专题03 全等三角形的判定与全等模型9大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以判定方法为基础，以全等模型为核心，构建“通法+题型+模型”三阶训练体系，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|提炼判定方法、条件转化、模型结构、分类讨论思想|从基础判定到性质应用，构建全等工具性认知| |题型归纳|9类题型（含典例+变式）|每题型设“特征+方法”模版，如ASA/AAS强调公共角转化，半角模型突出旋转构造全等|从单一判定到综合应用，再到模型迁移，形成递进逻辑链| |压轴挑战|15道综合题|融合动态问题、多结论证明等，强化复杂情境下的全等构造|对接中考命题趋势，提升知识综合应用与创新意识|

专题03 全等三角形的判定与全等模型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、全等三角形的性质与ASA（AAS）的综合 题型2、全等三角形的性质与SAS的综合 题型3、全等三角形的性质与SSS的综合 题型4、全等三角形的综合问题 题型5、全等三角形的分类讨论 题型6、倍长中线模型 题型7、半角模型 题型8、一线三等角模型 题型9、旋转模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形是初中几何的核心工具，判定方法包括 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL；解题时要善于从已知条件中挖掘相等的边、角，并通过公共边、公共角、对顶角、平行线性质等进行转化；常见全等模型有倍长中线模型、半角模型、一线三等角模型、旋转模型、手拉手模型等，掌握模型结构可快速找到解题突破口；分类讨论思想在全等三角形中尤为重要，动点问题需关注点的不同位置与对应关系；综合压轴题常将全等与角平分线、中点、平行线、面积、最值等知识结合，要善于构造全等实现线段或角度的转移． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、全等三角形的性质与ASA（AAS）的综合 典例1 （25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则的长为_______. 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定；根据三角形面积公式求出，根据，，得出，再根据，利用得到，由全等三角形的对应边相等得到，由代入计算即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. 故答案为：2. 题型模版 1.特征：综合运用全等三角形性质与 ASA（AAS）判定解决线段、角度计算与证明问题． 2.方法：寻找两角及其夹边（或对角）对应相等；注意公共角、对顶角、平行线的内错角/同位角；必要时作垂线构造直角三角形． 变式1-1 （24-25八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正方形和正方形的顶点E，F，G，M，N在长方形的边上，已知则的面积为（  ） A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组．过点P作于点K，先证和全等，得出，，同理可证，得出，，设，，表示、、、的长，得到，，联立解方程组即可，从而求出三角形的面积． 【详解】解：过点P作于点K， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即①， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，即②， 联立①②得， ， 解得， ∴，， ∴的面积， 故选：A． 变式1-2 如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2) 证明：作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）略 （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 变式1-3 （24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】(1) 证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； (2) (3) 与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）略 题型2、全等三角形的性质与SAS的综合 典例2 （24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为________________________． 【答案】 或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得； （2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ； ， ∵， ， （2）点D在线段上，如图： ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图：   ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在的延长线上时，如图： 同理可得， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 故答案为：（1）；（2）或． 题型模版 1.特征：综合运用全等三角形性质与 SAS 判定解决线段、角度计算与证明问题． 2.方法：寻找两边及其夹角对应相等；注意公共边、等腰三角形两腰、旋转或翻折产生的等角；验证夹角相等是关键． 变式2-1 （24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-2 如图，在中，，，D为直线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)当时，若点D在线段上，中最小角为，请求出的度数； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则的度数为 （用含a的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵，，， ∴； (2) (3)或或 【分析】（1）由，可知，即，证明即可； （2）由，可得，由，可得，即，解得，，由题意知，根据，计算求解即可； （3）由题意知，分①当，②当，③当，三种情况求解；利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，进行计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∵中最小角为， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分①当，②当，③当，三种情况求解： ①当时，如图中， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图中， ∴， 则，， ∴， ∴； ③当时，如图中，是的角平分线， ∴ ， ∴； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线，平行线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握并正确的分类讨论． 变式2-3 如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②垂直，见解析 【分析】（1）证明，利用周角的定义，三角形内角和定理计算即可得出结论； （2）①延长至M，使，连接，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②延长交于点N，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①延长至M，使，连接， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ②延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角的性质，补角的性质，构造倍长中线法证明全等，熟练掌握构造倍长中线法证明全等是解题的关键． 题型3、全等三角形的性质与SSS的综合 典例3 （25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和三角形的面积公式，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．因为求的阴影部分面积其实是两个三角形的面积和，转化为两个三角形的面积问题，然后作出对应三角形的高，并合理转化高，发现每个三角形都与等底等高，验证即可求解． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点P，过点C作交的延长线于点Q，过点G作交的延长线于点S，过点C作交的延长线于点T，作交于点H， ∴，， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴，同理可证， ∴，， ∴， 故选：B． 题型模版 1.特征：综合运用全等三角形性质与 SSS 判定解决线段、角度计算与证明问题． 2.方法：寻找三边对应相等；常用于与中点、中线、倍长中线、正方形、等边三角形相关的结构；通过计算或等量代换证明第三边相等． 变式3-1 （24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，过作交的延长线于，   ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3-2 （25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）因为，所以可推出；又因为，所以可利用定理证明． （2）先由（1）的全等结论得到，结合的条件，可得；因为，所以可证明，得到；再根据，算出的长度，进而得到的长度，最后求出的长． （3）利用 ，， 面积关系，可计算的最终差值． 【详解】（1）证明：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ （）． （2）解：由全等得：，， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ （）， 得 ， ∵ ， ∴ ． （3）解：∵ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 变式3-3 （25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）已知：点在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，可得，根据，可得，根据同旁内角互补，两直线平行，可证结论成立； (2)根据三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，根据和垂直定义可得； (3)设，则，根据平行线的性质可知，由(2)可知，可得关于的方程，解方程可以求出，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，是的外角， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质． 题型4、全等三角形的综合问题 典例4 （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 【答案】 【分析】先作，连接，即可证明，进而说明，可得，再结合，可得答案． 【详解】证明：如图，延长到点G，使，连接， ∵， ． ∵， ∴， ，． ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：综合使用多种判定方法解决全等三角形中的复杂证明与计算问题． 2.方法：先根据已知条件选择最可能成立的判定；多次全等时以前一次结论作为下一次条件；注意隐藏条件如公共边、公共角、等腰/等边三角形性质． 变式4-1 （25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 【答案】 3 【分析】在上截取，连接，利用证明和全等，得出及，再结合已知角度关系推导出，再由全等证明，最后通过线段的和差关系求解． 【详解】解：在上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线 在和中 ， ，， 又 ， ∵， ∴ ∵ ∴ ， ． 变式4-2 （25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点O． (1)求的度数； (2)连接，，判断与的大小关系，并证明； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）求解，结合角平分线的定义可得，进一步可得答案； （2）作，连接，，证明，得到，进而推出，证明，得到，根据三角形的三边关系得到，即可得出结论； （3）如图，过作于，过作于，证明，，，可得，，结合，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，作，连接，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过作于，过作于， ∴， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式4-3 （24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 题型5、全等三角形的分类讨论 典例5 （25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当________秒时，与全等． 【答案】4或或12． 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， 当时，则， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， 当时，则， 即， 解得； 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：4或或12． 题型模版 1.特征：在全等三角形背景中，由于图形不确定或动点运动导致多种可能，需要进行分类讨论． 2.方法：明确全等的对应关系（谁与谁对应）；按点的位置、边的位置、三角形的形状分类；逐一画图验证并舍去不合理解． 变式5-1 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为_______．    【答案】1秒，或3.5秒，或12秒 【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． 【详解】∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴， 解得： 当Q到达A点后，点P运动到上时，， ∴． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． 变式5-2 （25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)运动的速度为或或或． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 变式5-3 （25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【答案】(1) 证明：∵、为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)t的值为或 (3)t的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据三角形高的定义和直角三角形锐角互余，得到，，结合，根据即可证得结论； （2）根据题意可求得，，，，且，然后分两种情况讨论：①当点Q在线段上时，则；②当点Q在线段上时，则；结合三角形面积公式，列出方程解出t的值即可； （3）由（1）可知，可推出，结合已知条件，分两种情况讨论：①当点F在线段的延长线上时，此时，，；②当点F在线段上时，此时，，；据此列出方程解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动， ∴，，且 ①当点Q在线段上时，则，此时， ∴， 解得； ②当点Q在线段的延长线上时，则，此时， ∴， 解得； 综上，当的面积为2时，t的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，t的值为或． 题型6、倍长中线模型 典例6 （25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型模版 1.特征：利用倍长中线构造全等三角形，实现线段或角度的转移与集中． 2.方法：延长中线至两倍长，连接端点构造全等；将分散的条件集中到一个三角形中；常用于证明线段和差、倍分关系． 变式6-1 （25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式6-2 （25-26八年级上·青海西宁·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： (1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 【答案】(1) (2)1或3 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； （2）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； （3）解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 变式6-3 （25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）【发现问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①．在中，若，，求边上的中线取值范围 【探究方法】经过合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SAS          B．SSS        C．AAS （2）由三角形三边的关系可得的取值范围为，从而得到长的取值范围是___________． 【方法小结】题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到一个三角形中． （3）【初步运用】 如图②，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】（1）A； （2）； （3）证明：延长到点F，使，如图， ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， 在与中， ， ∴． ∴， ∵，即， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，中点与中线的性质应用，解决本题的关键是熟练掌握角边角的证明方法证明全等． （1）根据边角边的证明方程即可证明． （2）根据三角形三边关系可先求解的取值范围，再根据即可求解长的取值范围． （3）先由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，，再根据边角边的证明方法证明与全等，由此可证． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴． 故答案为：A． （2）由（1）知，， 又， 在中，， 则有，即， ∵， ∴，即． 故答案为：． （3）略 题型7、半角模型 典例7 （25-26八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． （3）解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 题型模版 1.特征：在正方形或等腰直角三角形背景下，利用半角模型探究线段之间的数量关系． 2.方法：旋转半角所在三角形，使角的两边重合，构造全等；常见结论为“大角夹半角，旋转造全等”；注意旋转后对应边、角的等量关系． 变式7-1 （25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 【答案】（1）； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图2中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）13 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （2）（1）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）结论不成立，结论：．在上截取，使，连接，证明和即可求证； 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中，， ， ，， ， ． ， ， ， 的周长． 变式7-2 （25-26八年级上·重庆·开学考试）如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长到H，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； (3) 解：不成立，，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由题目条件结合半角问题，可得到猜想：； （2）延长到H，使，连接，先证明，得，；再证明，得，从而可证明结论； （3）在上截取，证明，得，，再证明，得，即． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）略 变式7-3 阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1) (2) 证明：延长到，使如下图所示， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【分析】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “”，证明构造的三角形全等， （1）掌握全等三角形的判定，证明，然后，利用三角形三边关系“两边长度之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围； （2）关键是作辅助线，延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【详解】（1）解：延长到点使，连接，在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）略 题型8、一线三等角模型 典例8 （25-26八年级上·浙江·阶段检测）已知：在中，，，点在直线上，在上另取两个互不重合的点，使． (1)如图，当时，请直接写出线段和之间的数量关系__________； (2)如图，当为任意锐角或钝角时，已知，，求的长； (3)如图，在（）的基础上，延长至点，连接，过点作，且，连接交直线于点．若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）由可证，进而得到，即得，，即得到，即可求解； （）同理（）可证，即得，，进而即可求解； （）作于点，可证，得到，，即得，再证明，得到，由可得，进而得到，再根据即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：同理（）可证， ∴，， ∵， ∴； （3）解：如图，作于点，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 题型模版 1.特征：在一条直线上出现三个相等的角，利用一线三等角模型构造全等或相似． 2.方法：识别同一直线上的三个等角（常为 90° 或 60°）；通过作垂线或找等角关系证明三角形全等；常用于动点、最值与线段关系问题． 变式8-1 （24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 变式8-2 （24-25七年级下·山东济南·期中）【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 【答案】 （1）①证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； ②； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，延长与的延长线于点E， 由①知，， ∴，； ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）②知，， ∴； ∵， ∴由预备知识得， ∴； （3）， 画图如下： 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，余角的性质等知识，构造适当辅助线，证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用同角的余角相等得，则由即可证明； ②由得，由三角形面积公式即可求解； （2）①由，即可得； ②延长与的延长线于点E，证明，则，易得，由预备知识得，则结论可证明； （3）过点C作交的延长线于点M，连接；设，由预备知识得；证明，则，，得；利用，可求得x的值，即求得． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②略 （3）解：，画图如下： 如图，过点C作交的延长线于点M，连接；设； ∵， ∴， ∴由预备知识得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴ 即． 变式8-3 （25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 【答案】（）； （）（）中的数量关系仍然成立，证明如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （），或， 【分析】（）由余角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）利用三角形外角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）当，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点，再分点在点上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，余角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）略 （）当，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点， 当点在点上方时，， ∴， 此时，点也位于点上方，， ∴； 当点在点下方时，， ∴， 此时，点也位于点下方，， ∴； 综上，，或，． 题型9、旋转模型 典例9 （25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究： (1)如图是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是 ． (2)如图是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若， ，求的面积（用含的代数式表示） (3)小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3) 解：的长为或， 理由如下： 如下图所示，当点 在线段上时， ， ， ， ； 如下图所示，当点 在的延长线上时， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． 【分析】本题考查三角形的全等的判定与性质．解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边之间的关系． 根据等腰直角三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证； 由可知，根据全等三角形的性质可得：，，，根据三角形的面积公式可得：； 由可知，当点在线段上时，可得：；当点在的延长线上时，可得：． 【详解】（1）解：， 在中，，， ， ，且， ， ， 在和中，， ，， ，， ， 故答案为：且； （2）解：由可知， ，， ， ， ， ， ； （3）略 题型模版 1.特征：图形绕某点旋转后，利用旋转产生的等线段、等角构造全等三角形． 2.方法：抓住旋转角相等、对应边相等；寻找共顶点、等角的“手拉手”结构；通过证明全等把分散线段集中到一个三角形中． 变式9-1 （25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 变式9-2 如图，等腰中，，点D为上一点，连接． (1)如图1，若，，且，求线段的长度；    (2)如图2，过点B作，交的延长线于点E，以为斜边作等腰直角三角形，过点G作交的延长线于点F，且，求证：；    (3)如图3，在（2）问的条件下，过点G作，垂足为H，交于点M，点N为延长线上一点，连接，若，，，求线段的长度．    【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点A作于，在中求出，，在中求出，由等腰三角形三线合一即可求解； （2）由对角互补，得，证得为等腰直角三角形，得，由，得； （3）连接，，结合（2）得到为等腰直角三角形，则，再过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，先证明，再证明，最后设，则，，，在中，运用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于，   ，， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图2，连接，在上截取，连接，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， （3）解：连接，， 由（2）知， ∵ ∴， ∵， ∴ ∵， ， 得，又 垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ，    过点作，交延长线于，过点作，交延长线于 ∵，， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∵， ∴， ∴ 由为等腰直角三角形，， ∴， 设，则，， 在中，， ， ，（舍去） ∴ 在中，． 【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，结合全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质来求解是本题解题的关键． 变式9-3 在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 2．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形的面积转化为两个的面积是解决问题的关键． 可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．在边上取点D，使，连接，证明，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点D，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 所以A选项符合题意． 故选：A 4．（2025八年级上·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法逐个判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 当前条件为，和 ， 若甲添加 ，此时两个三角形由两组边相等，一组角相等，下一轮无论添加边或者角都可以利用或或证明全等，所以甲必胜， ∴，符合题意； 若甲添加，满足角角边，能判定全等，甲输乙胜， ∴错误，不符合题意； 若乙第二轮添加 为，则第三轮甲无论添加何条件，均能判定全等，甲输乙胜， ∴正确，符合题意； 若第轮乙添加条件修改为，则第三轮和第轮只能添加 或其中之一，否则都会有边边边或边角边来判定全等， ∴游戏最多四轮必分胜负， ∵原选项中“此游戏最少四轮必分胜负” ∴错误，不符合题意； 综上，正确的是， 故选：． 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（     ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：由平移可知， ， ， ， 点到的距离为线段的长， 故①错误； 由平移可知，， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 由平移可知，，， ，，， 四边形的周长是，四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形与四边形的周长差为， 故③正确； 由平移可知， ， ，， ， 故④正确； 综上所述，说法正确的是②③④． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则_______（用含k的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，设，，求出，，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成， ∴设，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． 8．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图①是一个长为，宽为的长方形（），其面积为．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，记图②中的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，且．将图②中的大正方形和中间小正方形拼成如图③所示的图形，点到线段的距离为，则图③中阴影部分的面积是__________． 【答案】4 【分析】由图①，由图②，根据完全平方公式，算术平方根求得，由图③，过点作，且，连接，证明得出，，进而根据平方差公式因式分解，可得图③中阴影部分的面积，代入计算，即可求解． 【详解】解：由图①可得 ∴； 由图②可得 ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，过点作，且，连接， ∵，则，则共线， ∵ ∴ 又∵是正方形的边，则 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴图③中阴影部分的面积 9．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的； (2)在图2中，画出一个与不全等但面积相等的． 【答案】(1) 或 或为所求： (2) 即为所求： 【分析】本题考查了全等的性质，三角形面积问题．熟练掌握全等三角形对应边相等与三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等作图即可； （2）根据三角形不全等但面积相等的性质画出同底等高三角形即可． 【详解】（1）略 （2）如图和底边相同，高相等，可知与和不全等但面积相等（答案不唯一）． 10．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，点，分别在线段、上，与相交于点．现有下列选项： ；；； 请先选择两个选项作为已知条件，再写出余下选项成立的证明过程． 【答案】解：条件，，结论； ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 如图，条件，，结论； 连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据全等三角形的判定与性质即可得出结论． 【详解】略． 11．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在中，，，点E在线段上，连接，作且． . (1)如图1，过点F作交于点D，求证：． (2)如图2，连接交于点G，若，求证：点E为中点． (3)若点E为射线上一动点，连接与直线交于点G，当时，则_______．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． （1）证明：，通过全等三角形的对应边相等得到：，利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系即可得证； （2）过F点作交于D点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据得到，根据，即可解题； （3）分类讨论，当点E在射线上，过F作的延长线交于点D，易证 ，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，或当点E在线段上，与上述同理进行列式计算，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， ， 即：； （2）证明：如图2，过F点作交于D点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 点为中点； （3）解：当点E在射线上， 过F作的延长线交于点D，如图， ，， ， 由（1）（2）知∶ ， ， ， ， ； 当E点在线段上， 如图，过F点作交于D点，如图所示： 由（1）（2）知∶ ， ， ， 设，则， ∴， ∴， 此时， 综上：若，则或． 12．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵在与中， ∴ ． (2) 证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2) 证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 14．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，是一个任意角，在边， 上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，即．过角尺顶点 P 的射线便是的平分线，已知角尺的夹角 (1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； (2)小明认为，当上时，工人师傅就不需要先在边 上分别取，如图 2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点M ，N ，且满足，便可以得到平分．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； (3)如图 3 ， ， 平分．P 是射线上的一点，过点 P作于点 E ，．点 C 在射线上运动，过点 P 作，与直线交于点 D．若，请直接写出的长． 【答案】(1) 在和中， ， ， ， 即平分； (2) 小明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴小明的观点正确； (3)8 或 12 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； （3）当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图， ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为8或12． 15．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图（），若，，，则线段之间的数量关系，下列三个关系式中： ，， 正确的是___________．（只填序号） (2)如图（），若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段之间的数量关系． (3)如图（），若不变，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，周角定义，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）对于图，在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）如图，在延长线上取一点，使得，连接，先判定，进而得出，，再判定，得出，又，所以，所以，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图（），延长到点，使，连接， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：； （2）解：，理由如下： 如图（），在上截取，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 即； （3）解：结论：，理由： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形的判定与全等模型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、全等三角形的性质与ASA（AAS）的综合 题型2、全等三角形的性质与SAS的综合 题型3、全等三角形的性质与SSS的综合 题型4、全等三角形的综合问题 题型5、全等三角形的分类讨论 题型6、倍长中线模型 题型7、半角模型 题型8、一线三等角模型 题型9、旋转模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形是初中几何的核心工具，判定方法包括 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL；解题时要善于从已知条件中挖掘相等的边、角，并通过公共边、公共角、对顶角、平行线性质等进行转化；常见全等模型有倍长中线模型、半角模型、一线三等角模型、旋转模型、手拉手模型等，掌握模型结构可快速找到解题突破口；分类讨论思想在全等三角形中尤为重要，动点问题需关注点的不同位置与对应关系；综合压轴题常将全等与角平分线、中点、平行线、面积、最值等知识结合，要善于构造全等实现线段或角度的转移． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、全等三角形的性质与ASA（AAS）的综合 典例1 （25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则的长为_______. 题型模版 1.特征：综合运用全等三角形性质与 ASA（AAS）判定解决线段、角度计算与证明问题． 2.方法：寻找两角及其夹边（或对角）对应相等；注意公共角、对顶角、平行线的内错角/同位角；必要时作垂线构造直角三角形． 变式1-1 （24-25八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正方形和正方形的顶点E，F，G，M，N在长方形的边上，已知则的面积为（  ） A．16 B．18 C．20 D．24 变式1-2 如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 变式1-3 （24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 题型2、全等三角形的性质与SAS的综合 典例2 （24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为________________________． 题型模版 1.特征：综合运用全等三角形性质与 SAS 判定解决线段、角度计算与证明问题． 2.方法：寻找两边及其夹角对应相等；注意公共边、等腰三角形两腰、旋转或翻折产生的等角；验证夹角相等是关键． 变式2-1 （24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 变式2-2 如图，在中，，，D为直线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)当时，若点D在线段上，中最小角为，请求出的度数； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则的度数为 （用含a的代数式表示）． 变式2-3 如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 题型3、全等三角形的性质与SSS的综合 典例3 （25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．8 题型模版 1.特征：综合运用全等三角形性质与 SSS 判定解决线段、角度计算与证明问题． 2.方法：寻找三边对应相等；常用于与中点、中线、倍长中线、正方形、等边三角形相关的结构；通过计算或等量代换证明第三边相等． 变式3-1 （24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 变式3-2 （25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 变式3-3 （25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）已知：点在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 题型4、全等三角形的综合问题 典例4 （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 题型模版 1.特征：综合使用多种判定方法解决全等三角形中的复杂证明与计算问题． 2.方法：先根据已知条件选择最可能成立的判定；多次全等时以前一次结论作为下一次条件；注意隐藏条件如公共边、公共角性质． 变式4-1 （25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 变式4-2 （25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点O． (1)求的度数； (2)连接，，判断与的大小关系，并证明； (3)若，求的值． 变式4-3 （24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 题型5、全等三角形的分类讨论 典例5 （25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当________秒时，与全等． 题型模版 1.特征：在全等三角形背景中，由于图形不确定或动点运动导致多种可能，需要进行分类讨论． 2.方法：明确全等的对应关系（谁与谁对应）；按点的位置、边的位置、三角形的形状分类；逐一画图验证并舍去不合理解． 变式5-1 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为_______． 变式5-2 （25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 变式5-3 （25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 题型6、倍长中线模型 典例6 （25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 题型模版 1.特征：利用倍长中线构造全等三角形，实现线段或角度的转移与集中． 2.方法：延长中线至两倍长，连接端点构造全等；将分散的条件集中到一个三角形中；常用于证明线段和差、倍分关系． 变式6-1 （25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 变式6-2 （25-26八年级上·青海西宁·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： (1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 变式6-3 （25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）【发现问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①．在中，若，，求边上的中线取值范围 【探究方法】经过合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SAS          B．SSS        C．AAS （2）由三角形三边的关系可得的取值范围为，从而得到长的取值范围是___________． 【方法小结】题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到一个三角形中． （3）【初步运用】 如图②，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 题型7、半角模型 典例7 （25-26八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 题型模版 1.特征：在正方形或等腰直角三角形背景下，利用半角模型探究线段之间的数量关系． 2.方法：旋转半角所在三角形，使角的两边重合，构造全等；常见结论为“大角夹半角，旋转造全等”；注意旋转后对应边、角的等量关系． 变式7-1 （25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 变式7-2 （25-26八年级上·重庆·开学考试）如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 变式7-3 阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 题型8、一线三等角模型 典例8 （25-26八年级上·浙江·阶段检测）已知：在中，，，点在直线上，在上另取两个互不重合的点，使． (1)如图，当时，请直接写出线段和之间的数量关系__________； (2)如图，当为任意锐角或钝角时，已知，，求的长； (3)如图，在（）的基础上，延长至点，连接，过点作，且，连接交直线于点．若，，求的长． 题型模版 1.特征：在一条直线上出现三个相等的角，利用一线三等角模型构造全等或相似． 2.方法：识别同一直线上的三个等角（常为 90° 或 60°）；通过作垂线或找等角关系证明三角形全等；常用于动点、最值与线段关系问题． 变式8-1 （24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 变式8-2 （24-25七年级下·山东济南·期中）【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 变式8-3 （25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 题型9、旋转模型 典例9 （25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究： (1)如图是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是 ． (2)如图是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若， ，求的面积（用含的代数式表示） (3)小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由． 题型模版 1.特征：图形绕某点旋转后，利用旋转产生的等线段、等角构造全等三角形． 2.方法：抓住旋转角相等、对应边相等；寻找共顶点、等角的“手拉手”结构；通过证明全等把分散线段集中到一个三角形中． 变式9-1 （25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 变式9-2 如图，等腰中，，点D为上一点，连接． (1)如图1，若，，且，求线段的长度；    (2)如图2，过点B作，交的延长线于点E，以为斜边作等腰直角三角形，过点G作交的延长线于点F，且，求证：；    (3)如图3，在（2）问的条件下，过点G作，垂足为H，交于点M，点N为延长线上一点，连接，若，，，求线段的长度． 变式9-3 在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 2．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 4．（2025八年级上·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（     ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则_______（用含k的代数式表示）． 7．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 8．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图①是一个长为，宽为的长方形（），其面积为．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，记图②中的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，且．将图②中的大正方形和中间小正方形拼成如图③所示的图形，点到线段的距离为，则图③中阴影部分的面积是__________． 9．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的； (2)在图2中，画出一个与不全等但面积相等的． 10．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，点，分别在线段、上，与相交于点．现有下列选项： ；；； 请先选择两个选项作为已知条件，再写出余下选项成立的证明过程． 11．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在中，，，点E在线段上，连接，作且． . (1)如图1，过点F作交于点D，求证：． (2)如图2，连接交于点G，若，求证：点E为中点． (3)若点E为射线上一动点，连接与直线交于点G，当时，则_______．（直接写出结果） 12．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 13．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 14．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，是一个任意角，在边， 上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，即．过角尺顶点 P 的射线便是的平分线，已知角尺的夹角 (1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； (2)小明认为，当上时，工人师傅就不需要先在边 上分别取，如图 2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点M ，N ，且满足，便可以得到平分．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； (3)如图 3 ， ， 平分．P 是射线上的一点，过点 P作于点 E ，．点 C 在射线上运动，过点 P 作，与直线交于点 D．若，请直接写出的长． 15．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图（），若，，，则线段之间的数量关系，下列三个关系式中： ，， 正确的是___________．（只填序号） (2)如图（），若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段之间的数量关系． (3)如图（），若不变，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，试探究与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $