】（1）因为直线与直线平行，所以， 所以，解得，经检验两直线不重合，所以. （2）由题意可得，， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为， 又是直线上的动点， 记直线与直线的交点为，直线与直线的交点为， 因为直线的方程为，令，可得，即， 因为直线的方程为，令，可得，即， 当在上移动时，线段与线段有公共点，故的取值范围为.    15．（多选）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 【答案】BCD 【分析】不能围成三角形可分为两种情况，一是三条直线交于同一个点，联立方程组即可求得的值.二是三条直线中有两条平行，由平行线斜率相等即可求得的值. 【详解】①三条直线交于同一点， 联立方程组得，解得，即. ②三条直线中由两直线平行， ，，， ∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴， 故选：BCD. ( 题型0 4 )三线能围成三角形的问题 16．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 17．（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 18．若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 【答案】 【分析】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【详解】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为： 19．已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 20．（多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD ( 题型0 5 )直线交点系方程 21．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 22．已知点，，是的三个顶点. (1)求证：为锐角三角形； (2)求证：的三条中线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别证明三角形三个内角的余弦值为正数，即可证明为锐角三角形； （2）通过联立两边中线，得到交点，验证其是否在第三边的中线上，即可完成证明. 【详解】（1）证明：因为， 所以，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； 所以，为锐角三角形； （2）证明：设点分别为的中点，易得坐标为. 所以得中线所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，中线所在的直线方程为， 联立，解得交点， 检验可知交点满足中线所在的直线方程， 故的三条中线交于一点. 23．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 24．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 25．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 1．已知直线，，过点作斜率为的直线分别交，于两点，，且为中点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先求出点，斜率为的直线方程的表达式，然后分别与直线方程联立求出点的坐标，最后根据中点求出结果. 【详解】过点，斜率为的直线方程为，即. 联立该直线与直线的方程为： ，解得； ，解得. 因为是线段的中点，所以有. 解得. 故选：C. 2．经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线的方程，解得交点坐标，根据两直线垂直可得所求直线斜率，利用点斜式方程，可得答案. 【详解】由题意联立方程，解得，则直线与的交点为， 由可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 所以过直线与的交点且垂直于的直线方程为，化简可得. 故选：B. 3．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求的欧拉线方程. 【详解】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：B. 4．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出直线的方程，再结合条件，即可求解； （2）设点，根据条件，求出，即可求解. 【详解】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故，又的顶点， 所以所在的直线方程为，即， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得，故点. （2）设点，则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上，所以， 故，解得，即点， 所以，可得， 化简得，故直线的方程为. 5．（多选）以下四个命题是真命题的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则 C．已知直线：与：平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 【答案】BD 【分析】选项A：分离参数求定点，得.选项B：用一般式垂直的条件算得.选项C：用一般式平行条件，并且检验直线重合的情况.选项 D：分截距为0和不为0两种情况推导. 【详解】对于A，可化为， 令 ，解得定点为， 直线恒过定点，所以A错误． 对于B，若，则，解得，所以B正确． 对于C，若，则，解得或， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，所以C错误． 对于D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以直线方程为，故D正确． 故选：BD 6．已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； （2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可． 【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以 因为为菱形，所以，所以， 又，所以，整理得． （2）因为，，所以． 因为为菱形，所以，所以 因为，，所以中点坐标为， 所以 联立方程组， 解得，所以． 7．经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 【答案】 【分析】联立两直线方程，解得交点坐标，然后由截距式求得直线方程. 【详解】联立方程组，解得， 即的交点坐标为， 则过点和点的直线，即， 故答案为： 8．已知直线 与直线交于点． (1)求过点P且平行于直线的直线的方程； (2)求过点P且垂直于直线的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果. （2）设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果. 【详解】（1）由，得，则点， 设过点且平行于直线的直线方程为， 则，解得， 所以直线的方程是. （2）设过点且垂直于直线的直线方程为， 则，解得， 则直线的方程是. 9．已知直线和的交点为P． (1)若直线经过点P且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点P且与直线互相垂直，又与轴，轴分别交于A，B两点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）联立两直线方程求出交点坐标，再由点斜式求出直线l的方程. （2）根据给定条件，求出直线m的方程并求出点的坐标，进而求出的面积. 【详解】（1）由，解得，即得，直线的斜率为， 所以过点P且与直线平行的直线l的方程为，即. （2）由直线经过点P且与直线互相垂直，得直线的方程为， 即，因此直线交轴于点，交轴于点， 所以的面积. 10．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组，求得交点坐标为，设所求直线方程为，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线方程为，分别令和，求得再坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由直线， 联立方程组，解得，即直线与的交点坐标为， 因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为， 将点代入方程，可得， 所以所求直线方程为. （2）解：直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为， 令，可得；令，可得， 令，即，解得或， 得所求直线方程为或. 1．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两条直线的公共定点，求出它们与坐标轴的交点，建立面积的二次函数表达式，再利用二次函数性质求最小值对应的值. 【详解】直线可化为，由 可得，即直线恒过定点， 直线可化为，由， 解得，即直线恒过定点， 由可得，即直线与轴交点为， 由可得，即直线与轴交点为， 则四边形由点围成， 其面积， 当时，取得最小值. 故选：D. 2．根据下列条件分别写出直线的方程. (1)经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，，求线段的垂直平分线的方程； (3)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）联立两直线方程可求出交点坐标，再利用平行性质设出所求方程并将交点坐标代入计算即可得； （2）求出直线斜率后，由垂直性质可得所求方程斜率，再求出中点坐标后即可得； （3）分该直线过原点及该直线不过原点进行讨论即可得. 【详解】（1）联立，解得，即， 设该直线方程为，则有，即， 故该直线方程为； （2），则线段的垂直平分线的斜率， 又中点为，则该直线方程为， 即； （3）当该直线过原点时，设为，则有，解得， 则该直线为，即； 当该直线不过原点时，设为， 则有，解得，即该直线为； 综上，该直线方程为或. 3．求适合下列条件的直线方程： (1)已知两直线，求过直线、的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)已知直线的方程为，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，是坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立直线、的方程，求出点的坐标，对所求直线是否经过原点进行分类讨论，①所求直线过原点，设所求直线方程为；②所求直线不过原点，设所求直线方程为.将点的坐标代入所求直线的方程，求出参数的值，综合可得出所求直线的方程； （2）求出直线所过定点的坐标，设直线的方程为，求出该直线与轴交点的横坐标，与轴交点的纵坐标，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）联立方程，解得，所以点的坐标为， 因为直线在两坐标轴上的截距相等， ①当直线经过原点时，设直线的方程为，将代入得，解得， 故所求直线方程为，即； ②当直线不经过原点时，可设的方程为， 将代入得，解得， 故所求直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由可得，， 令，解得，所以直线过定点． 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴、轴正半轴的交点分别为、， 令，得；令，得． 由题意可知得， 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， 此时直线的方程为，即. 4．已知直线. (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 直线的方程可化为， ，得，则直线恒过定点； (3)6 【分析】（1）先求出点关于直线的对称点，再求出直线的方程即可； （2）将直线的方程化为，再解方程组即可； （3）求出坐标，结合不等式即可. 【详解】（1）时，， 设点关于直线的对称点，则，， 得，即， 则直线的斜率为，则直线的方程为， 故反射光线所在直线的方程为； （2）略 （3）， 令，得，令，得， 因直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 则，，，，得或， 则 利用可得，，等号成立时， 则， 故的最小值为.    5．（多选）下列四个命题中正确的有（ ） A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 【答案】BD 【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，由两直线垂直求得可判断. 【详解】对于A，过点在轴和轴上的截距绝对值相等的直线还有过原点的直线，其方程为，A错误； B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，， 又直线的斜率为，所以或， 解得或，故实数的取值范围为，B正确； 对于C，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，由直线与直线互相垂直， 可得：解得：或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，正确， 故选：BD 1．（2004·湖北·高考真题）已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】首先设点的坐标，再根据条件列出，利用向量的坐标相等，即可求解点的坐标，代入直线方程求. 【详解】设，且， 则，得，解得：, 代入直线，，得. 故选：D 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4 两条直线的交点 参考答案 ( 题型0 1 )求直线交点坐标 1．【答案】 2．【答案】(1)(2) 3．【答案】B 4．【答案】 5．【答案】(1)(2) ( 题型0 2 )根据解的个数求参数 6．【答案】4 7．【答案】B 8．【答案】/ 9．【答案】，3，（写出一个即可） 10．【答案】B ( 题型0 3 )根据交点坐标求参数 11．【答案】(1)(2) 12．【答案】(1)直线恒过定点(2) 13．【答案】BC 14．【答案】(1)(2) 15．【答案】BCD ( 题型0 4 )三线能围成三角形的问题 16．【答案】且 17．【答案】AD 18．【答案】 19．【答案】(1)(2)或(3) 20．【答案】BCD ( 题型0 5 )直线交点系方程 21．【答案】 22．【答案】（1）证明：因为， 所以，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； 所以，为锐角三角形； （2）证明：设点分别为的中点，易得坐标为. 所以得中线所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，中线所在的直线方程为， 联立，解得交点， 检验可知交点满足中线所在的直线方程， 故的三条中线交于一点. 23．【答案】(1)，且，且(2) 24．【答案】A 25．【答案】 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】(1)(2) 5．【答案】BD 6．【答案】(1)(2) 7．【答案】 8．【答案】(1)(2) 9．【答案】(1)；(2)2 10．【答案】(1)(2)或 1．【答案】D 2．【答案】(1)(2)(3)或 3．【答案】(1)或(2) 4．【答案】(1)(2)直线的方程可化为，，得，则直线恒过定点；(3)6 5．【答案】BD 1．【答案】D 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $