1.4 两条直线的交点-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦两条直线的交点这一核心知识点，系统讲解用解方程组求交点坐标的方法，通过表格对比方程组解的个数（一组、无数组、无解）与直线位置关系（相交、重合、平行）的对应，衔接直线方程知识，为后续直线系方程学习搭建认知支架。 资料以导弹拦截情境导入培养数学眼光，例题采用解方程组与系数关系两种解法发展数学思维，分层作业与反思总结助力数学语言表达。课中母题探究提升教学效果，课后评估练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.4　两条直线的交点 学习任务 核心素养 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 通过对两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养． 中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁．假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程． 那么，把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？ 知识点　直线的交点与直线的方程组解的关系 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交． (　　) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交． (　　) (3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线． (　　) (4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1) C　[由得交点坐标为(1，2)，故选C．] 3．当0＜k＜1时，两条直线y＝x＋1，2x－y－k＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[联立两直线方程得它们的交点坐标为，因为0<k<1，所以k－1<0，因此点(k－1，k)在第二象限．] 类型1　两条直线的交点问题 【例1】　【链接教材P29例1】 判断下列直线l1与l2是否相交，若相交，求出它们的交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3． [解]　法一：(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2． 法二：＝＝， ∴l1与l2相交， 由得 故l1与l2的交点坐标为(3，－1)． (2)由＝＝，知l1与l2重合． (3)l2方程为2x＋y－3＝0， 由＝≠，知l1与l2平行． 【教材原题·P29例1】 分别判断下列直线l1与l2是否相交．若相交，求出它们交点的坐标： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3． [解]　(1)因为方程组的解为 所以直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1)． (2)因为方程组有无数组解，所以直线l1和l2重合． (3)因为方程组无解，所以l1∥l2． 　两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [跟进训练] 1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．　　　 B．(－∞，2) C． D．∪(2，＋∞) C　[法一：由题意知，直线l1过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)、B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2．故选C． 法二：由直线l1，l2有交点，得k≠－2． 由 得 又交点在第一象限内， 所以 解得－＜k＜2．故选C．] 类型2　直线恒过定点问题 【例2】　求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． [证明]　法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0， 令m＝0，得x－3y－11＝0； 令m＝1，得x＋4y＋10＝0． 解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3)． 将点(2，－3)代入直线，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0． 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0． 由于m取值的任意性，有 解得 所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 　解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线求出交点坐标，然后验证该交点就是题目中含参数直线所过的定点． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0)． [跟进训练] 2．不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________． (9，－4)　[法一：取m＝1，得直线y＝－4．取m＝，得直线x＝9． 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4)．将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)×9－4×(2m－1)＝m－5＝右边，故直线恒过定点(9，－4)． 法二：直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，∵对任意m该方程恒成立， ∴解得故直线恒过定点(9，－4)．] 类型3　过两条直线交点的直线系方程应用 【例3】　【链接教材P30例3】 求过两直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 1．已知一点与斜率，如何求直线的方程？ [提示]　用点斜式写出直线的方程． 2．过两条直线2x－3y－1＝0与x＋y＋2＝0的交点的直线系方程是什么？ [提示]　2x－3y－1＋λ(x＋y＋2)＝0(不包括直线x＋y＋2＝0)． [解]　法一：解方程组 得所以两直线的交点坐标为(－1，－1)． 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3． 故所求直线方程为y＋1＝－3， 即3x＋y＋4＝0． 法二：设所求直线方程为(2x－3y－1)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－1)＝0．(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有 得λ＝． 代入(*)式，得x＋y＋＝0，即3x＋y＋4＝0． [母题探究] 1．(变条件)本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？ [解]　由例题知直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为(－1，－1)，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－，所以所求直线的方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋3y＋4＝0． 2．(变条件)本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ [解]　设所求直线方程为(2x－3y－1)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－1)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为x－3y－2＝0． 【教材原题·P30例3】 已知直线l经过原点，且经过如下两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程． [解]　因为方程组的解为 所以两条直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，从而由题意知直线l经过点(－1，－2)． 又直线l经过原点，所以直线l的方程为＝，即2x－y＝0． 　过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A．(－9，－10) B．(－9，10) C．(9，10) D．(9，－10) B　[解方程组得 故两直线的交点坐标为(－9，10)．] 2．(多选题)下列各组直线中，两直线相交的是(　　) A．y＝x＋2和y＝1 B．x－y＋1＝0和y＝x＋5 C．x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0 D．2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0 AC　[选项A：两直线显然相交；选项B：两直线平行；选项C：直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；选项D：两直线平行．] 3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于________． －　[由得 把(－1，－2)代入x＋ky＝0，解得k＝－．] 4．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第________象限． 四　[方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0， 由得又点(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．] 5．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围． [解]　由得 ∴交点M的坐标为． ∵交点M在第四象限， ∴ 解得－1<m<． ∴m的取值范围是． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是什么？ [提示]　方程组有唯一解，即A1B2－A2B1≠0． 2．过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是什么？ [提示]　A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0． 课时分层作业(六)　两条直线的交点 一、选择题 1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标是(　　) A． B． C． D． B　[联立解得即两直线的交点坐标为．] 2．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与直线x＋y＋1＝0垂直的直线方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．x－y＋5＝0 C．x＋y＋7＝0 D．x－y＋7＝0 B　[直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与x＋y＋1＝0垂直，得斜率为1，由点斜式，得y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0．] 3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 B　[设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8．则所求直线方程为2x－y＝0．] 4．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(　　) A．(2，3) B．(－2，－1) C．(－4，－3) D．(0，1) A　[由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0．联立解得即N点坐标为(2，3)．] 5．直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 B　[∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直， ∴－＝－1， ∴a＝10， ∴ax＋4y－2＝0即为5x＋2y－1＝0． 将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2．将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0，得2－5×(－2)＋b＝0， 解得b＝－12． ∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4．] 二、填空题 6．若直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在直线3x－y＝0上，则k的值为________． 0　[由得交点坐标为(－4k，－3k)，代入3x－y＝0，解得k＝0．] 7．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是________． 　[因为a＋2b＝1，所以a＝1－2b，所以直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，即x＋3y＋(－2x＋1)b＝0．由解得 即直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是．] 8．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________． 　[如图，直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3，0)，B(0，2)，而l过定点C(0，－)， 由图象可知∴l的倾斜角α的取值范围是．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：x－y＝0，　　　l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0， l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0， l2：6x＋8y－10＝0． [解]　(1)解方程组得 所以，l1与l2相交，交点是M． (2)解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2． (3)解方程组 ①×2得6x＋8y－10＝0． ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 10．(源自北师大版教材)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条中线交于一点． [证明]　根据已知条件将A，B，C三点画在平面直角坐标系中，如图．则易求得三边的中点坐标分别为E，F(1，0)，G． 所以中线AF所在直线的方程为x＝1， 中线BG所在直线的方程为＝， 即y＋1＝(x＋2)， 中线CE所在直线的方程为＝， 即y－1＝－(x－4)． 由解得 即交点P的坐标为． 因为－1＝－×(1－4)，所以点P满足中线CE所在直线的方程，即点P在中线CE所在直线上．所以△ABC的三条中线交于一点． 11．(多选题)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的可能取值为(　　) A．－　　B． C．　　D．－ ACD　[因为三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝，或－，直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－，所以实数m的取值集合为，故选ACD．] 12．已知直线l1：y＝kx＋1与直线l2：y＝－x＋2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是__________． －1，－　[联立得x＝，y＝， ∵直线l1：y＝kx＋1与直线l2：y＝－x＋2的交点位于第四象限， ∴解得－1＜k＜－，∴实数k的取值范围是－1，－．] 13．无论m取何值，直线(m－1)x＋(m－2)y＝5都一定过第________象限． 四　[直线(m－1)x＋(m－2)y＝5化简得，m(x＋y)－(x＋2y＋5)＝0， 令解得 即直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过点(5，－5)，又点(5，－5)在第四象限，所以直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过第四象限．] 14．当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，则使四边形的面积最小时a的值为________． 　[如图，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0， ∴l1过定点B(2，2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0， 由2x－4＝0和y－2＝0得l2也过定点B(2，2)． ∵l1与y轴交于点A(0，2－a)， l2与x轴交于点C(a2＋2，0)． ∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC ＝(2－a)×2＋×(a2＋2)×2 ＝a2－a＋4＝＋． ∴当a＝时，S取最小值． 即四边形OABC的面积最小时，a的值为．] 15．过点M(0，1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程． [解]　法一：过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1． 设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A，B两点． 由得A的横坐标xA＝． 由得B的横坐标xB＝． ∵点M平分线段AB，∴＝0， 解得k＝－． 故所求的直线方程为x＋4y－4＝0． 法二：设所求直线与l1，l2分别交于A，B两点，且设A(3m－10，m)，B(a，8－2a)． ∵M为线段AB的中点，∴ 解得∴A(－4，2)，B(4，0)， ∴直线AB即为所求直线，其方程为x＋4y－4＝0． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $