专题03 全等三角形常考八大模型汇编（专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以全等三角形八大变换模型为核心，通过题型分类构建从基础到复杂的解题方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移型|5题|利用线段平移构造全等条件|从图形平移直观感知对应关系| |翻折型|4题|轴对称性质转化边/角关系|通过翻折对称建立全等模型| |旋转型|4题|旋转不变性证全等|结合旋转角推导等量关系| |一线三等角型|5题|“K型全等”模型构造|动态旋转中提炼线段关系| |手拉手模型|4题|共顶点等腰三角形旋转全等|从特殊到一般探究线段位置关系| |半角模型|4题|截长补短法构造全等|通过角的拆分转化线段和差| |对角互补模型|4题|角平分线+互补条件证全等|利用角平分线性质构建等量关系| |倍长中线法|4题|延长中线构造8字全等|中点条件下集中分散元素|

专题03 全等三角形常考八大模型汇编 常考题型·精准突破 ◆题型 1:平移型 1．如图，已知，，，在同一条直线上，， ，，与交于点．求证： ． 2．如下图，已知点C，D都在线段上，，，．试说明：； 3．如图，点、在的边的延长线上，过点作，使得，连接，，．试说明． 4．如图，点在一条直线上，与交于点，，，．与相等吗？为什么？ 5．如图，点A，C，F，D在同一条直线上，，，，且．求证：； ◆题型 2:翻折型 6．如图，已知，．求证：． 7．如图，某民间手艺人制作风筝的支撑骨架中，点E，F分别在的延长线上，平分，．求证：． 8．与按如图所示的位置摆放，交于点M，交于点N，与交于点O．若，，．求证：． 9．如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． (1)求证： ； (2)若， ，求的度数． ◆题型3:旋转型 10．如图，已知，，．求证：． 11．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 12．如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． 13．已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． ◆题型4:一线三等角型(高频) 14．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 15．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 16．模型意识以及知识运用 (1)【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． (2)【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． (3)【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 17．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N． (1)若在外（如图1）， 求证：； (2)若与线段相交（如图2），且，，则 18．如图，等腰中，，，点A在线段上，． (1)求证； (2)若，求的面积． ◆题型5:手拉手模型(高频) 19．已知：如图，和都是等腰三角形（，，），点、、不在同一条直线上，连接和．试探究线段与的数量关系并说明理由． 20．若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 21．已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 22．【综合与探究】 (1)在和中，，，，连接，． ①【模型呈现】如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； ②【模型应用】如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数； (2)【拓展延伸】如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，，，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上分别取点M，N，且满足点M，N分别是，的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论． ◆题型6:半角模型(难) 23．按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 24．如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 25．在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 26．按要求完成下面小题． (1)【问题发现】如图①，在四边形中，，，点、点分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系，小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_______， (2)【问题解决】如图②，为了丰富市民活动，政府规划了一块四边形的运动场地，在四边形中，，．点、点分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． ◆题型7:对角互补模型 27．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 28．如图，在四边形中，平分，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，请直接写出的长． 29．小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上．    (1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分， ∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°， ∴， 又∵， ∴______=______， 又∵， ∴， ∴． (2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立． (3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______． 30．感知： 如图①，平分，，易知：． 探究：（1）如图②，在四边形中，平分，，试探究与的数量关系． 应用：（2）如图③，在四边形中，平分，，与的上述关系还成立吗？并说明理由． ◆题型8:倍长中线法模型(难) 31．综合与探究 【阅读理解】 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点E，使，连接． 根据“”可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围，即可求出的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，的取值范围是______． 【尝试运用】 （2）如图2，在中，D是的中点，过点C作，点F在的延长线上，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，D是的中点，E是上一点，，若，求的度数． 32．【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 33．【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 34．发现问题 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点，使，连接，得到，他用到的判定定理是______；（用字母表示） 解决问题 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”， “中线”字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：； 拓展应用 （3）如图③，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点是的中点，连接，，当时，求的长． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 2．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测得楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，都等于10米，量得旗杆与楼之间距离为，请你帮小程计算出楼高是多少米？ 3．已知：在和中，，，．请判断线段和有怎样的关系？请说明理由． 4．阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 5．如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 6．如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 7．如图，点E在上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 8．本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题提出】如图①，和都是等腰三角形，，，，且点A、C、D在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 如图②中，先设，点A、C、D在同一直线上，则与互余，与互余，可得，再结合相等边就可以证明，根据全等就可以得到，再根据全等三角形的对应角，结合对顶角，就能推出，即： (1)在图③中，若，点A、C、D在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (2)在图④中，若，点A、C、D在同一直线上，则和的数量关系是____，_____； (3)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，和有怎样的数量关系和位置关系．（位置关系即求） 9．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 10．如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形常考八大模型汇编 常考题型精准突破 ◆题型1：平移型 1. 【答案】证明：BE=CF, .∴.BE+EC=CF+EC, ∴.BC=EF 又.ABDE, ∴.∠B=∠些就 在△ABC和△乙中， AB=DE ∠B=∠ BC=EF, △ABC≌△e(SAS). y 【答案】证明：AC‖DE, ∴∠ACB=∠EDF, .BD=CF, ..BD+CD=CF+CD 即BC=FD 在△ABC和△EFD中， ∠A=∠E ∠ACB=∠EDF BC=FD △ABC≌△EFD AAS: 3. 【答案】证明：：BD=CE .BD-CD=CE-CD, .BC=DE, 在△ABC和△FED中，BC=ED,AB=FE,AC=FD, 1/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABC≌△FED|SSS, ∠B=∠E 4. 【答案】解：AD=CF.理由如下： .BC EF, ∴.∠ACB=∠F, 在△ABC和△就中， ∠ACB=∠F BC=EF ∠B=∠E .△ABC≌△ASA, .∴.AC=DF, ∴AC-CD=DF-CD,即AD=CF 5. 【答案】证明：，BC⊥AD,EF⊥AD, ,∠ACB=∠DFE=90°， ,ED‖AB .∠A=∠D, 又.ED=AB, '△ABC≌△AAS ◆题型2：翻折型 6. 【答案】证明：在△ABC和△ABD中， .'AC=AD,∠CAB=∠DAB,AB=AB ∴.△ABC≌△ABD|SAS, ∴.BC=BD 7. 【答案】解：证明：：∠CBE=∠CDF, ∴.180°-∠CBE=180°-∠CDF :∠ABC=180°-∠CBE,∠ADC=180°-∠CDF, 2142 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，∠ABC=∠ADC. AC平分∠BCD, .∠ACB=∠ACD ∠ABC=∠ADC 在△ABC和△ADC中， ∠ACB=∠ACD AC=AC .△ABC≌△ADC AAS, ..AB=AD. 8. 【答案】证明：，BC=EF,BO=EO, ∴.0F=0C, ∠C=∠F,∠FOM=∠CON. ∴.△FOM≌△CON ASA, ..MF=NC. 9: 【详解】(1)证明：，BE平分∠ABC, .∠ABE=∠DBE, 在△ABE和△DBE中， AB=DB ∠ABE=∠DBE BE=BE ∴，△ABE≈△DBE SAS. (2)解：在△ABC中，∠A=100°，∠C=50°， ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100°-50°=30°， ,'BE平分∠ABC, :∠ABE=号<ABG=159, 在△ABE中， .∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65° ◆题型3：旋转型 3142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10. 【答案】证明：.'∠BCE=∠ACD, ∴，∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ECA,即∠BCA=∠ECD, .在△BCA和△ECD中， BC=EC ∠BCA=∠ECD CA=CD ∴.△BCA≌△ECD SAS, ∴.AB=DE 11. 【答案】(1)证明：.'∠BAF=∠CAE, ∴.∠BAF-∠FAC=∠CAE-∠FAC ∴.∠BAC=∠FAE ,AB=AD,∠B=∠D, ∴.△ABC≌△ADE ASA. ∴BC=DE (2)解：.∠B=35°， ∴.∠D=∠B=35° ‘.'∠GFD=∠AFB=78°， ∴.∠DGB=180°-∠GFD-∠D=67°， DE AC, ∴.∠ACG=∠DGB=67° ∴.∠CAB=∠ACG-∠B=67°-35°=32°（三角形外角性质）， 12. 【答案】解：ED与EC的数量关系是：ED=EC, 理由如下： ,∠1=∠2， ∴.∠1+∠AED=∠2+∠AED, ∴.∠BED=∠AEC, 在△ACE和△BDE中， 4142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠B AE=BE ∠AEC=∠BED ∴.△ACE≌△BDE ASA: ∴ED=EC. 13. 【答案】AB=AC,理由如下： ,CD平分∠ACB ∴.∠BCD=∠FCD .CD⊥BF, ∴.∠BDC=∠FDC=90° 又.CD=CD ∴.△BDC≌△FDC(ASA). ∴BD=FD, ∴.BF=2BD 又.CE=2BD ∴.BF=CE ∠BAC=90° .∴.∠FAB=90° ∴.∠FBA+∠F=90°， 同理：∠FCD+∠F=90° ∴.∠FBA=∠FCD 又'.CE=BF,∠EAC=∠FAB=90° ∴.△ACE≌△ABF(AAS) ∴.AB=AC ◆题型4：一线三等角型（高频） 14. 【详解】(1)证明：，AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠ADC=∠CEB=90°， ∴.∠DAC+∠ACD=90°， .∠ACB=90°， ∴，∠ACD+∠BCE=90°. 5142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠DAC=∠BCE, 在△ACD和△CBE中， ,∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC=∠BCE,AC=BC, .△ADC≌△CEBAAS, ∴AD=CE,CD=BE, .DE=CD+CE, ∴DE=AD+BE: (2)证明：AD⊥MN,BE⊥MN, .∠ADC=∠CEB=90°， .∠DAC+∠ACD=90°， ,∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°， .∠DAC=∠BCE, 在△ACD和△CBE中， ,∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC=∠BCE,AC=BC, ∴.△ADC≌△CEBAAS, ..AD=CE,CD=BE, .DE=CE-CD ..DE=AD-BE: (3)解：DE=BE-AD,证明如下： .AD⊥MN,BE⊥MN, ∴，∠ADC=∠CEB=90°， .∠DAC+∠ACD=90°， ,∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°， ∴，∠DAC=∠BCE, 在△ACD和△CBE中， ,∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC=∠BCE,AC=BC, .△ADC≌△CEB AAS, ∴.AD=CE,CD=BE, .DE=CD-CE, 6142 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..DE=BE-AD. 15. 【详解】(1)证明：，AD⊥CD,BE⊥CD, ∴.∠ADC=∠CEB=90, ∴.∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°， 在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90, ∴.∠CAD=∠BCE. 在△ACD和△CBE中： ,∠ADC=∠CEB=90°，∠CAD=∠BCE,AC=BC, ∴.△ACD≌△CBE(AAS). (2)解：由全等得：CD=BE=6,AD=CE, ,C,D,E共线，且DE=4, CE=CD-DE=6-4=2, .AD=2, ∴S△ACE =号xCBE×AD=x2×2=2. 16. 【答案】(1)解：由题意，：AE⊥1于E,CF⊥于F, ∴，∠AEB=∠BFC=90°，∠ABE+∠BAE=90°. ,四边形ABCD是正方形ABCD, ∴.AB=BC,∠ABC=90°， ∴.∠ABE+∠CBF=90°， ∠BAE=∠CBF ∴，△ABE≌△BCF AAS: (2)解：AD⊥CE,BE⊥CE, ∴.∠ADC=∠BEC=90°， ,∠DCA+∠BCE=90°，∠DCA+∠DAC=90°， ∴.∠DAC=∠BCE, 又，AC=BC, ∴△ACD≌△CBEAAS, ∴.CE=AD=18cm,CD=BE, 7142 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BE=CD=CE-DE=18-12=6cm: (3) 证明：，∠BGE=∠BAG+∠ABG,∠BAC=∠BAG+∠CAF, ,∠BAC=∠BGE, .∠BAG+∠ABG=∠BAG+∠CAF, ,∠ABG=∠CAF. 又，∠EFC=∠CAF+∠ACF, '.∠BAG+∠CAF=∠CAF+∠ACF, ∴.∠BAG=∠ACF, 又AB=AC, .△ABG≌△CAF ASA, ∴，AG=CF 17. 【答案】(1)证明：，AM⊥MN,BN⊥MN, .∠AMC=∠CNB=90. ,∠ACB=90° ∴，∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°， ∴∠MAC=∠NCB 在△AMC和△CNB中， ∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB ∴.△AMC≌△CNBAAS, ∴.AM=CN,MC=NB .MN=NC+CM, .MN=AM+BN: (2)解：，AM⊥MN,BN⊥MN, ∴.∠AMC=∠CNB=90°， .∠MAC+∠ACM=90°， ,∠ACB=90°， ∴，∠ACM+∠NCB=90, 8142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠MAC=∠NCB 在△ACM和△CBN中， ∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB, AC=CB ∴.△ACM≌△CBN AAS, .AM=CN=2.4,CM=BN=0.9, .∴MN=CN-CM=2.4-0.9=1.5 18. 【答案】(1) 证明：，∠BDA=∠E=90°， ,∠ABD=90°-∠BAD, ,∠BAC=90°， ∴.∠CAE=180°-90°-∠BAD=90°-∠BAD, ∴∠ABD=∠CAE, 在△BDA和△AEC中， ∠BDA=∠E ∠ABD=∠CAE, AB=CA ∴.△BDA≌△AEC AAS: 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知，△BDA≌△AEC, ∴CE=AD=6, E=90°， ∴CE⊥AD, ÷△DAC的面积=号AD-CE=×6×6=18, ◆题型5：手拉手模型（高频） 19 【答案】AE=BD,理由如下： .∠ACB=∠DCE=a, 9142 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE, .在△BCD和△ACE中， CA=CB ∠BCD=∠ACE, CD=CE ∴.△BCD≌△ACESAS, ∴.AE=BD 20. 【答案】(1)①证明：，△ABC和△EDC都为等边三角形， ∴，AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE, ∠ACD=∠BCE, ∴△ACD≌△BCE SAS: ②△ACN≌△BCM;△CME≌△CND ②解：：△ACD≌△BCE, ∴，∠CAD=∠CBE ,△ABC和△EDC都为等边三角形， ∴.AC=BC,∠ACB=∠ECD=60°， ,∠ACE=180°-60°-60°=60°， .∠ACE=∠BCM. ∴.△ACN≌△BCM ASA, 同理可证明△CME≌△CND: (2)解：如图所示， B 由(1)得△CME≌△CND,∠MCN=180°-∠ACB-∠ECD=60°， ∴.CM=CN, ∴.△MNC为等边三角形： (3)解：由(2)得△MNC为等边三角形， 10/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CMN=60°， .∠CMN=∠ACB, ,MN‖BD 21. 【答案】(1)解：，∠ACB=∠DCE, ·,∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD, ∴.∠ACD=∠BCE, 在△CDA和△CEB中， DC=EC ∠ACD=∠BCE AC=BC ∴.△CDA≌△CEB SAS, .∠CBE=∠CAD, 又，∠CFA=∠EFB,∠AEB+∠EFB+∠CBE=180°，∠ACB+∠AFC+∠CAD=180°， ∴，∠AEB=∠ACB=40°： (2)证明：①AD⊥BE,AD=BE,理由如下： ,∠ACB=∠DCE, ∴，∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD, ∴，∠ACD=∠BCE, 在△CDA和△CEB中， DC=EC ∠ACD=∠BCE AC=BC ∴.△CDA≌△CEB|SAS, .∠CEB=∠CDA,AD=BE, .CD=CE,∠DCE=90° .∴.∠CDE=∠CED=45°， ∴.∠ADC=∠CEB=135°， ,∠CED=45°， .∴.∠AEB=90°， .AD⊥BE, 综上：AD⊥BE,AD=BE; 11/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②.△CDA≌△CEB, ∴.AD=BE=3, .AC=BC,∠ACB=90, ∴.∠CAB=∠CBA=45°， ∴.∠CAF=∠BAF=22.5° .·∠CDE=45°=∠CAD+∠ACD, ∴.∠ACD=22.5°=∠CAD, ∴.CD=AD=3 ,∵∠DCF=90°-∠ACD=67.5°，∠AFC=∠ABC+∠BAF=67.5°， ∴.∠DCF=∠DFC, ∴.DF=DC=3, ∴.AF=AD+DF=6. 22. 【答案】(1)①解：AC=BD,理由如下： ,∠AOB=∠COD ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD, 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD .△AOC≌△BOD SAS, ..AC=BD; ②∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD, 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD: OC=OD ∴.△AOC≌△BOD SAS, .∠OAC=∠OBD 又，∠AQO=∠BQP,∠AQO+∠OAQ+∠AOQ=∠BPQ+∠BQP+∠PBQ=180°， ∴，∠AOQ=∠BPQ, 12/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠A0Q=50, .∠BPQ=50°， .∠APD=180°-∠BPQ=130°： (2)公园的规划能实现，证明如下： 由题意得OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°， 同理可证明△AOC≌△BOD, ∴，∠OAC=∠OBD,AC=BD, ,M,N分别为AC,BD的中点， AM=AC,BN=号BD, ..AM=BN, 在△AOM和△BON中， OA=OB ∠OAM=∠OBN AM=BN .∴△AOM≌△BON SAS, ∴.OM=ON,∠AOM=∠BON, .∠AOB=90°， .∠AOM+∠MOB=90. ∴.∠BON+∠MOB=90°，即∠MON=90° .OM⊥ON, ∴△MON是等腰直角三角形， 公园的规划能实现。 ◆题型6：半角模型（难） 23. 【答案】(1)解：如图1，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. 13/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D .·△ABG△ADF G、 B E 图1 在 与 中， AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS). ∴.AG=AF,∠1=∠2， .∠1+∠3=∠2+∠3=1 ∠BAD=∠EAF ∴.∠GAE=∠EAF 又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF ∴.EG=EF .EG=BE+BG. ∴.EF=BE+FD: (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. A D .:∠ABC+∠D=180°∠ABG+∠ABC=180° G B E 图2 ∴.∠ABG=∠D .'在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS. 14/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AG=AF,∠1=∠2， ∠1+∠3=∠2+∠3= ·∠BAD=∠EAF .∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF」 ∴.EG=EF EG=BE+BG. .∴.EF=BE+FD (3)当(1)的结论EF=BE+FD成立， 当图3中，EF=BE-FD或EF=FD-BE 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG」 D .·∠B+∠ADC=180°∠ADF+∠ADC=180° E 图3 ∴.∠B=∠ADF ,在△ABG与△ADF中， AB-AD ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS). ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF .∠BMG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD, ∴.∠GAE=∠EAF」 AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF(SAS). ∴.EG=EF EG=BE-BG 15/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF=BE-FD 同理可得：EG=EF .EG=BG-BE .∴.EF=FD-BE. 24. 【答案】(1)证明：.'∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°， ∴.∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°， 又.∠DBF+∠ABD=180, ∴.∠C=∠DBF, 在△CDE和△BDF中， DC=DB ∠C=∠DBF CE=BF ∴.△CDE≌△BDF SAS, ∴.DE=DF: (2)解：猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG. 证明：.'∠EDG=60°，∠CDB=120°， ∴，∠CDE+∠GDB=∠CDB-∠EDG=60°， 由(1)，可得△CDE≌△BDF, ∴.∠CDE=∠BDF, ∴.∠GDB+∠BDF=60, 即∠FDG=60°， ∴.∠EDG=∠FDG, 在△DEG和△DFG中， DE=DF ∠EDG=∠FDG DG=DG ∴.△DEG≌△DFG SAS, ∴.EG=FG 又.CE=BF,FG=BF+BG, ∴.CE+BG=EG: 16/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：当∠EDG=90°- 2Q时，CE+BG=EG仍然成立， F明：上EDG=90°-5a,∠CDB=180°-Q ∴.∠CDE+∠GDB=∠CDB-∠EDG=180°-a-90°- 2a=90-1。 1 由(1)，可得△CDE≌△BDF, ∴.∠CDE=∠BDF, ·∠BDG+∠BDF=90-1 9, 1 即∠FDG=90° 2q, ∴.∠EDG=∠FDG, 在△DEG和△DFG中， DE=DE 1 ∠EDG=∠FDG, DG=DG ∴.△DEG≌△DFG SAS, ∴.EG=FG, 又.CE=BF,FG=BF+BG, ∴.CE+BG=EG: 当2BDG=900-a时，CE+BG=EG仍然成立 25. 【答案】(1)解：BE、EF、FD之间的数量关系是EF=DF+BE, ,△AEF≌△AGF, .EF=FG, .DG=BE,FG=DF+DG. ..EF=FG=DF+DG=DF+BE: (2)上述结论仍然成立：理由如下： 如图所示，延长FD到G,使DG=BE,连接AG, 17/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B E :∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180° ∴.∠B=∠ADG, 又.AB=AD,BE=DG, ∴.△ABE≌△ADG SAS, “.∠EAB=∠GAD,AE=AG,(全等三角形的对应角、对应边相等) ∠BAF=克∠BAD, ∴∠EAF=∠FAG, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF: AF-AF .△AEF≌△AGFSAS, .'EF=FG=DF+DG=DF+BE, 即：EF=DF+BE,结论仍然成立. 26. 【详解】(1)解：∠BAD=2∠EAF,理由如下： 如图所示，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G E ,∠B=∠ADC=90°， ∴.∠B=∠ADG=90°， 又，DG=BE,AB=AD, 18/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABE≌△ADG SAS, .∠BAE=∠DAG,AE=AG, ∴.∠BAE+∠DAE=∠DAG+∠DAE, 即∠BAD=∠EAG, EF=BE+FD. ∴.EF=GD+FD=GF, 又，AE=AG,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGFSSS, ∴∠EAF=∠GAF, ∴.∠BAD=∠EAG=2∠EAF: (2)∠EAF=∠BAE+∠FAD,理由如下： 如图所示，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG G B ,∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， ∴，∠B=∠ADG 又DG=BE,AB=AD, ∴△ABE≌△ADG SAS, ∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF=BE+FD .EF=GD+FD=GF, 又，AE=AG,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGFSSS, ∴.∠EAF=∠GAF, ',∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠FAD=∠BAE+∠FAD ◆题型7：对角互补模型 19/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27. 【答案】(1) 证明：过点P作PG⊥OA于G,PH⊥OB于H,如图 A G D C OC∠AOB PG⊥OA,PH⊥OB -B 8 的角平分线， ∴.PG=PH ·∠PEB+∠PDO=180°，∠PDA+∠PD0=180°， ∴.∠PDA=∠PEB 在△PGD和△PHE中： ∠PGD=∠PHE=90° ∠PDA=∠PEB PG=PH △PGD≌△PHE(AAS), ∴.PD=PE: (2) 证明：过点P作PG⊥OA于G,PH⊥OB于H,如图 G D ∠AOB PG⊥OA,PH⊥OB HE B 是 的角平分线， ∴.PG=PH, ∠PEB+∠PDA=180°，∠PDA+∠PDG=180°， ∴.∠PDG=∠PEB 在△PGD和△PHE中， ∠PGD=∠PHE=90° ∠PDG=∠PEB PG=PH '.△PGD≌△PHE(AAS), ∴.PD=PE: 20/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图，过点Q作QG⊥OA于G,过点Q作QH⊥DE于H, ○ B ,'OC是∠AOB的角平分线，QF⊥OB,QG⊥OA, ∴.QG=QF, 又，QE平分∠PEB,QF⊥OB,QH⊥DE, ∴.QH=QF, ∴.QG=QH, ..DQ平分∠ADE, 在△QHE和△QFE中， ∠QHE=∠QFE=90° ∠HEQ=∠FEQ QE=QE ∴.△QHE≌△QFE(AAS）, 同理可证△QGD≌△QHD(AAS）,△QGO≌△QFO(AAS）, .DG=DH,EH=EF=1,OG=OF DP=2,PE=3, ∴.DE=DP+PE=5, DE=DH+EH=DG+1, ∴.DG=4, .OG=OF, ∴.OD+DG=OE+EF即OD+4=OE+1, ∴.OE-OD=3 28. 【答案】(1) 证明：如图所示，过点D作DF⊥BA交BA于点F 21/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F D B E ,BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E,DF⊥BA ..DF=DE ,∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD+∠FAD=180° ∴∠AD=∠DCE 又，∠AFD=∠DEC=90° ∴.△FAD≌△ECD AAS ∴DA=DC (2)解：：BD为∠ABC的平分线 ∴.∠FBD=∠EBD ,∠AFD=∠DEC=90°，BD=BD ∴.△FBD≌△EBD AAS .FB=BE ,△FAD≌△ECD AAS ∴.FA=EC .BC=BE+EC=BF+CE=AB+AF+CE=12+2CE=16 .CE=2 (3)解：由(2)知FB=BE,FA=EC, ∴.BC-CE=AB+AF,即BC-CE=AB+CE, CE=BC-AB) .BE-BG-CE-BG-IBC-AB(BC+AB). 又BC+AB=m, aE吃n 29. 【答案】(1)CE=CF,∠CDE=∠CBF 22/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为B、F, 则∠AEC=∠BFC=90°， ,AC平分∠MAN ..CE=CF, 由四边形AFCE的内角和等于360°， :∠MAN+∠ECF=180°， ,∠MAN+∠DCB=180°， .∠ECF=∠DCB, ∴.∠ECD=∠FCB 又，∠CED=∠CFB=90°， ∴.△CED≌△CFB, ∴CD=CB: M E ◇ BN 图2 (3)AB-AD=AC,证明如下： 过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为B、F ,∠MAN=120°，AC平分∠MAN, ∴.∠EAC=∠FAC=60°， ∴.∠ACE=∠ACF=30°， ∴，AC=2AF=2AE, 由(2)△CED≌△CFB, .'.ED=FB, ..AB-AD=AF+FB-AD=AF+ED-AD=AF+AE+AD-AD=2AF=AC: ..AB-AD=AC; 23/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E B N 图3 (4)6 【分析】(1)根据角平分线的性质和角度的等量代换即可解答： (2)过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F,通过角的代换证明∠ECD=∠FCB,进 而证明△CED≌△CFB,即可得到结论： (3)过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F,根据含30度角的直角三角形的性质结合 (2)的结论和线段的和差即可得出结论： (4)连接AO,过点O分别作AC、AB的垂线，垂足分别为G、H,如图，可得 ∠BAC+∠EOF=180°，则由(3)的结论可得：AE-AF=AG+AH,然后根据等边三角形的性 质和含30度角的直角三角形的性质求出CG,BH即可求出答案. 【详解】(1)过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F .AC平分∠MAN, ∴.CE=CF(角平分线上一点到这个角两边的距离相等)， ,∠MAN+∠DCB=180°，由四边形ABCD的内角和等于360°， ∴，∠ADC+∠ABC=180°， 又，∠ADC+∠CDE=180°， ∴∠CDE=∠CBF 又，∠CED=∠CFB=90°， ∴.△CED≌△CFB, ∴CD=CB 故答案为：CE=CF,∠CDE=∠CBF (2)略 (3)略 (4)连接AO,过点O分别作AC、AB的垂线，垂足分别为G、H,如图， ,△ABC为等边三角形，点O为BC边中点， 24142 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC=60°，AO平分∠BAC, :∠E0F=120°， ∴∠BAC+∠EOF=180°， 则由(3)的结论可得：AE-AF=AG+AH H B 图4 ,△ABC为等边三角形，边长为4， .AC=BC=4,∠C=∠ABC=60°， ,点O为BC边中点， ∴.B0=CO=2,∠COG=∠BOH=30°， G=C0=1,5BH=B0=1, ∴AG=3,AH=3, ∴.AE-AF=AG+AH=6: 故答案为：6. 30. 【答案】(1)DC=DB: (2)结论仍成立，理由如下： 在图③中，作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N, D M B 图③ ∴∠DNC=∠BMD=90°， ,DA平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC, ..DM=DN. 25/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠NCD=180°， .∠B=∠NCD 在△NCD和△MBD中， ∠DNC=∠BMD ∠NCD=∠B DN=DM ∴△NCD≌△MBD, ..DC=DB. ◆题型8：倍长中线法模型（难） 31. 【详解】解：(1)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB CD=BD ∴△ADC≌△EDB SAS, ∴.AC=BE=4, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,即7-4<AE<7+4, ∴3<AE<11, ..AE=2AD. D号 2, 故答案为：号AD宁 (2)如图1，延长CE,交AD的延长线于点G. F B 图1 ,D是BC的中点， 26142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD=CD AB‖CE, .∠B=∠DCG 在△ADB和△GDC中， △ADB≌△GDC(ASA). .∠DAB=∠G,CG=AB=10, .CE=3, ∴.≥=CG-CE=10-3=7, :∠DAB=∠F, ∴上G=∠F, ∴.EF=≥=7 (3)如图2，延长AD至点F,使得DF=AD,在DF上取点G,使得FG=DE,连接BF,BG B 图2 ,D是BC的中点， .BD=CD 在△BDF和△CDA中， 乙 ∴.△BDF≌△CDA(SAS)」 ∴BF=AC,∠F=∠CAD=52°， '.BE=AC,BF=BE, ∴.∠BEF=∠F=52° 在△BDE和△BGF中， 乙 ∴.△BDE≌△BGF SAS. 27/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD=BG, ‘.'AD=DF,DE=FG, ∴.AD-DE=DF-FG,即AE=DG .AE=BD, ∴.BD=DG=BG ∴.△BGD是等边三角形， ∴.∠BDG=60°， ∴.∠DBE=∠BDG-∠BED=60°-52°=8 32. 【答案】(1)解：①延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,如图， B E ,AD是中线， ∴BD=CD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB CD=BD ∴.△ADC≌△EDB|SAS, ∴.△ADC≌△EDB的依据是SASB ②.'△ADC≌△EDB .∴.AC=BE=6, AB=8, ∴.8-6<AE<8+6, .∴.2<2AD<14, ∴.1<AD<7: (2)证明：延长DE至点F,使FE=ED,连接BF,如图， 28/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A ,E是BC的中点， .BE=CE, 在△EDC和△EFB中， DE=FE ∠DEC=∠FEB CE=BE ∴△EDC≌△EFB|SAS, ∴DC=FB,∠D=∠F, .·∠BAE=∠CDE, ∴.∠F=∠BAE, ∴BA=BF, .AB=CD: (3)证明：延长BP交AD于点H,过点P作EF⊥m于点E,EF⊥n于点F,如图， m B H D 则EF=4, '.mln, ∴.∠EDP=∠FCP, 在△CPF和△DPE中， 29/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CPF=DPE CP=DP ∠FCP=∠EDP ∴.△CPF≌△DPE ASA, :p=印F-2 在△BPF和△HPE中， ∠BFP=∠HEP=90° PE=PE ∠BPF=∠HPE ∴.△BPF≌△HPE ASA, ∴.BP=HP, AP⊥BP, ∴AP为BH的垂直平分线， ∴.AB=AH, SAAPH=2 AH-PE=LAP-PH. ∴.AHPE=APPH, ∴.AB×2=PAPB, ∴.PAPB=2AB 33. 【答案】解：(1)如图①，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, D E 图① ‘D是BC的中点， ∴.BD=CD '∠ADC=∠BDE, ∴.△ACD≌△EBD(SAS), ∴.BE=AC=4, 30/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, ∴.6-4<AE<6+4, ∴.2<AE<10, .1<AD<5, 故答案为：1<AD<5: (2)证明：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, 4 B D 由(1)可得△ACD≌△EBD(SAS), ∴.AC=BE,CAD=∠E, ,'AD平分∠BAC ∴.∠CAD=∠BAD=∠E, ∴.BA=BE=AC: (3)解：如图③，延长AE,DF交于点G, D E B..AB CD 图③ G ∴.∠BAG=∠G, 在△ABE和△GCE中， CE=BE ∠BAE=∠G ∠AEB=∠GEC .△ABE≌△GEC(AAS), ∴.CG=AB=13, 31/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .:AE是∠BAF的平分线， ∴.∠BAG=∠GAF, ∴.∠AG=∠G, ∴.AF=GPF, FG+CF=CG .∴.AF=FG=AB-CF=11 34. 【答案】(1)解：如图①，延长AD至E,使得ED=AD,连接BE, .·AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB AD=ED ∴.△ADC≌△EDB SAS, 故答案为：SAS (2)证明：如图，延长MD到点E,使得MD=ED,连接CE,NE, M AD△ABC 是 的中线， ∴.BD=CD ,在△BDM和△CDE中， CD=BD ∠MDB=∠EDC ED=MD .△BDM≌△CDE SAS, ∴.BM=CE, ,ED=MD,DM⊥DN, ∴.MN=NE 在△NEC中，NE<CE+NC, 32/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN<BM+CN. (3)如图，延长AM到点N,使得MN=AM,连接BN, D 由(1)知，△BMN≌△CMA|SAS, BN=CA,∠BNM=∠CAM, ∴.AC‖BN, .AC=AD, . BN=AD. AC‖BN, ∴.∠BAC+∠ABN=180°， .∠BAE=∠CAD=90°， ∴.∠BAC+∠EAD=180°， ∴.∠ABN=∠EAD, 在△ABN和△EAD中， AB=EA ∠ABN=∠EAD BN=AD ∴.△ABN≌△EAD SAS, ∴.AN=DE, .∵MN=AM, .DE=AN=2AM. .·AM=14, ∴.DE=2AM=28 综合攻坚·知能拔高 1. 33/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)证明：，AC‖DE ∴∠ACB=∠FED, ∠ACB=∠FED AC=DE ∠A=∠D ∴.△ABC≌△DFE ASA. (2)解：，△ABC≌△DFE ASA, ∴.∠B=∠F ,∠A=70°，∠ACB=60°， .∠B=∠F=180°-∠ACB-∠A=50: 2. 【详解】解：，∠DPC=12°，∠APB=78°， ∴.∠DPC+∠APB=12°+78°=90°， 由题意得∠ABP=∠PDC=90°，BP=DC=10米， ∴.∠BAP+∠APB=90°，PD=BD-BP=47米， .∠BAP=∠DPC, 在△ABP和△PDC中， ∠ABP=∠PDG=90° ∠BAP=∠DPC BP=DC ∴，△ABP≌△PDCAAS, ∴AB=PD=47米， ,楼高AB是47米. 3. 【答案】解：CE=BD,CE⊥BD,理由如下： 如图，延长CE,交BD于点F,交AB于点O, 34142 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠BAC=∠DAE=90°， ∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠CAE=∠BAD, 在△ACE和△ABD中， AC=AB CAE=∠BAD AE=AD .△ACE≌△ABD|SAS, ∴CE=BD,∠ACE=∠ABD, 由对顶角相等得：∠AOC=∠BOF, ∴180°-∠ABD-∠BOF=180°-∠ACE-∠AOC,即∠BFC=∠BAC=90°， :.CE⊥BD 【答案】(1)解：如图，△ABC即为所求： B> (2)解：如图，△ABC1,△ABC2即为所求： (3)解：如图，在图2的BC上截取BK=BM,连接PK, A A B K 图1 图2 在图1中， ,BP平分∠ABC, ∴，∠ABP=∠CBP,PE=PF,BP=BP, 此时△BPE,△BPF不一定全等， 35/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当BE=BF时， .△BPE≌△BPF SSS成SAS, 在图2中，BM≠BN,BK=BM, △BMP≌△BKP|SAS,而△BMP,△BNP不全等， .BE=BM, ∴.当BF=BK=BE=BM时， ∴，△BEP,△BFP,△BMP,△BKP全等， ∴，△BEP,△BFP,△BMP,△BKP的面积相等， ,模型2中四边形BMPN面积比模型1中四边形BEPF面积大10cm, ∴.△PKN的面积为10cm2, .BN=2BF=2BK, ∴.△BPF的面积为10cm2, ∴.模型1中四边形BEPF面积为20cm2: ∴，钉出两种不同模型的原因是：两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯 【答案】(1)证明：，∠BAC=∠EAD, :∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC, 即∠DAB=∠EAC, 在△ABD和△ACE中， AE=AD ∠EAC=∠DAB AB=AC ∴△ABD≌△ACESAS: 【详解】(1)略 (2)解：：∠BAC=∠EAD,∠CAD=100°， :∠BAC=∠EAD=号180°-∠CAD=号180-100=40°， ,∠BAC=∠AEC+∠ACE, ∴.∠AEC+∠ACE=40°， ,△ABD≌△ACE, 36142 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACE=∠ABD. .∠DFE=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=40° 6 【答案】(1)证明：：∠ACB=∠DCE=50°， ∴.∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， 飞， .△ACD≌△BCE SAS. (2)解：设AH与BC交于点O, B ,△ACD≌△BCE, ∴.∠CAD=∠CBE, ,∠AOC=∠BOH, ∴.∠AHB=∠ACB=50°， '.∠AHE=130° 7. 【答案】 (1)证明：∠1=∠2， ∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE, .∠ABE=∠CBD, ,在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD, BE=BD ∴，△ABE≌△CBD SAS. (2)解：，△ABE≌△CBD, ∴∠A=∠C, :∠AFB=∠CFE, 37/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A+∠AFB+∠1=∠C+∠CFE+∠3， .∠3=∠1=50 8. 【答案】(1) AC=BD,∠ADB=60°，说明如下： 如图所示，设AD,OB交于点T, ∠AOB=∠COD=a=60°」 .∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, ∴.∠AOC=∠BOD, .OA=OB,OC=OD. ∴△OAC≌△OBD SAS, ∴.AC=BD,∠OAC=∠OBD, ,∠ATO=∠BTD, :.180°-∠OAC-∠ATO=180°-∠OBD-∠DTB, ∠ADB=∠AOB=60°； (2)解：如图所示，设AD,OB交于点T, ,∠AOB=∠COD=a=30°， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, ∴，∠AOC=∠BOD, .OA=OB,OC=OD. ∴.△OAC≌△OBD|SAS, 38/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=BD,∠OAC=∠OBD, :∠ATO=∠BTD, ∴.180°-∠OAC-∠ATO=180°-∠OBD-∠DTB, ∴.∠ADB=∠AOB=30°： (3)解：如图所示，设AD,OB交于点T, ∠AOB=∠COD=a, ∴.∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, ∴.∠AOC=∠BOD, OA=OB,OC=OD, ∴△OAC≌△OBD SAS, ∴AC=BD,∠OAC=∠OBD, ,∠ATO=∠BTD, ∴.180°-∠OAC-∠ATO=180°-∠OBD-∠DTB. ∴.∠ADB=∠AOB=a. 9. 【答案】(1)解：'∠BDA=∠AEC=∠BAC, ∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°=∠BAD+∠BDA+∠ABD, ∴.∠CAE=∠ABD, 又，AB=AC, ∴.△ABD≌△CAEAAS, ∴BD=AE: (2)DE=BD+CE,理由：，点D、A、E在直线m上， .∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°， 39142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由三角形内角和定理知，∠DAB+∠BDA+∠ABD=180°， ,∠BDA=∠AEC=∠BAC, ∴，∠CAE=∠ABD, .AB=AC, ∴.△ABD≌△CAEAAS, ∴.AD=CE,BD=AE, .'DE=BD+CE: (3)解：如图所示，过点A作AF⊥BC于F, B->PE ∴∠AFB=∠AFC=90°， 又，AB=AC,AF=AF, :Rt△AFB≌Rt△AFC HL, ∠B=∠C: ,E是AB中点， BE-AB-6cm, 当△BPE兰△CPQ时，则CQ=BE=6cm,BP=CP=号BC=4am, 1=号26 g-9=3lcm/, 当△BPE≌△CQP时，则BE=CP=6Cm,BP=CQ, ∴.BP=BC-CP=2cm, e Vo==2(cm/sl: 2 综上所述，点Q的运动速度为3cm/s或2cm/s 40/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10. 【答案】(1)证明：：CD是△ABC的AB边上的高，EF⊥DC, ∴.∠ADC=∠CFE=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90, .∠ACE=90°， .∠FCE+∠ACD=90°， ∴∠FCE=∠DAC, 在△ADC和△CFE中， ∠ADC=∠CFE=90 ∠DAC=∠FCE AC=CE ∴.△ADC≌△CFE AAS: (2)证明：由(1)可得△ADC≌△CFE, ∴CD=EF, .CD=BD, .BD=EF, 在△BDH和△EFH中， ∠BDH=∠EFH=90° ∠BHD=∠EHF BD=EF ∴，△BDH≌△EFH AAS, ..DH=FH: (3)解：由(1)可得△ADC≌△CFE, ..AD=CF,CD=EF, 由(2)可得DH=FH, ..BD=CD,DC=4, .BD=CD=EF=4, :S△ABc=8S△HCE, 2AB×4=8×CHX4 ∴.AB=8CH, .AB=AD+BD=AD+CD=CF+CD=FH-CH+CD=DH-CH+4, 41/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，DH-CH+4=8CH, ..DH+4=9CH, ∴，DH+CH+4=10CH, .CD+4=10CH, ∴.4+4=10CH, CH-g ..AB=8CH=32 42/42 专题03 全等三角形常考八大模型汇编 常考题型·精准突破 题型1:平移型 题型2:翻折型 题型 3:旋转型 题型 4:一线三等角型（高频） 题型 5:手拉手模型（高频） 题型 6:半角模型（难） 题型 7:对角互补模型 题型 8:倍长中线法模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型 1:平移型 1．如图，已知，，，在同一条直线上，， ，，与交于点．求证： ． 【答案】证明：， ， ． 又， ． 在和中， ． 【分析】由两边同时加上推导出；由推导出；最后根据证明两个三角形全等即可． 【详解】见答案 2．如下图，已知点C，D都在线段上，，，．试说明：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】由平行线的性质得出，再利用得出． 【详解】证明：略． 3．如图，点、在的边的延长线上，过点作，使得，连接，，．试说明． 【答案】证明：∵， ∴， ∴，                在和中，，，， ∴，                ∴． 【分析】证明即可解答； 【详解】略 4．如图，点在一条直线上，与交于点，，，．与相等吗？为什么？ 【答案】解：．理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ，即． 【分析】根据，得到，继而根据证明，得到，根据线段的和差关系即可得到答案． 【详解】略． 5．如图，点A，C，F，D在同一条直线上，，，，且．求证：； 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 【分析】根据平行线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，然后利用角角边进行证明全等三角形． 【详解】证明：略． ◆题型 2:翻折型 6．如图，已知，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，， ， ． 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】略 7．如图，某民间手艺人制作风筝的支撑骨架中，点E，F分别在的延长线上，平分，．求证：． 【答案】解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 【分析】由可得，根据角平分线的定义可得，再由“”证明即可得到． 【详解】略 8．与按如图所示的位置摆放，交于点M，交于点N，与交于点O．若，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】证明：略． 9．如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． (1)求证： ； (2)若， ，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先确定已知的等边条件，再由是角平分线得到一组等角，结合公共边，用全等判定定理证明三角形全等； （2）先利用三角形内角和为，计算出的度数；再根据角平分线的性质，求出的度数，最后在中，再次使用三角形内角和公式计算的度数． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∵ 平分， ∴， 在中， ∴ ． ◆题型3:旋转型 10．如图，已知，，．求证：． 【答案】证明： ， ∴，即， 在和中， ， ， ． 【分析】通过证明三角形全等来推导对应边相等来证明． 【详解】略． 11．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 12．如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】解：与的数量关系是：， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴． 【分析】根据“”证明和全等，再结合全等三角形性质，即可推出与的数量关系． 【详解】略 13．已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 【答案】，理由如下： 平分 ， ． 又 ． ， 又 ， 同理： 又， ． 【分析】先证明，得出，进而证明，再根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 ◆题型4:一线三等角型(高频) 14．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 16．模型意识以及知识运用 (1)【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． (2)【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． (3)【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)6 (3) 证明：∵，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）依据题意，由于E，于F，则，，又四边形是正方形，可得，，从而，进而，最后由即可判断得解； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，∵于E，于F， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 17．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N． (1)若在外（如图1）， 求证：； (2)若与线段相交（如图2），且，，则 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用互余关系证，再证，得到，，即可得出结论； （2）类似于（1）可证，得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 18．如图，等腰中，，，点A在线段上，． (1)求证； (2)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据，，得出，再根据即可证明； （2）由（1）可知，，则，再根据的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． ◆题型5:手拉手模型(高频) 19．已知：如图，和都是等腰三角形（，，），点、、不在同一条直线上，连接和．试探究线段与的数量关系并说明理由． 【答案】，理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ． 【分析】由推出，再根据推出，进而证明． 【详解】略 20．若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【答案】(1)①证明：∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； (2)为等边三角形 (3) 【分析】（1）①由等边三角形的性质得到，则可利用证明；可证明，，则可证明，同理可证明； （2）由（1）得，，则，据此可证明为等边三角形； （3）可证明，得到． 【详解】（1）①略； ②解：∵， ∴， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明； （2）解：如图所示， 由（1）得，， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：由（2）得为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 21．已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)解：①，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ，， ， ， ， ， ， 综上：， ② 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）①证明，进一步利用全等三角形的性质证明即可；②由，可得，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，， ∴； （2）证明：①略 ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 22．【综合与探究】 (1)在和中，，，，连接，． ①【模型呈现】如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； ②【模型应用】如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数； (2)【拓展延伸】如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，，，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上分别取点M，N，且满足点M，N分别是，的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论． 【答案】(1)①解： ，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2)公园的规划能实现，证明如下： 由题意得， 同理可证明， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴公园的规划能实现． 【分析】（1）①根据证明即可得； ②设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （2）根据证明，则可得，，进而可得，则可得，即为等腰直角三角形． 【详解】（1）①略； ②∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 ◆题型6:半角模型(难) 23．按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 24．如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【答案】(1)证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； (3)当时，仍然成立． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先证明，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，仍然成立， 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． 25．在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】(1) (2)上述结论仍然成立；理由如下： 如图所示，延长到，使，连接， ∵， ， 又，， ， ∴，，（全等三角形的对应角、对应边相等） ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， 即：，结论仍然成立． 【分析】（1）由，可得，而，则可得； （2）延长到，使，连接，可证得，，从而得到，结论仍然成立． 【详解】（1）解：、、之间的数量关系是， ∵，   ∴， ∵，， ∴； （2）略 26．按要求完成下面小题． (1)【问题发现】如图①，在四边形中，，，点、点分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系，小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_______， (2)【问题解决】如图②，为了丰富市民活动，政府规划了一块四边形的运动场地，在四边形中，，．点、点分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 如图所示，延长到点，使，连接． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】（1）延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，延长到点，使，连接． ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：略． ◆题型7:对角互补模型 27．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 【答案】(1) 证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ． ， ． 在和中： ， ； (2) 证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ， ， ． 在和中， ， ， ； (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）过点作于于，利用角平分线性质得到相等线段，再结合角的关系证明三角形全等，从而得出； （2）过点作于于，利用角平分线性质和角的关系证明三角形全等，进而得到； （3）利用角平分线的性质，通过线段的转化求出的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于，过点作于， 是的角平分线，， ， 又 平分， ， ， 平分， 在和中， ， 同理可证，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 28．如图，在四边形中，平分，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴； (2)2 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可； （3）由（2）知：，，则可求出，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：由（2）知，， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴． 29．小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上．    (1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分， ∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°， ∴， 又∵， ∴______=______， 又∵， ∴， ∴． (2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立． (3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______． 【答案】(1)， (2) 证明：过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F， 则， ∵平分． ∴， 由四边形的内角和等于， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；    (3)，证明如下： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵，平分， ∴， ∴， ∴， 由（2）， ∴， ∴； ∴；    (4)6 【分析】（1）根据角平分线的性质和角度的等量代换即可解答； （2）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，通过角的代换证明，进而证明，即可得到结论； （3）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据含30度角的直角三角形的性质结合（2）的结论和线段的和差即可得出结论； （4）连接，过点O分别作的垂线，垂足分别为G、H，如图，可得，则由（3）的结论可得：，然后根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质求出即可求出答案． 【详解】（1）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分， ∴（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：， （2）略 （3）略 （4）连接，过点O分别作的垂线，垂足分别为G、H，如图， ∵为等边三角形，点O为边中点， ∴，平分， ∵， ∴， 则由（3）的结论可得：，    ∵为等边三角形，边长为4， ∴， ∵点O为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 30．感知： 如图①，平分，，易知：． 探究：（1）如图②，在四边形中，平分，，试探究与的数量关系． 应用：（2）如图③，在四边形中，平分，，与的上述关系还成立吗？并说明理由． 【答案】（1）； （2）结论仍成立，理由如下： 在图③中，作于M，于N， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． （1）在图②中，作于E，于F，得出，求出，即可证出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）在图③中，作于M，于N，得出，得出，可证出，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 在图②中，作于E，于F， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）略 ◆题型8:倍长中线法模型(难) 31．综合与探究 【阅读理解】 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点E，使，连接． 根据“”可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围，即可求出的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，的取值范围是______． 【尝试运用】 （2）如图2，在中，D是的中点，过点C作，点F在的延长线上，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，D是的中点，E是上一点，，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）7；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握构造三角形全等的方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据可判定，得，在中，根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到，再根据，即可求解； （2）延长，交的延长线于点G，根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质求解即可； （3）延长至点F，使得，在上取点G，使得，连接．根据全等三角形的判定得出，，，再利用其性质即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图1，延长，交的延长线于点G． ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴， ， ， ， ， ． （3）如图2，延长至点F，使得，在上取点G，使得，连接． ∵D是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴， ， ． 在和中， ∴， ， ， ，即． ∵， ， 是等边三角形， ∴， ∴． 32．【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【分析】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是 ； ②， ， ， ， ， ； （）略 （）略 33．【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 由（1）可得， ， 平分， ， ； （3） 【分析】本题考查了三角形的三边关系，作辅助线-倍长中线法、全等三角形的判定与性质，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，根据（1）中可得，即可得到，即可解答； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 34．发现问题 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点，使，连接，得到，他用到的判定定理是______；（用字母表示） 解决问题 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”， “中线”字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：； 拓展应用 （3）如图③，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点是的中点，连接，，当时，求的长． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接，， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ． （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）延长至，使得，连接，由是的中线，得到，进而得到． （2）延长到点，使得，连接，，通过证明，得到，再由，，得到，在中，，得到． （3）延长到点，使得，连接，由，得到，，再通过，得到，由此得到答案． 【详解】（1）解：如图①，延长至，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：． （2）略 （3）如图，延长到点，使得，连接， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵ ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的判定证明即可； （2）利用三角形内角和，全等三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴． ∵，， ∴； 2．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测得楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，都等于10米，量得旗杆与楼之间距离为，请你帮小程计算出楼高是多少米？ 【答案】楼高是米 【分析】证明，由全等三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得，米， ∴，米， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴楼高是米． 3．已知：在和中，，，．请判断线段和有怎样的关系？请说明理由． 【答案】解：，，理由如下： 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． 【分析】延长，交于点，交于点，先得出，则，，再得出，进而可得． 【详解】解：略． 4．阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，，即为所求； (3)20，两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一 【分析】（1）根据要求逐步作图即可； （2）作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，进一步完成作图即可； （3）证明当时，或，在图2中，，，可得，而不全等，可得当时，全等，进一步分析求解. 【详解】（1）解：作直线，过作直线的垂线，在垂线上截取，在直线上取点，且，则即为所求； 作图略 （2）解：作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，则， 显然：，两个三角形不全等. 作图略 （3）解：如图，在图2的上截取，连接， 在图1中， ∵平分， ∴，，， 此时不一定全等， 当时， ∴或， 在图2中，，， ∴，而不全等， ∵， ∴当时， ∴全等， ∴的面积相等， ∵模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴模型1中四边形面积为； ∴钉出两种不同模型的原因是：两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一. 5．如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 【答案】(1)证明：∵ ， ． 在 和 中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由 ， ， ，利用 ，即可判定 ； （2）由 ，可得 ，继而求得 ，则可求得 的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设 与 交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ． 7．如图，点E在上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等角加同一个角仍相等得到，利用证两三角形全等； （2）由（1）知，得到对应角相等，再利用三角形内角和为，有两组角相等，剩下的角一定相等求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题提出】如图①，和都是等腰三角形，，，，且点A、C、D在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 如图②中，先设，点A、C、D在同一直线上，则与互余，与互余，可得，再结合相等边就可以证明，根据全等就可以得到，再根据全等三角形的对应角，结合对顶角，就能推出，即： (1)在图③中，若，点A、C、D在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (2)在图④中，若，点A、C、D在同一直线上，则和的数量关系是____，_____； (3)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，和有怎样的数量关系和位置关系．（位置关系即求） 【答案】(1) ，说明如下： 如图所示，设交于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)； (3)； 【分析】（1）设交于点T，先证明，再证明，得到，根据对顶角相等和三角形内角和定理可证明； （2）同（1）求解即可； （3）用（1）求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图所示，设交于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设交于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 10．如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $