1.3 两条直线的平行与垂直（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“两条直线的平行与垂直”核心知识点，从倾斜角、斜率推导判定规则，涵盖斜率存在时k1=k2（平行）、k1k2=-1（垂直）及斜率不存在的特殊情况，延伸至直线系方程及综合应用，构建从基础到进阶的学习支架。 资料亮点在于分层设计，通过易错提醒（如区分平行与重合）培养严谨数学思维，结合平行四边形等实例渗透数形结合的数学眼光，题型示例与分层练习助力课中教学与课后查漏补缺，提升逻辑推理与规范表达的数学语言能力。

第一章 直线与方程 1.3 两条直线的平行与垂直 课标要点 1.借助倾斜角、斜率推导两直线平行、垂直的代数判定规则，掌握斜率存在时k1=k2、k1k2=−1的核心关系。 2.能结合直线斜截式、一般式，判断任意两条直线平行或垂直，学会分类讨论斜率不存在的特殊直线，避免漏解.。 3.体会解析几何数形结合思想，能用平行、垂直条件求直线方程，解决定点、对称、距离相关综合问题，发展逻辑推理素养。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握斜率存在时，两直线平行、垂直的斜率判定公式，快速根据直线方程判断位置关系。 2.掌握利用平行、垂直条件，求解未知直线斜率、方程参数，规范书写直线方程。 3.学会用直线一般式系数直接判定平行、垂直，适配无斜率的竖直、水平直线。 难点： 1.分类讨论斜率不存在的特殊情形：一条竖直、一条水平时垂直；两条均竖直时平行，极易忽略造成答案不全。 2.区分平行与重合直线，使用k1=k2判定平行时，必须额外验证截距不等，防止误判重合直线为平行。 3.综合题型应用，结合定点、对称、线段相交等问题，灵活搭配平行垂直条件联立计算，兼顾几何图形限制条件。 知识点 两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 易错提醒 判定平行最易忽略直线重合，仅比对斜率相等，未核对截距，误将重合算作平行；容易漏掉斜率不存在的竖直线，单凭斜率公式判断造成错判。判定垂直常忘记一条竖直、一条水平互相垂直，死板套用斜率乘积为 - 1。已知平行或垂直求参数，缺少分类讨论，遗漏直线无斜率的情况。同时混淆一般式平行、垂直的系数关系式，列式计算符号出错，最终出现漏解、多解问题。 随学随练 1．（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 知识点 直线系方程（重点） 1、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 2、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 特别提醒 平行直线系设式只改变常数项，保证 x、y 系数一致，规避斜率不一致的错误；注意区分平行直线与重合直线，最后代入点求出参数后要检验。垂直直线系调换 x、y 系数，任意更改常数项即可，不用反复算斜率。务必留意竖直、水平特殊直线，避免直线系式子无法涵盖特殊直线。求解参数后代入原式核验，做题优先选用一般式构造直线系，简化计算，减少符号运算失误。 随学随练 1．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 2．（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 3．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 拓展 直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，，； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： ， 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 活学活用 1．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 2．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 3．（25-26高二上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线平行得到斜率，点斜式即可得解； （2）根据直线垂直，得到斜率，即可求解. 【详解】（1）∵四边形为平行四边形，∴.∴. ∴直线的方程为，即. （2）∵，∴. ∴直线的方程为，即. 题型 判断两条直线是否平行 解题贴士 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． ▌例1（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）（多选）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 【答案】BCD 【分析】对于A：将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B：根据倾斜角的定义即可判断；对于C：过与x轴垂直的直线方程为；对于D：斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 【详解】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误； 对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确； 对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确； 对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确． 故选：BCD． ▌例2（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）（多选）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. ▌对点练1-1．（25-26高二上·山西·阶段检测）直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 要判断两直线的位置关系，需要找到与的关系，是否满足两直线平行、垂直、相交但不垂直、重合四种情况， 也就是验证是否相等、是否等于， 验证结果，， 所以两条直线不平行，也不垂直，也不重合. 故选：C. ▌对点练1-2．（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. ▌对点练1-3．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 题型 已知两条直线平行求参数的值 解题贴士 先把直线统一整理为一般式，利用平行对应系数成比例列式计算。切记比例相等还要排除两直线重合的情况，单独验证常数项比例不一致。优先分类讨论，出现未知数系数为零时，对应直线垂直坐标轴，单独分析位置关系，防止套用斜率公式出错。算出参数后带回原式检验，区分平行和重合。若是斜截式，保证斜率相等、纵截距不等，逐层筛选参数，避免出现增根与漏解。 ▌例1（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. ▌例2（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. ▌对点练1-1（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. ▌对点练1-2（24-25高二下·上海·期中）（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）直线可化为， 由直线的斜截式方程可知； （2）直线的斜率为， 过，两点的直线斜率为， 由题意可得，解得， 此时，点不在直线， 故. ▌对点练1-3（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 题型 判断两条直线是否垂直 解题贴士 设两条直线的斜率分别为．若，则． 1．公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2．当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． ▌例1（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【详解】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC ▌例2（25-26高二上·广西钦州·期末）（多选）对于直线，下列说法错误的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过点 C．直线与直线垂直 D．直线在轴上的截距为 【答案】AC 【分析】根据直线与坐标轴的交点，即可判断BD，根据斜率即可判断A,根据两直线的斜率关系，结合垂直的性质即可求解C. 【详解】对于直线， 直线过，所以BD说法正确， 直线的斜率为，倾斜角为，A说法错误. 直线的斜率为，由于，故两直线不垂直，C说法错误. 故选：AC ▌对点练1-1（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 【答案】C 【分析】利用 “对称轴是对称点连线的垂直平分线” 这一性质，通过两个关键条件建立方程组求解即可. 【详解】因为点在轴上，故设（为实数）， 因为直线的斜率为−1，直线与直线垂直，故两直线的斜率乘积为. 则直线的斜率为，即. 因为点与点的中点为，该点在直线上， 所以代入可得：. 所以，化简可得，解得. 故选：C ▌对点练1-2（25-26高二上·山东济南·阶段检测）两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的结论判断. 【详解】因为为第三象限角， 所以， 故两直线垂直. 故选：A ▌对点练1-3（25-26高二上·广东茂名·阶段检测）（多选）已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【分析】整理直线方程后得到一个方程组，可得直线所过的定点，判断A；首先根据方程得到斜率，再求得其倾斜角，可判断B；由直线垂直的充要条件可判断C；根据直线的方程求得截距，进而判断D. 【详解】对于A，由得. 因为该方程对所有的恒成立，所以，所以直线恒过点，故A正确. 对于B，当时，直线的方程为，所以其斜率为，所以的倾斜角为，故B正确. 对于C，对于直线：与直线，当时，两条直线分别为和，满足垂直关系；当时，整理两条直线的方程得，，斜率之积为，满足垂直关系，所以C正确. 对于D，当时，直线的方程为，即，直线与坐标轴的交点为，因为，所以在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC. 题型 已知两条直线垂直求参数的值 解题贴士 优先化成直线一般式，借助垂直系数关系式A1A2+B1B2=0列式计算，适用性最强，不用纠结斜率是否存在。若用斜率判断，牢记仅两条直线斜率全都存在时，才满足乘积等于−1；遇到一条竖直线、一条水平线直接判定垂直，切勿硬套斜率公式。算出参数后代入检验，避免忽略无斜率特殊直线造成漏解。分清平行、垂直判定公式，不要混淆系数关系，减少计算符号错误。 ▌例1（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. ▌对点练1-1（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． ▌对点练1-2（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，得. ▌对点练1-3（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 题型 平行直线系方程 解题贴士 先确定已知直线一般式，平行直线系保持 x、y 系数不变，仅改动常数项设出方程，简化列式步骤。将题目所过定点代入直线系，求出常数即可快速写出直线方程，不用重新推导斜率。解题要检验直线是否和原直线重合，重合不符合平行要求，需要舍去。遇到竖直、水平直线单独分析，避免直线系无法囊括特殊直线，最后统一化为规范形式，核对斜率确保无误。 ▌例1（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． ▌例2（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. ▌对点练1-1（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，即可求解. 【详解】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为. 故选：B. ▌对点练1-2（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知过点的直线与直线平行. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行先设所求直线的一般是方程，结合直线所过的点，即可求解. （2）先求线段的中垂线的方程，联立方程组求圆心的坐标，进而得到半径，最后由圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为， 把点代入可得：，解得， 故直线的方程为：. （2）由点和点可得，线段的中垂线方程为， 联立，解得， 即圆心的坐标为， 又半径， ∴圆的标准方程为. ▌对点练1-3（25-26高二上·宁夏银川·期末）过点且平行于直线的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求直线为，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】由题设，令所求直线为， 由点在直线上，则， 所以直线为. 故选：C 题型 垂直直线系方程 解题贴士 依托已知直线一般式Ax+By+C=0，垂直直线系设为Bx−Ay+m=0，省去计算斜率步骤，适用性更广，能避开斜率不存在的陷阱。将定点代入式子求出参数m，直接写出所求直线。切忌照搬平行直线系的设式规律，混淆系数调换规则。遇到水平线与竖直线互相垂直的特殊情况，可单独列式验证。算出方程后核对垂直关系，避免符号写错，搭配题设条件排除不合理取值。 ▌例1（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. ▌例2（25-26高二上·广东·期末）过点且与垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求直线方程为，把点代入得的值即可. 【详解】设与垂直的直线方程为， 把点代入得，解得， 故所求直线方程为. 故选：C. ▌对点练1-1（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直求出待求直线的斜率，又因为过点，采用点斜式即可求出待求直线方程． 【详解】直线化为斜截式为，即斜率为， 设所求直线斜率为，则可得：， 所求直线过点，所以方程为， 化简可得． 故选：A． ▌对点练1-2（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是_____. 【答案】 【分析】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程. 【详解】由，得，所以直线的斜率为. 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以过点且垂直于的直线方程为，即. 故答案为：. ▌对点练1-3（24-25高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线互相垂直得到斜率，再结合直线经过点，写出直线的点斜式，再转化为一般式即可. 【详解】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得， 故选：A. 基础通关 1．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【分析】根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可. 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【详解】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 4．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 5．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 6．（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 7．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 8．（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 9．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 10．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 素养提升 1．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测） 若直线与平行，求的值. 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】51．3或5 52． 【详解】因为直线与平行， 所以. 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 3．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据两直线位置关系得且，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 【答案】 【详解】 已知，设中点为，则， 由斜率公式可得， 设中垂线所在直线斜率为，则，解得， 故中垂线所在直线的方程为，一般式为． 5．（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 迁移创新 1．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 2．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（多选）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形可知，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）由光的反射原理可知，从点射出的入射光所在直线方程经过点关于轴的对称点，求出后结合直线点斜式方程即可求解； （3）设出的坐标后，可设出直线的截距式方程，代入点可得，因为三点共线且与方向相反，故可表示为，用坐标运算表示出数量积后，再用乘“1”法与基本不等式即可得解. 【详解】（1）易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. （3）设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 4．（25-26高二上·上海·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 【答案】2 【分析】先分别对直线进行变形，求出每条直线恒过的定点，再利用两点间距离公式求出两定点间的距离，该距离即为两直线间的最大距离，最后利用两定点的连线与的垂直关系求出直线的斜率，进而求出． 【详解】， 由得， 直线恒过点， 同理， 由得， 直线恒过点， 两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直， ， ， ，解得， 之间距离最大时，． 故答案为：2． 5．（25-26高二上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线与方程 1.3 两条直线的平行与垂直 课标要点 1.借助倾斜角、斜率推导两直线平行、垂直的代数判定规则，掌握斜率存在时k1=k2、k1k2=−1的核心关系。 2.能结合直线斜截式、一般式，判断任意两条直线平行或垂直，学会分类讨论斜率不存在的特殊直线，避免漏解.。 3.体会解析几何数形结合思想，能用平行、垂直条件求直线方程，解决定点、对称、距离相关综合问题，发展逻辑推理素养。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握斜率存在时，两直线平行、垂直的斜率判定公式，快速根据直线方程判断位置关系。 2.掌握利用平行、垂直条件，求解未知直线斜率、方程参数，规范书写直线方程。 3.学会用直线一般式系数直接判定平行、垂直，适配无斜率的竖直、水平直线。 难点： 1.分类讨论斜率不存在的特殊情形：一条竖直、一条水平时垂直；两条均竖直时平行，极易忽略造成答案不全。 2.区分平行与重合直线，使用k1=k2判定平行时，必须额外验证截距不等，防止误判重合直线为平行。 3.综合题型应用，结合定点、对称、线段相交等问题，灵活搭配平行垂直条件联立计算，兼顾几何图形限制条件。 知识点 两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 易错提醒 判定平行最易忽略直线重合，仅比对斜率相等，未核对截距，误将重合算作平行；容易漏掉斜率不存在的竖直线，单凭斜率公式判断造成错判。判定垂直常忘记一条竖直、一条水平互相垂直，死板套用斜率乘积为 - 1。已知平行或垂直求参数，缺少分类讨论，遗漏直线无斜率的情况。同时混淆一般式平行、垂直的系数关系式，列式计算符号出错，最终出现漏解、多解问题。 随学随练 1．（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 知识点 直线系方程（重点） 1、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程___________________（为参数）． 2、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程___________________（为参数）． 特别提醒 平行直线系设式只改变常数项，保证 x、y 系数一致，规避斜率不一致的错误；注意区分平行直线与重合直线，最后代入点求出参数后要检验。垂直直线系调换 x、y 系数，任意更改常数项即可，不用反复算斜率。务必留意竖直、水平特殊直线，避免直线系式子无法涵盖特殊直线。求解参数后代入原式核验，做题优先选用一般式构造直线系，简化计算，减少符号运算失误。 随学随练 1．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 拓展 直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，，； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： ， 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 活学活用 1．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 2．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 题型 判断两条直线是否平行 解题贴士 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． ▌例1（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）（多选）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 ▌例2（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）（多选）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 ▌对点练1-1．（25-26高二上·山西·阶段检测）直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 ▌对点练1-2．（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-3．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 题型 已知两条直线平行求参数的值 解题贴士 先把直线统一整理为一般式，利用平行对应系数成比例列式计算。切记比例相等还要排除两直线重合的情况，单独验证常数项比例不一致。优先分类讨论，出现未知数系数为零时，对应直线垂直坐标轴，单独分析位置关系，防止套用斜率公式出错。算出参数后带回原式检验，区分平行和重合。若是斜截式，保证斜率相等、纵截距不等，逐层筛选参数，避免出现增根与漏解。 ▌例1（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. ▌例2（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． ▌对点练1-2（24-25高二下·上海·期中）（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. ▌对点练1-3（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 题型 判断两条直线是否垂直 解题贴士 设两条直线的斜率分别为．若，则． 1．公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2．当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． ▌例1（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 ▌例2（25-26高二上·广西钦州·期末）（多选）对于直线，下列说法错误的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过点 C．直线与直线垂直 D．直线在轴上的截距为 ▌对点练1-1（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 ▌对点练1-2（25-26高二上·山东济南·阶段检测）两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 ▌对点练1-3（25-26高二上·广东茂名·阶段检测）（多选）已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 题型 已知两条直线垂直求参数的值 解题贴士 优先化成直线一般式，借助垂直系数关系式A1A2+B1B2=0列式计算，适用性最强，不用纠结斜率是否存在。若用斜率判断，牢记仅两条直线斜率全都存在时，才满足乘积等于−1；遇到一条竖直线、一条水平线直接判定垂直，切勿硬套斜率公式。算出参数后代入检验，避免忽略无斜率特殊直线造成漏解。分清平行、垂直判定公式，不要混淆系数关系，减少计算符号错误。 ▌例1（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． ▌对点练1-3（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 题型 平行直线系方程 解题贴士 先确定已知直线一般式，平行直线系保持 x、y 系数不变，仅改动常数项设出方程，简化列式步骤。将题目所过定点代入直线系，求出常数即可快速写出直线方程，不用重新推导斜率。解题要检验直线是否和原直线重合，重合不符合平行要求，需要舍去。遇到竖直、水平直线单独分析，避免直线系无法囊括特殊直线，最后统一化为规范形式，核对斜率确保无误。 ▌例1（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知过点的直线与直线平行. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程. ▌对点练1-3（25-26高二上·宁夏银川·期末）过点且平行于直线的直线方程为（　　） A． B． C． D． 题型 垂直直线系方程 解题贴士 依托已知直线一般式Ax+By+C=0，垂直直线系设为Bx−Ay+m=0，省去计算斜率步骤，适用性更广，能避开斜率不存在的陷阱。将定点代入式子求出参数m，直接写出所求直线。切忌照搬平行直线系的设式规律，混淆系数调换规则。遇到水平线与竖直线互相垂直的特殊情况，可单独列式验证。算出方程后核对垂直关系，避免符号写错，搭配题设条件排除不合理取值。 ▌例1（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二上·广东·期末）过点且与垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是_____. ▌对点练1-3（24-25高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 4．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 5．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 6．（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 7．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 8．（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 素养提升 1．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测） 若直线与平行，求的值. 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 3．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 5．（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 迁移创新 1．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（多选）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 4．（25-26高二上·上海·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 5．（25-26高二上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $