专题02 三角形的角度计算6大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“核心定理+场景迁移”构建方法体系，通过6类典型题型分层突破三角形角度计算，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|内角和与外角性质为核心，角平分线公式、平行线转移角、折叠旋转对应角转化|从定理本质到多场景应用| |题型归纳|6类（含变式）|证明用平行线转移角，角平分线用公式/方程，折叠旋转抓对应角|从基础证明到复杂背景综合| |压轴挑战|15题|综合运用分类讨论与数形结合|突破思维上限，衔接中考|

专题02 三角形的角度计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形内角和的证明 题型2、与角平分线有关的内角和问题 题型3、与平行线有关的内角和计算 题型4、折叠背景下三角形内角和问题 题型5、旋转背景下的三角形内角和应用 题型6、三角形外角性质的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 三角形的角度计算要紧紧抓住内角和等于180°与外角等于不相邻两内角之和这两个核心定理；遇到角平分线时，常利用“内角平分线夹角公式”或整体代换求相关角；平行线背景下要灵活寻找同位角、内错角、同旁内角，实现角的转移；折叠问题要抓住折叠前后对应角相等，常结合平角、周角建立方程；旋转问题要关注旋转角与对应角的关系，利用全等或等腰三角形转化角度；外角性质常用于把分散的内角集中到一个三角形或一条直线上；综合压轴题要善于设未知数、列方程，结合分类讨论与数形结合思想求解． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形内角和的证明 典例1 （25-26八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程） 题型模版 1.特征：通过作平行线、折叠或剪拼等方法证明三角形内角和等于180°． 2.方法：常用“两直线平行，同旁内角互补”转移角；或利用平角、周角将三个内角拼成180°；注意辅助线的规范表述． 变式1-1 证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在边上任取一点，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 (1)请从上面三种方法中任选一种进行证明； (2)在第二种方法中：若点为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？___________（填“可以”或“不可以”）． 变式1-2 （25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 变式1-3 （1）【问题情境】已知如图1：，求证：． 证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成证明过程）        图1 （2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）．            图2 （3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数．           图3 题型2、与角平分线有关的内角和问题 典例2 （25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，则____________，____________． 题型模版 1.特征：在三角形中利用内、外角平分线求夹角或相关角的度数． 2.方法：掌握双内角平分线夹角=90°+½∠A、双外角平分线夹角=90°-½∠A等结论；遇单角平分线则设未知数列方程． 变式2-1 （25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2 ）【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，求的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点．若平分． ①试求出的度数； ②已知，点G是直线上的一个动点，连接并延长． 2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，_____； 2.2如图4，若是的平分线与的延长线交于点F，与交于点P，且，则______（用含的代数式表示）． 变式2-3 【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，，是的“三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； (3)如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 题型3、与平行线有关的内角和计算 典例3 （25-26七年级下·浙江金华·期末）如图1，已知直线与直线平行，两个相同的直角三角尺和摆放在与之间，其中，，点E在直线上，边在直线上，点G，P，F，N在同一条直线上． (1)请猜想的度数，并说明理由． (2)将绕点E以每秒的速度逆时针旋转并记为，设运动时间为t秒（）． ①如图2，固定不动，当与的其中一边平行时，求t的值． ②如图3，点Q在边上，连结，使平分．在旋转的同时，也绕点M以每秒的速度顺时针旋转并记为．当与的其中一边平行时，请直接写出t的值． 题型模版 1.特征：借助平行线的性质进行三角形内角、外角的计算与证明． 2.方法：识别同位角、内错角、同旁内角；利用平行线把未知角转移到三角形内部；必要时作平行辅助线． 变式3-1 （25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 变式3-2 在中，平分交于点D，点E是射线上的动点（不与点D重合），过点E作交直线于点F，的角平分线所在的直线与射线交于点G．    (1)如图1，点E在线段上运动． ①若，，则__________°； ②若，求的度数； (2)若点E在射线上运动时，探究与之间的数量关系． 变式3-3 （25-26七年级下·四川资阳·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，求与； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的的度数． 题型4、折叠背景下三角形内角和问题 典例4 知识点探索：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ （1）如图1，探索与的数量关系，并说明理由． 初步应用 （2）如图2，求的和． 解：∵， __________． 又∵ ∴__________． 拓展应用 （3）如图3，平分，平分，求证： （4）如图4，，，将沿折叠，若，则_______． 题型模版 1.特征：在长方形、三角形折叠背景下，利用对应角相等求角度． 2.方法：找准折叠前后重合的角与边；利用平角、周角、对顶角建立等式；注意折叠后点的位置分类讨论． 变式4-1 （25-26七年级下·湖北武汉·期中）长方形内有一点P，E、F分别为边上一点，连，过点P作折痕m，交于点H，交于点G，沿折痕m将折叠，使得点F落在线段上处（如图1），再过点P作折痕n，交于点R，沿折痕n将折叠，点H落在直线m上处（如图2），连和，若，（如图3），则（    ） A． B． C． D． 变式4-2 综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 变式4-3 （25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 题型5、旋转背景下的三角形内角和应用 典例5 （25-26七年级下·上海杨浦·期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则______，______； (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值． 题型模版 1.特征：在三角板旋转、图形旋转背景下，探究角度之间的数量关系． 2.方法：抓住旋转角相等、对应角相等；结合三角板特殊角（30°、45°、60°、90°）进行计算；注意旋转过程中的临界位置． 变式5-1 数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：    (1)【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D． ①求的度数； ②设，请用α的代数式表示． (3)【拓展】如图3，在中，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转,当旋转一周时,运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 变式5-2 （24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点平分平分与交于点． ① °； ②若，求； （2）如图2将②中确定的绕着点以每秒的速度逆时针旋转，绕着点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的一边与的一边平行时，求出此时的值． 变式5-3 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图1摆放时，则___________，___________； (2)现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)现固定，将绕点A以每秒3度的速度顺时针旋转，如图3所示，设旋转时间为秒（，旋转过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 题型6、三角形外角性质的应用 典例6 （25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知：，点E，M分别是直线，上的点，F为射线上一动点，连接、，过点F作交射线于点G，点H为射线上一点，且平分． (1)如图1，若为钝角， ①求证：平分； ②若，求的度数； (2)如图2，若为锐角，，探究与之间的数量关系． 题型模版 1.特征：利用三角形外角等于不相邻两内角之和进行角度计算与证明． 2.方法：把外角作为桥梁，将分散的角集中；常与角平分线、平行线、对顶角结合；注意外角与相邻内角互补关系． 变式6-1 （25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，直线与直线分别交于点G、H，平分交直线于点K，． (1)求证：； (2)如图2，点P在线段上，点N在线段上，平分，若，求的度数； (3)如图3，点M在线段上，点Q为射线上一动点且不与点G重合，连接，作的角平分线与相交于点R，直接写出与的数量关系． 变式6-2 （25-26七年级下·浙江温州·期中）如图1，已知，射线与重合．如图2，射线从开始绕点逆时针旋转，转动的速度是每秒1度，同时绕点顺时针旋转，转动的速度是每秒2度，当和延长线重合时与都停止，设转动的时间秒． (1)当时，求的度数； (2)当与的一边平行时，求的值； (3)设射线交射线于点，延长交于点，如图2所示，写出与的数量关系，并说明理由． 变式6-3 （24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，为上方一点，H、G分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为________（用含的代数式表示）． 5．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为______． 6．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【初步探究】 (1)如图1，，若，，则的度数为________； 【深入探索】已知，点G，E是直线上的点，且点G在点E的左侧，过点G的直线与过点E的直线交于点P，延长交直线于点H． (2)如图2，若，，求的度数； (3)如图3，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数． 9．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，平分，过射线上一点作交射线于点，点是直线上一点，连接，平分交于点．（提示：三角形的内角和为） (1)如图1，当点与点重合时，________________； (2)如图2，当点在线段上时，，求的度数； (3)当点在直线（不与，重合）上时，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 10．综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 11．（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 12．如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点． (1)判断之间的关系，并说明理由； (2)若． ①用含的代数式表示的度数； ②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值． 13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 14．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 15．阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点 与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角． 探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点 重合． （1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______． （2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ，，，发现 和 的两个角都是此三角形的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠． （4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形的角度计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形内角和的证明 题型2、与角平分线有关的内角和问题 题型3、与平行线有关的内角和计算 题型4、折叠背景下三角形内角和问题 题型5、旋转背景下的三角形内角和应用 题型6、三角形外角性质的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 三角形的角度计算要紧紧抓住内角和等于180°与外角等于不相邻两内角之和这两个核心定理；遇到角平分线时，常利用“内角平分线夹角公式”或整体代换求相关角；平行线背景下要灵活寻找同位角、内错角、同旁内角，实现角的转移；折叠问题要抓住折叠前后对应角相等，常结合平角、周角建立方程；旋转问题要关注旋转角与对应角的关系，利用全等或等腰三角形转化角度；外角性质常用于把分散的内角集中到一个三角形或一条直线上；综合压轴题要善于设未知数、列方程，结合分类讨论与数形结合思想求解． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形内角和的证明 典例1 （25-26八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【答案】(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型模版 1.特征：通过作平行线、折叠或剪拼等方法证明三角形内角和等于180°． 2.方法：常用“两直线平行，同旁内角互补”转移角；或利用平角、周角将三个内角拼成180°；注意辅助线的规范表述． 变式1-1 证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在边上任取一点，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 (1)请从上面三种方法中任选一种进行证明； (2)在第二种方法中：若点为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？___________（填“可以”或“不可以”）． 【答案】(1) 选第一种： 证明：过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即：三角形的内角和是； 选第二种： 过三角形内任取一点作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 即：三角形的内角和为：； 选第三种： 如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即：三角形的内角和为：； (2)可以 【分析】根据平行线的性质进行角的转换即可进行论证. 【详解】（1） 略 （2）可以，理由如下： 如图所示： 过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：三角形的内角和是. 变式1-2 （25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 变式1-3 （1）【问题情境】已知如图1：，求证：． 证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成证明过程）        图1 （2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）．            图2 （3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数．           图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20° 【分析】（1）过A点作DE∥BC，根据平行线的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据平角的定义得到结论； （2）过F作FM∥BC，设，，可得，求出，根据计算即可； （3）设，，根据DE∥BC结合三角形外角的性质求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）设，，故，， 过点作. ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）设，． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． 题型2、与角平分线有关的内角和问题 典例2 （25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，则____________，____________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质以及角平分线的性质，通过这些性质逐步推导角度关系． （1）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和； （2）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，． 平分， ， ； ， 平分，平分， ，， ， ，即， ； ；； （2）， ， ， ，． 平分，平分， ，， ， ， 由（1）可知不变， ； ，； 故答案为：，． 题型模版 1.特征：在三角形中利用内、外角平分线求夹角或相关角的度数． 2.方法：掌握双内角平分线夹角=90°+½∠A、双外角平分线夹角=90°-½∠A等结论；遇单角平分线则设未知数列方程． 变式2-1 （25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 变式2-2 ）【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，求的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点．若平分． ①试求出的度数； ②已知，点G是直线上的一个动点，连接并延长． 2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，_____； 2.2如图4，若是的平分线与的延长线交于点F，与交于点P，且，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：， ， ； （2）；（3）①；②2.1：或或；2.2： 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角度，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确作出辅助线，分情况讨论进行求解解题关键． （1）由平行线的性质可得，即可求解； （2）由平行线的推论可得，由（1）的可求解； （3）①由平行线的性质可得，由三角形内角和定理可求；②2.1先求出的度数，再分四种情况讨论，由角的数量关系可求解；2.2分别求出的度数，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）略． （2）解：如图2，过点E作，交于F， ， ， 由（1）可知：， ， ； （3）解：①， ， 平分， ， 又， ， ； ②2.1， ， ， ， ， 恰好平分， ， 当或时，； 当时，， ； 当时，， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或； 2.2是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2-3 【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，，是的“三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； (3)如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 【答案】(1)40 (2)90 (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． （1）根据“三分线”的定义即可得到答案； （2）根据是“邻三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵是的“三分线”， ∴， 故答案为：40； （2）解：如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：90； （3）解：∵， ∴， ∴． ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∴， ∴． 题型3、与平行线有关的内角和计算 典例3 （25-26七年级下·浙江金华·期末）如图1，已知直线与直线平行，两个相同的直角三角尺和摆放在与之间，其中，，点E在直线上，边在直线上，点G，P，F，N在同一条直线上． (1)请猜想的度数，并说明理由． (2)将绕点E以每秒的速度逆时针旋转并记为，设运动时间为t秒（）． ①如图2，固定不动，当与的其中一边平行时，求t的值． ②如图3，点Q在边上，连结，使平分．在旋转的同时，也绕点M以每秒的速度顺时针旋转并记为．当与的其中一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)解：，理由如下： 过点F作，如图 ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①t的值为或30或60；②t的值为20，30，50 【分析】（1）过点F作，先推导出，求出，再根据平行线的判定与性质进行求解即可； （2）①由题意，得到，分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，得 ， 第一种情况：当时，如图 ∴， 即， 解得； 第二种情况：当时，如图 此时点在直线上， ∴， 解得， 第三种情况：当时，如图 ∵， ∴，即此时点在直线上， ∴， 即 解得， 综上所述，当与的其中一边平行时，t的值为或30或60； ②第一种情况：当时，如图，延长交直线于点I，令与直线的交点为H， 由题意，得 ， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 第二种情况：当时，如图，延长交直线于点K， 同理可得， ∵， ∵，， ∴， ∴， 解得； 第三种情况：当时，如图，延长交直线于点L， 同理可得，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20，30，50． 题型模版 1.特征：借助平行线的性质进行三角形内角、外角的计算与证明． 2.方法：识别同位角、内错角、同旁内角；利用平行线把未知角转移到三角形内部；必要时作平行辅助线． 变式3-1 （25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【答案】/度 【分析】两直线平行，同位角相等，得出的度数，利用平角得出的度数，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：线段和线段交于点D， ∵ 线段平移后得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得． 变式3-2 在中，平分交于点D，点E是射线上的动点（不与点D重合），过点E作交直线于点F，的角平分线所在的直线与射线交于点G．    (1)如图1，点E在线段上运动． ①若，，则__________°； ②若，求的度数； (2)若点E在射线上运动时，探究与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或 【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出，代入进行计算即可； ②由①的方法得出，进而满出，代入计算即可； （2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段AD上时，有成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有或成立． 【详解】（1）如图1，    ①， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， 又， ， 故答案为：； ②由①得， ； （2）当点在线段上时，如图（2），   ， ，， 平分， ， ； 当点在射线上时，如图（3）由（1）得，，    ； 综上所述，与之间的数量关系为：或． 答：若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或． 【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三角形内角和定理是解题关键． 变式3-3 （25-26七年级下·四川资阳·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，求与； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． （2）证明：∵，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． ， 分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ； ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 题型4、折叠背景下三角形内角和问题 典例4 知识点探索：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ （1）如图1，探索与的数量关系，并说明理由． 初步应用 （2）如图2，求的和． 解：∵， __________． 又∵ ∴__________． 拓展应用 （3）如图3，平分，平分，求证： （4）如图4，，，将沿折叠，若，则_______． 【答案】 （1）解：，理由如下： ∵， ∴； （2）； （3）证明：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角和性质： （1）根据三角形的内角和定理和邻补角，进行证明即可； （2）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可； （3）利用角平分线的性质和三角形的外角的性质，进行证明即可； （4）利用三角形的外角的性质和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 （4）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型模版 1.特征：在长方形、三角形折叠背景下，利用对应角相等求角度． 2.方法：找准折叠前后重合的角与边；利用平角、周角、对顶角建立等式；注意折叠后点的位置分类讨论． 变式4-1 （25-26七年级下·湖北武汉·期中）长方形内有一点P，E、F分别为边上一点，连，过点P作折痕m，交于点H，交于点G，沿折痕m将折叠，使得点F落在线段上处（如图1），再过点P作折痕n，交于点R，沿折痕n将折叠，点H落在直线m上处（如图2），连和，若，（如图3），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠得，过点作，求出，，根据平行线的性质推出，最后利用三角形内角和求出答案 【详解】解：由折叠得， ∴，， 过点作， 则 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 变式4-2 综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2) ， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）略 （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 变式4-3 （25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；； ②解：是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 题型5、旋转背景下的三角形内角和应用 典例5 （25-26七年级下·上海杨浦·期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则______，______； (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值． 【答案】(1)， (2) (3)6或18或24 【分析】（1）过点作射线，则，先求出的度数，则可得的度数，再根据平行线的性质可得的度数；根据邻补角的定义可得的度数； （2）过点作，分别求出，的度数即可； （3）分三种情况：①，②，③，分别求出旋转角的度数，再除以旋转速度即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作射线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， ∵， ∴，， 平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：①如图3，当时，设与交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（秒）； ②如图4，当时， ∴， ∴（秒）； ③如图5，当时，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（秒）； 综上，的值为6或18或24． 题型模版 1.特征：在三角板旋转、图形旋转背景下，探究角度之间的数量关系． 2.方法：抓住旋转角相等、对应角相等；结合三角板特殊角（30°、45°、60°、90°）进行计算；注意旋转过程中的临界位置． 变式5-1 数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：    (1)【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D． ①求的度数； ②设，请用α的代数式表示． (3)【拓展】如图3，在中，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转,当旋转一周时,运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 论证： 延长至D，过点A作，     ∴， ∵， ∴， 即三角形的内角和为． (2)①② (3)秒或15秒或秒或秒或秒 【分析】（1）论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）应用：①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出，再利用平角的性质即可求解；②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论即可求解． （3）拓展：当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，几种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）略 （2）应用： 如图，    ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）拓展： ∵当旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， 如图，与重合前，    当时，， 得   当与重合时，重合时间为秒，此时    当再以原速返回，如图    当时，， 解得， 如图，当时，   , 解得， 当时，如图，,      ∵， ∴， ∴ 综上，t的值为秒或15秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 变式5-2 （24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点平分平分与交于点． ① °； ②若，求； （2）如图2将②中确定的绕着点以每秒的速度逆时针旋转，绕着点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的一边与的一边平行时，求出此时的值． 【答案】（1）①45；②45°；（2） 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理的应用，平行线的性质，一元一次方程的应用． （1）①根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和可得；②等量代换可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得，求得，即可求得的度数； （2）根据②中结论，分5种情况讨论进而得解． 【详解】（1）解：①平分，平分， ，， ， ， 又， 故， 即， ， ， 故答案为： ②∵， ， ， ， 又，， ， 故， 解得：， 故， ； （2）解：由②可得，，，，， 当边与射线重合时，所经过的时间为：（秒）， 当时，，如图， ∴， ∴ 解得， 当时， ∴， ∴ 即 ∴ 当时，，如图：交于点H， ， ，， ， ， 此时旋转时间为（秒）； 当时，如图： ∴ ， ， 此时旋转时间为（秒）； 当时，，如图：交于点H，交于点M， ，， 此时旋转时间为（秒）； 综上，满足条件的值为． 变式5-3 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图1摆放时，则___________，___________； (2)现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)现固定，将绕点A以每秒3度的速度顺时针旋转，如图3所示，设旋转时间为秒（，旋转过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)、 (2) (3)满足条件的t的值为或或． 【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数求解即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （3）分、、三种情况，分别根据旋转的性质、平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过E作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：、 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵和的角平分线交于点，， ∴， ∴ （3）解：如图3-1，当时，此时， ∴， ∴， ∴； 如图3-2，当时，此时， ∴， ∴； 如图3-3，当时，此时， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转变换、角平分线的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 题型6、三角形外角性质的应用 典例6 （25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知：，点E，M分别是直线，上的点，F为射线上一动点，连接、，过点F作交射线于点G，点H为射线上一点，且平分． (1)如图1，若为钝角， ①求证：平分； ②若，求的度数； (2)如图2，若为锐角，，探究与之间的数量关系． 【答案】(1)①证明：，，，平分，， ，，平分； ②； (2) 【分析】（1）①证明，，结合已知的角的平分线，证明即可； ②根据，得到，根据垂直，已知，进行代换计算求解即可； （2）根据已知，证明，利用三角形外角性质，结合已知得到，化简即可． 【详解】（1）①略； ②解：， ， ， ，， ， 解得； （2）解：与之间的数量关系为，理由如下：， ， ， ，， ， 解得； ， ， ， 平分， ， ， ； 题型模版 1.特征：利用三角形外角等于不相邻两内角之和进行角度计算与证明． 2.方法：把外角作为桥梁，将分散的角集中；常与角平分线、平行线、对顶角结合；注意外角与相邻内角互补关系． 变式6-1 （25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，直线与直线分别交于点G、H，平分交直线于点K，． (1)求证：； (2)如图2，点P在线段上，点N在线段上，平分，若，求的度数； (3)如图3，点M在线段上，点Q为射线上一动点且不与点G重合，连接，作的角平分线与相交于点R，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴； (2) (3)或 【分析】（1）由角平分线的定义得，结合可得，即可证明； （2）由三角形外角的性质得，，进而得，，根据平分，得，等量代换得，可得； （3）分“点Q在上，点Q在延长线上”两种情况，利用三角形外角的性质、平行线的性质分别求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 即． ∵平分， ∴， ∴，即； （3）解：∵平分，平分， ∴令，． ∵， ∴． 当点Q在上时，如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴； 当点Q在延长线上时，如图所示， 同理可得，，， ∴， 综上所述，或． 变式6-2 （25-26七年级下·浙江温州·期中）如图1，已知，射线与重合．如图2，射线从开始绕点逆时针旋转，转动的速度是每秒1度，同时绕点顺时针旋转，转动的速度是每秒2度，当和延长线重合时与都停止，设转动的时间秒． (1)当时，求的度数； (2)当与的一边平行时，求的值； (3)设射线交射线于点，延长交于点，如图2所示，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)10或30 (3)或 【分析】（1）先推导出，再将代入求解即可； （2）分类讨论：①当时，如图， ②当时，逐个分析求解即可； （3）分类讨论：①当射线与直线的交点在点C的左侧时，②当射线与直线的交点在点C的右侧时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：如图 由题意，得， ∴， 当时， ； （2）解：①当时，如图， 令射线，的交点为H， 由题意及（1），得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ②当时，如图， 令射线，的交点为G， 由题意及（1），得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为10或30； （3）解：①当射线与直线的交点在点C的左侧时，如图 由题意及（1），得， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当射线与直线的交点在点C的右侧时，如图， 由题意及（1），得，，， ∵ ， ∴， ∵是的外角， ∴， 同①，可得， ∴， 即； 综上所述， 或． 变式6-3 （24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是∠ABC的平分线， ∴， 同理可得： ∴， ∵在中，， ∴； （2）； （3），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答； （2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答； （3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答； （4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答． 【详解】解：（1）略 （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）略 （4），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，为上方一点，H、G分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由角平分线的性质以及平行线的性质可求出，即可判断①；设交于点M，交于点N，根据平行的性质即有，再结合三角形外角的性质即可判断②；根据角平分线的性质有，再证即可得∠PGD=2∠EGD，即可判断③；先证，根据，即有，再结合，即可判断④正确； 【详解】∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设交于点M，交于点N，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质以及直角三角形中两个锐角互余等知识，灵活运用平行线的性质和三角形的外角的性质是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【详解】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 4．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，再由折叠的性质确定，利用平行线的性质得出，再由对顶角相等及折叠的性质确定，结合三角形内角和定理及邻补角求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵折叠， ， ， ． 5．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为______． 【答案】 【分析】连接，过作，如图所示，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分，则， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴，则， ∵将纸片沿折叠，点落在点处， ∴， ∴， ， ∴， 是的一个外角， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键． 6．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】根据三角形的中线的性质判断④和⑤；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断①和③，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ，， ，故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出，故④错误； F不一定是的中点， 不能得出，故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑥错误； ，， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有②③⑤． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【初步探究】 (1)如图1，，若，，则的度数为________； 【深入探索】已知，点G，E是直线上的点，且点G在点E的左侧，过点G的直线与过点E的直线交于点P，延长交直线于点H． (2)如图2，若，，求的度数； (3)如图3，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）过点作，可知，得到，，即可求出的度数； （2）根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质作答即可； （3）过点作，则，由角平分线的定义可知，，，由，可得，进而可得，即可得结论． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴； （3）解：过点作，如图所示， 则， 由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ∵， ∴， ∴， 平分， ， ∴． 9．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，平分，过射线上一点作交射线于点，点是直线上一点，连接，平分交于点．（提示：三角形的内角和为） (1)如图1，当点与点重合时，________________； (2)如图2，当点在线段上时，，求的度数； (3)当点在直线（不与，重合）上时，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据平分，求出，根据平行线的性质求出，由平分，得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据平分，求出，根据平行线的性质求出，由平分，得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据平分，求出，根据平行线的性质求出，分三种情况：当点在线段左侧时，当点在线段上时，当点在线段右侧时，根据角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2），平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （3），平分， ， ， ， ， 当点在线段的反向延长线上时， ， ， ， ， 平分， ， ； 当点在线段上时， ，， ， ， 平分， ， ； 当点在线段的延长线上时， ，， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或． 10．综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： 平分， ， ， ； (2) ①画出图形， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； ②猜想：或，理由如下： 当点在点的右侧时，如下图： ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧时，如下图： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 综上可知，或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系是解题关键． （1）根据角平分线的性质得到，进而得到，即可推出； （2）①根据平行的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义推出，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数； ②分情况讨论：当点在点的右侧时，根据平行线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系；当点在点的左侧时，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)①；② 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； （2）略 （3）解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 12．如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点． (1)判断之间的关系，并说明理由； (2)若． ①用含的代数式表示的度数； ②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值． 【答案】(1) 解：． 理由如下： 作， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)①；②当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． （1）作，根据，得出，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）①设，则，，根据，得出，结合平分，，即可得出，解得，由（1）得即可求解； ②当时，，，，分为（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，即与在同一直线上时，（iv）当时，（v）当时，分别画图求解； 【详解】（1）略 （2）解：①设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得； ②解：当时，，，， （i）当时，延长交边于P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当绕E点旋转时，， ∴； （ii）当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当绕点E旋转时，， ∴； （iii）当时，即与在同一直线上时， ∴， ∴当绕点E旋转时，， ∴， （iv）当时， ∵， ∴． ∴当旋转时，． ∴； （v）当时， ∵，， ∴． ∴当旋转时，． ∴， 当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒． 13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过C作于点H，于点G， ∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分； (3)的面积为28 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，根据垂线的定义得到，即可得到； （2）首先过C作于点H，于点G，再根据角平分线的性质得到，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到平分； （3）首先由（2）知，再根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为28． 14．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①； ②如图2， （2）①； ②； （3）． 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高； （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ． 故答案为： 15．阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点 与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角． 探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点 重合． （1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______． （2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ，，，发现 和 的两个角都是此三角形的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠． （4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果； 【答案】（1）；；（2）；；（3）7次，4次；（4）16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°． 【分析】（1）利用折叠的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可． （2）根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C，根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得∠B=3∠C，第二个问题探究规律，利用规律解决问题即可． （3）以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次． （4）根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．根据二元方程，求整数解即可． 【详解】解：（1）∵折叠后，B，C重合， ∴∠B=∠C； ∠B=2∠C， 小丽展示的情形二中， ∵沿∠BAC的平分线AB1折叠， ∴∠B=∠AA1B1； 又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合， ∴∠A1B1C=∠C； ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理）， ∴∠B=2∠C． 故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C． （2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分， 将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合， 则∠BAC是△ABC的好角． ∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C． 故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C． （3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次， 当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次． 故答案为：7，4． （4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角， ∵最小角是4°是△ABC的好角， 根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）． 由题意，得4m+4mn+4=180， ∴m（n+1）=44， ∵m，n都是正整数， ∴m与n+1是44的整数因子， 因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，； 当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°； 当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°； 当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°； 当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°； 当m=1，n=43时，4m=4°，4mn=172°； ∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $