广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测11

**基本信息** 高一数学周测聚焦复数、向量、立体几何与解三角形，以六芒星、阿基米德多面体为情境，融入离散曲率新定义，考查数学抽象、空间观念与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量运算、球体积、正四棱柱截面|六芒星向量取值结合文化情境，考查直观想象| |多选题|3/18|解三角形性质、三棱柱线面关系、阿基米德多面体|半正多面体问题综合表面积、线面角，体现数学眼光| |填空题|3/15|复数方程、正四面体异面直线夹角、解三角形范围|正四面体问题深化空间观念，考查数学思维| |解答题|5/43|四棱锥证明、线面角、离散曲率计算|引入离散曲率新定义，考查创新应用与数学语言表达|

2025-2026学年度高一第二学期数学周测11答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D D A B A A BCD ABD ABC 12． 13． 14． 8．解：设正方体为，球，的半径分别为，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图所示， 正方体的棱长为，， 在直角中，， ，，，， ，，解得. 11．解：对于A，由图可知，二十四等边体是由6个边长为2的正方形和8个边长为2的等边三角形围成， 所以表面积为，A正确； 对于B，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，则该正方体的体积为 ，其中每个小三棱锥的体积为， 所以该二十四面体的体积为，所以B正确； 对于C，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，如图， 易知，与所成角为，所以直线与的夹角为， C正确；对于D，由正方体易知：， 所成角为，所以所成角为， 又在平面内，所以平面不成立，故D错误； 15．证明：（1）由底面是平行四边形，所以，..........................................1分 又平面平面，..........................................5分 所以平面；..........................................6分 （2）由（1）有平面， ..........................................7分 又平面，平面平面， ..........................................11分 所以， ..........................................12分 又E是中点，所以F是中点. ..........................................13分 16．解：（1）由正弦定理，得， ， ..........................................2分 ， ..........................................3分 ， ，即， ..........................................5分 ，即； ..........................................6分 （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， ..........................................8分 在中，由余弦定理得， ..........................................10分 显然有，则， ..........................................11分 整理得，即， ..........................................12分 又，所以， 从而， ..........................................14分 的周长为. ..........................................15分 17．解：（1）因为平面，平面，所以，..........................................1分 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以，..........................................2分 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即，..........................................5分 因为，，平面，所以平面...........................................8分 （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面，............................9分 所以为直线与平面所成的角...........................................10分 又平面，所以， 因为，， 又， 所以...........................................14分 所以直线与平面所成角的正弦值为...........................................15分 18．解：（1）取的中点，连结，则四边形是正方形， 则，，所以，且 所以,所以，..........................................3分 在中，所以..........................................4分 又因为,平面..........................................7分 所以平面；..........................................8分 （2） ..........................................11分 由（1）知正方形中，,在中， 所以为等腰三角形，则..........................................13分 所以 所以..........................................15分 设点到平面的距离为，则..........................................16分 所以，即点到平面的距离为..........................................17分 19．解：若，则菱形ABCD为正方形，即， 因为平面ABCD，，所以直四棱柱为正方体， 故在任意顶点处的离散曲率均为， 所以四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和为...........................................4分 因为底面ABCD为菱形，所以， 又直四棱柱，所以平面ABCD， 因为平面ABCD，所以， 又平面，，所以平面， 设，则即为与平面所成的角， 在中，， 所以，所以，则， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以，， 所以直四棱柱在顶点A处的离散曲率为.............9分 如图，在四面体中，，，， 所以，， 所以四面体在点处的离散曲率为，所以，......10分 所以为等边三角形，所以， 又在中，，所以，所以直四棱柱为正方体， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面， 所以平面，...........................................11分 又平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又平面，，所以平面， 又平面，所以，...........................................12分 又，，平面，所以平面，...........................................14分 因为平面，所以...........................................15分 设正方体的棱长为a，则， 因为，所以， 所以，所以，...........................................16分 又因为，所以 ...........................................17分 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一第二学期数学周测11 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的虚部为（  ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，则（  ） A． B． C． D． 3．若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（  ） A． B． C． D． 4．已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为，则球的体积为（  ） A． B． C． D． 5．如图，为平行四边形所在平面外一点，为线段的中点， 为上一点，当平面时，（  ） A． B． C． D． 6．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点 且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动 点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．在正四棱柱中，,分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（  ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，球 心在正方体的对角线上，其中球的半径为，则球的半径为（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是等边三角形 10．如图，三棱柱中，点分别为 的中点，则下列说法正确的是（  ）   A．四点共面 B．与是异面直线 C． D．三线共点 11.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为，则下列结论中，正确的是（  ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．直线与的夹角为 D．平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数满足，则 . 13．如图，已知正四面体的棱长为，分别是与 的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 14．已知中，内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．四棱锥中底面是平行四边形，是中点，平面与交于． (1)求证：平面． (2)求证：是中点． 16．已知中，内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 17．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18． 如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离 19．阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，,(角的运算均采用弧度制). (1)若，求四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和； (2)若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为,过点做平面的垂线且垂足为点，求 试卷第2页，共3页 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $